Chapter 5 近似方法 Approximation (本征值问题的近似解)
Chapter 5. Approximation 1 Chapter 5 近似方法 Approximation (本征值问题的近似解)
引言 Chapter 5. Approximation 前面应用薛定格方程处理了一维无限深势阱、线性谐振 子、势垒贯穿、氢原子等问题，并且都给出了精确解析解。 而在实际微观体系中，由于哈密顿算符的复杂性，能求出薛 定格方程精确解的问题是极少的。例如一个氢原子体系就难 以得到精确解。因此，在量子力学中，用近似方法求薛定格方 程近似解就显得尤为重要。 近似方法的出发点： 近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发， 来求较复杂问题的近似（解析)解。 近似方法很多，微扰方法和变分法就是其中两种重要的 近似方法。微扰方法又视其哈密顿算符是否与时间有关分为 定态微扰和非定态微扰两大类。 2
Chapter 5. Approximation 2 引 言 前面应用薛定格方程处理了一维无限深势阱、 线性谐振 子、势垒贯穿、氢原子等问题，并且都给出了精确解析解。 而在实际微观体系中,由于哈密顿算符的复杂性,能求出薛 定格方程精确解的问题是极少的。例如一个氦原子体系就难 以得到精确解。因此,在量子力学中,用近似方法求薛定格方 程近似解就显得尤为重要。 近似方法很多，微扰方法和变分法就是其中两种重要的 近似方法。微扰方法又视其哈密顿算符是否与时间有关分为 定态微扰和非定态微扰两大类。 近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发， 来求较复杂问题的近似（解析）解。 近似方法的出发点:
Chapter 5.Approximation 一、体系Hamilton量不是时间的显函数一一定态问题 1.定态微扰论； 2.变分法。 二、体系Hamilton量显含时间一一状态之间的跃迁问题 1.与时间t有关的微扰理论；2.常微扰。 讲授内容 5.l非简并定态微扰理论Non degenerate perturbation theory of stationery state 5.2简并情况下的微扰理论Degenerate perturbation theory
Chapter 5. Approximation 3 5.1 非简并定态微扰理论 Non degenerate perturbation theory of stationery state 5.2 简并情况下的微扰理论 Degenerate perturbation theory 讲授内容 一、体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题 1.定态微扰论； 2.变分法。 二、体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 1.与时间 t 有关的微扰理论； 2.常微扰
Chapter 5.Approximation 53氢原子的一级斯塔克效应 First order Stark effect of hydrogen atom 5.4变分法Variational Method 5.5氦原子基态Ground State to Helium Atom 5.6与时间有关的微扰理论Perturbation theory with time 5.Z跃迁几率Transition Probability 5.8光的发射和吸收Light emission and absorption 5.9选择定则 Selection rule 学习要求： 1.重点掌握非简并定态微扰理论。要求掌握非简并定态微扰 波函数一级修正和能级一、二级修正的计算
Chapter 5. Approximation 4 5.7 跃迁几率 Transition Probability 5.8光的发射和吸收 Light emission and absorption 5.9选择定则 Selection rule 学习要求： 1.重点掌握非简并定态微扰理论。要求掌握非简并定态微扰 波函数一级修正和能级一、二级修正的计算。 5.3 氢原子的一级斯塔克效应 First order Stark effect of hydrogen atom 5.4 变分法 Variational Method 5.5 氦原子基态 Ground State to Helium Atom 5.6 与时间有关的微扰理论 Perturbation theory with time
Chapter 5.Approximation 2.掌握简并的微扰论零级波函数和一级能量修正的计算。 3.了解定态微扰论的适用范围和条件； 4.关于与时间有关的微扰论要求如下： a.了解由初态9跃迁到末态P的概率表达式，特别是常微 扰和周期性微扰下的表达式； b.理解由微扰矩阵元H,0可以确定选择定则； c.理解能量与时间之间的不确定关系：△Et~h。 d.理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由？ 态跃迁到Q态的辐射强度均与矩阵元，的模平方成正比，由 此可以确定偶极跃迁中角量子数和磁量数的选择定则。 5.了解氢原子一级斯塔克效应及其解释。 5
Chapter 5. Approximation 5 a．了解由初态 跃迁到末态 的概率表达式，特别是常微 扰和周期性微扰下的表达式； b．理解由微扰矩阵元 可以确定选择定则； c．理解能量与时间之间的不确定关系: 。 d．理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由 态跃迁到 态的辐射强度均与矩阵元 的模平方成正比，由 此可以确定偶极跃迁中角量子数和磁量数的选择定则。 ϕi ϕf 0 Hf i ≠ ΔE⋅Δt h ~ ϕi ϕf f i r 4. 关于与时间有关的微扰论要求如下： 5. 了解氢原子一级斯塔克效应及其解释。 2. 掌握简并的微扰论零级波函数和一级能量修正的计算。 3. 了解定态微扰论的适用范围和条件；
Chapter 5.Approximation §5.1非简并定态微扰理论 (一)微扰体系方程 (二) 态矢和能量的一级修正 (三)能量的二阶修正 (四)微扰理论适用条件 (五) 讨论 (六) 实例 6
Chapter 5. Approximation 6 §5.1 非简并定态微扰理论 （一）微扰体系方程 （二）态矢和能量的一级修正 （三）能量的二阶修正 （四）微扰理论适用条件 （五）讨论 （六）实例
Chapter 5.Approximation (一)微扰体系方程 微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体 运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用 微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。 例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由 于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况 下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体 系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影 响而发生的变化。 可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体 系叫做微扰体系。假设体系Hamilton量不显含 时间，而且可分为两部分： 庄=Ao)+A
Chapter 5. Approximation 7 微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体 运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用 微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。 例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由 于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况 下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体 系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影 响而发生的变化。 可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体 系叫做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含 时间，而且可分为两部分： += HHH ′ ˆˆˆ )0( （一）微扰体系方程
Chapter 5.Approximation Ho)所描写的体系是可以精确求解的，其本征值E(o,本 征矢中.o>满足如下本征方程：Iy>=EI> 另一部分H’是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可 以看作加于Ho)上的微小扰动。现在的问题是如何求解微 扰后Hamilton量H的本征值和本征矢，即如何求解整个 体系的Schrodinger方程： HV>=EVn> 当H’=0时，|>=|。o)>,En=E。o); 当H'≠0时，引入微扰，使体系能级发生移动，由E(o)→En, 状态由|中。0)>→|.>。 8
Chapter 5. Approximation 8 H(0) 所描写的体系是可以精确求解的，其本征值E n(0),本 征矢|ψn(0)> 满足如下本征方程： >= >)0()0()0()0( | | ˆH ψn E ψnn 另一部分 H’是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可 以看作加于 H(0) 上的微小扰动。现在的问题是如何求解微 扰后 Hamilton 量 H 的本征值和本征矢，即如何求解整个 体系的 Schrodinger 方程： EH || ψψ nnn >>= ˆ 当H’= 0 时，|ψn> = |ψn (0)> , En = E n (0) ； 当H’≠0时,引入微扰,使体系能级发生移动,由E n(0) → En , 状态由|ψn (0)> →|ψn >
Chapter 5.Approximation 为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为： 庄'=九庄() 其中入是很小的实数，表征微扰程度的参量。 因为E。、|>都与微扰有关，可以把它们看成是入的函数而将其展 开成入的幂级数： En=E0+E0+2E2)+. lwn>w0>+y9>+221w2>+. 其中Eno),入E(①四，入2E。),·分别是能量的0级近似，能量 的一级修正和二级修正等； 而引。0)>，入|。（①）>，入2|。2)>，.·分别是状态矢量0级近 似，一级修正和二级修正等
Chapter 5. Approximation 9 为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为： )1( λ HH ˆˆ ′ = 其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量。 因为 En 、 |ψn > 都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其展 开成λ的幂级数： 其中 E n (0),λEn(1),λ2 E n (1), . 分别是能量的 0 级近似,能量 的一级修正和二级修正等; 而|ψn (0)>,λ|ψn (1)>,λ2 |ψn (2)>, . 分别是状态矢量 0 级近 似，一级修正和二级修正等。 (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) || | | nn n n nn n n EE E E λ λ ψ ψ λψ λ ψ =+ + + >= > + > + > + "
△nnrovimation 代入Schrodinger方程得： (A0+2i四)0w0)>+1y>+22|y2今+.) =(E0)+元ED+22E2)+.)0w0>+21y四>+22Iy2)>+.) 乘开得： 0Iw9>+ E1w>+ [aI">+Iw9>]+ 入 [E0Iw9>+E"I09习J+ 2 [w2>+Iw">]+ 22 [E0Iw2>+EIΨ0>+E2Iv09>]+ 3 根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得如下系列方程： 10
Chapter 5. Approximation 10 ( )(| | | ) )(| | | ) ˆˆ ( )0( )2(2)1( )0( )1( )2(2 )0( )0()1( )1( )2(2 " " " +++= +>+> +> + +>+> +> n n n n n n n n n EEE HH λλ ψλψλψ ψλψλψλ 代入Schrodinger方程得： 乘开得： ⎪⎪⎪⎭ ⎪⎪⎪⎬⎫ ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧ λ + +>ψ+>ψ+>ψλ λ +>ψ+>ψ +>ψ = ⎪⎪⎪⎭ ⎪⎪⎪⎬⎫ ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧ λ + λ +>ψ+>ψ +>ψ+>ψλ +>ψ """""""""""""""""" """""""""""""""" """""""""""" """"""""""" [ ] ]|||[ ]||[ | [ ] ]| ˆ | ˆ [ ]| ˆ | ˆ [ | ˆ 3 )0()2()1()1()2()0(2 )0()1()1()0( )0()0( 3 2 )1()1()2()0( )0()1()1()0( )0()0( nn nnnn nnnn nn n n n n n E EE E E E H H H H H 根据等式两边λ同幂次的系数应该相等,可得如下系列方程: