第三章机器人运动与动力学模型3. 1数学基础3. 2机器人运动学模型3.3逆运动学模型3.4动力学模型
第三章 机器人运动与动力学模型 3.1 数学基础 3.2 机器人运动学模型 3.3 逆运动学模型 3.4 动力学模型
3. 1 数学基础空间任意点的位姿描述，坐标系描述坐标变换，齐次变换，物体坐标变换与逆变换3.1.1位置和姿态描述位置描述：一旦建立了坐标系，就能用一个3×1位置矢量对世界坐标系中的任何点进行定位。(A)ZA-Px(3.1)p.pp.OAYAXA
3.1 数学基础 空间任意点的位姿描述，坐标系描述 坐标变换，齐次变换，物体坐标变换与逆变换 3.1.1 位置和姿态描述 位置描述：一旦建立了坐标系，就能用一个3×1位置矢量 对世界坐标系中的任何点进行定位。 z y x A p p p p yA xA zA oA { A } A p p （3.1）
Px.Py.P向量向相应轴的投影注意：位置矢量必须附加信息，标明是在哪一个坐标系被定义的AP这个前置的上标A标明此位置矢量是在坐标系(A}中定义的姿态描述：对于一个刚体来说，不仅经常需要表示它在空间中的位置，还需要描述空间中物体的姿态。为了描述刚体的姿态，可用固定在刚体上的坐标系描述方位(orientation)。(B)中(A)已知坐标系B1以某种BOAP2.方式固定在物体上40
向量向相应轴的投影 注意：位置矢量必须附加信息，标明是在哪一个坐标系被定义的 A P 这个前置的上标A标明此位置矢量是在坐标系{A}中定义的 姿态描述： 对于一个刚体来说，不仅经常需要表示它在空 间中的位置，还需要描述空间中物体的姿态。 为了描述刚体的姿态，可用固定在刚体上的坐标系描述方位 （orientation）。 已知坐标系{B}以某种 方式固定在物体上
坐标系{B}三个方向轴的单位矢量，把它们在坐标系{A}中表达出来[x,,]]坐标系B的单位矢量国[4X,4,Z,]写成在(A}中的表达ri121I量X，在坐标系{A})三个轴方向的投影[r1]7i2公r22矢量Y。在坐标系(A)三个轴方向的投影Lr32ri3矢量2，在坐标系(A)三个轴方向的投影=r23r33这三个单位量按照顺序排列组成一个3×3的矩阵
坐标系{B}三个方向轴的单位矢量，把它们在坐标系{A}中 表达出来 坐标系{B}的单位矢量 写成在{A}中的表达 矢量 在坐标系{A}三个轴方向的投影 矢量 在坐标系{A}三个轴方向的投影 矢量 在坐标系{A}三个轴方向的投影 YB ˆ ZB ˆ 这三个单位矢量按照顺序排列组成一个3×3的矩阵
AR=『AXAYAZ18Y12r13称为旋转矩阵(B)1212121-ZA4(A)X1'31132133E刚体的姿态用这个旋转矩阵来表示0.JA旋转矩阵R的各个分量可用一对单位矢量的点积来表示：AR=[AXBAYAZ两个单位矢量的点积可得到[XXAYXAZ..XA二者之间夹角的余弦，因此XYAYYAZYA各分量又被称作方向余弦X,ZA2.2AAY..ZARAR在旋转矩阵中，虽然有9个元素，但独立的元素只有3个
称为旋转矩阵 刚体的姿态用这个旋转矩阵来表示 yA xA zA oA { A } yB xB zB oB { B } A p 旋转矩阵 R 的各个分量可用一对单位矢量的点积来表示： A B 两个单位矢量的点积可得到 二者之间夹角的余弦，因此 各分量又被称作方向余弦 在旋转矩阵中，虽然有9个元素，但独立的元素只有3个
那么坐标系(A)在坐标系(B)的表达又是什么样的？进一步观察上页的式子，可以看出矩阵的行是单位矢量A)在(B)中的表达：即BXTBYTAR=[AXAYAZ]-B2T因此，BR 为坐标系{A}相对于(B}中的表达；即AR-[PXA "YA B2A][XXYOX ZX.AR=(R)XYZAXAZYZZA2AR-=RT;AR=1(AR)T(BR)= AR=(BR)-" =(BR)除了用旋转矩阵描述姿态以外，还可以用欧拉角，利用横滚（R）、俯仰（P）、偏转（Y）角的姿态描述
那么坐标系{A}在坐标系{B}的表达又是什么样的？ 进一步观察上页的式子，可以看出矩阵的行是单位矢量{A}在 {B}中的表达；即 因此， A B R 为坐标系{A}相对于{B}中的表达；即 1 ; 1 A A T A B B B R R R 除了用旋转矩阵描述姿态以外，还可以用欧拉角，利用横 滚（R）、俯仰（P）、偏转（Y）角的姿态描述
刚体描述：相对参考系(A}，坐标系(B)的原点位置和坐标轴的方位，分别AR描述。这样，刚体的位姿（位置由位置矢量PB和旋转矩阵和姿态）可由描述为(3.2)(B) = (AR坐标变换3.1.2S（1）平移变换(A)IEP(B)Z两个坐标Y系具有相BOAPBORG同的姿态3AOAPBP+APBORG7
7 相对参考系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的方位，分别 由位置矢量 和旋转矩阵 描述。这样，刚体的位姿（位置 和姿态）可由描述为 Bo A A {B} B R p A Bo p A B R （3.2） 刚体描述： 3.1.2 坐标变换 两个坐标 系具有相 同的姿态 （1）平移变换
(2） ）旋转变换包含三个单位矢量的旋转矩阵被用来描述姿态AR=(R)-=(R)BXATAR=[4X4Y,42]旋转变换公式AP=[pxPypa]?SA(B)BZZBPTYXAPrIARAXAZ2AP=(AR)BP(3.3)
（2）旋转变换 包含三个单位矢量的旋转矩阵被用来描述姿态 旋转变换公式 （3.3）
关于一个轴的旋转变换[100(3.4a)0c0-s0R(x,0) =0c0soYA(A)JB(B)0socoXB010pR(y,0) =sin e(3.4b)0co-s0-0coseOAXA绕z轴旋转00co-sO0s0c0(3.4c)R(z,0) =001
(3.4 ) c 0 0 1 0 0 ( , ) s c c s R z s c R x c s 0 0 1 0 0 ( , ) s c c s R y 0 0 1 0 0 ( , ) (3.4 ) b (3.4 ) a 绕z轴旋转 yA xA oA { A } yB xB { B } θ p cosθ sinθ 关于一个轴的旋转变换
下图中表示坐标系;B)相对于坐标系A绕7轴旋转30度。这单乙轴指向为由纸面向外。[A](B)YAX(B)绕之轴旋转30度在(A}中写出B)的单位矢量，并且将它们按列组成旋转矩阵，得到：0.0000.866-0.500AR=0.0000.5000.8660.0000.0001.000
下图中表示坐标系{B}相对于坐标系{A}绕 轴旋转30度。这 里 轴指向为由纸面向外。 Z ˆ Z ˆ {B}绕 Z ˆ 轴旋转30度 在{{A}中写出{B}的单位矢量，并且将它们按列组成旋转矩阵， 得到: