西安交通大学XT'ANJIAOTONG UNIVERSITY最优控制2023连续系统最优控制高峰、吴江
最优控制2023 连续系统最优控制 高峰、吴江
提纲变分法原理回顾连续系统最优控制问题时间端点固定有终端函数约束终时不指定·小结高峰、吴江YH
SEI 高峰、吴江 2 提纲 ⚫ 变分法原理回顾 ⚫ 连续系统最优控制问题 ⚫ 时间端点固定 ⚫ 有终端函数约束 ⚫ 终时不指定 ⚫ 小结
最速降线问题变分法讲义变分法发展历程短程线问题三个著名问题等周问题什么是变分法函数vs.泛函定义一点历史微分与变分泛函与函数距离泛函变分与Euler方程邻区复杂情形最优条件连续性变分的另一种定义线性极值泛函求极值问题描述变分的推演有约束情形变分的定义端点可变情形变分定义的一般形式泛函的极值条件另一种定义：从函数到泛函Euler方程泛函极值必要条件的证明Euler的讨论例：两间间最短连线
SEI 高峰、吴江 3 一 点 历 史 泛 函 与 函 数 泛 函 变 分 与 E u l e r 方 程 复 杂 情 形 最 优 条 件 变 分 的 另 一 种 定 义 变 分 法 发 展 历 程 三 个 著 名 问 题 什 么 是 变 分 法 最 速 降 线 问 题 短 程 线 问 题 等 周 问 题 函 数 v s . 泛 函 定 义 微 分 与 变 分 距 离 邻 区 连 续 性 线 性 极 值 泛 函 求 极 值 问 题 描 述 变 分 的 推 演 变 分 的 定 义 变 分 定 义 的 一 般 形 式 泛 函 的 极 值 条 件 E u l e r 方 程 E u l e r 的 讨 论 例 ： 两 间 间 最 短 连 线 有 约 束 情 形 端 点 可 变 情 形 另 一 种 定 义 ： 从 函 数 到 泛 函 泛 函 极 值 必 要 条 件 的 证 明 变 分 法 讲 义
变分法原理回顾泛函求极值：min J(y)= (" F(x, y(x) y(x)dxy泛函的变分：&J = ("[F,y + Fyoy'lix高峰、吴江Y2
SEI 高峰、吴江 4 变分法原理回顾 J (y) F(x y(x) y (x))dx x y x = 1 0 min , , 泛函求极值： J F y F y dx x x y y = + 1 0 泛函的变分：
泛函极值存在的必要条件泛函极值存在的必要条件：Fx,Fy,Fy,存在且连续(p7)=0dEuler方程HdxX1=0oyH横截条件Xo变分法是连续系统最优控制的基础高峰、吴江F92
SEI 高峰、吴江 5 泛函极值存在的必要条件 = − = 0 0 1 0 x y x y y F y F dx d F Euler方程 横截条件 泛函极值存在的必要条件： 变分法是连续系统最优控制的基础 Fx , Fy J = 0 , Fy’ 存在且连续 (p7)
提纲变分法原理回顾连续系统最优控制问题时间端点固定有终端函数约束终时不指定小结高峰、吴江Y2
SEI 高峰、吴江 6 提纲 ⚫ 变分法原理回顾 ⚫ 连续系统最优控制问题 ⚫ 时间端点固定 ⚫ 有终端函数约束 ⚫ 终时不指定 ⚫ 小结
连类分型极直圆题暂态误差能量消耗稳态误差Φ(x(t),u(t),t)dt@x(t,),tfminJ一us. t. x(t) = f(x(t),u(t),t),x(to) = xo式中,xER",uER"Bolza问题Mayer问题Lagrange问题古典变分法的三个基本问题8SE
SEI 高峰、吴江 7 连续系统最优控制问题 一类积分型泛函求极值问题 Bolza问题 Mayer问题 Lagrange问题 古典变分法的三个基本问题 稳态误差 暂态误差 能量消耗
连续系统最优控制问题干扰不再作用在最优控制中，Bolza问题表示这样一种概念：非线性时变系统x=f(x(t)，u(t)，t)原处于平衡状态（作为零状态），当外界扰动使系统偏离零状态，达到某一初始状态x(t。）=x。时，应对系统施加怎样的控制u(t)，才能使系统从t。时刻起，到t时刻止（t。称为始时，t，称为终时），状态从初态xo达到某一终态x(ty）=X，并满足某种目标」为极小某值调节器问题终端控制器问题高峰、吴江8Y2
SEI 高峰、吴江 8 连续系统最优控制问题 终端控制器问题 某值 调节器问题 0 干扰不 再作用
与第一章的对应关系min J(y)= (" F(x, y(x),y'(x)dxyJ(x)y'(x)X, Xo, X1x(l)x(t)u0)t, to, tyi(t)b(α(t),u(t),t)dtminJ=e[a(tf),tf]+钻高峰、吴江O92
SEI 高峰、吴江 9 与第一章的对应关系 J (y) F(x y(x) y (x))dx x y x = 1 0 min , , ( ) ( ) t t u x y’(x) ( ) ( ) t t u x x, x y(x) 0 , x1 t, t0 , t f
提纲变分法原理回顾连续系统最优控制问题时间端点固定有终端函数约束终时不指定小结高峰、吴江10Y2
SEI 高峰、吴江 10 提纲 ⚫ 变分法原理回顾 ⚫ 连续系统最优控制问题 ⚫ 时间端点固定 ⚫ 有终端函数约束 ⚫ 终时不指定 ⚫ 小结