西安交通大学XT'ANJIAOTONG UNIVERSITY最优控制2023线性连续系统最优控制高峰、吴江
最优控制2023 线性连续系统最优控制 高峰、吴江
提纲连续系统最优控制回顾线性连续系统最优控制问题有限时间（状态）调节器无限时间输出调节器小结高峰、吴江Y
SEI 高峰、吴江 2 提纲 ⚫ 连续系统最优控制回顾 ⚫ 线性连续系统最优控制问题 ⚫ 有限时间（状态）调节器 ⚫ 无限时间输出调节器 ⚫ 小结
连续系统最数学形式表述连续系统最优控制优控制讲义物理意义表述问题表述与第一章的关系时间端点固定问题求解连续系统最优控制问题极值存在的必要条件时间端点固定横截条件的运用有终端函数约束Hamilton函数的性质终时不指定举例有终端函数约束问题极值必要条件举例终时不指定问题极值必要条件举例NSEI
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连续系统最优控制问题暂态误差稳态误差泛函求极值能量消耗Φ(c(t),u(t),t)dtmin J-(o[a(tf),tfJ)Hu8.t. α(t)=f(α(t),u(t),t),,a(t) o式中，αERn，uERm，t。及tf固定。Bolza问题Mayer问题Lagrange问题古典变分法的三个基本问题S2
SEI 高峰、吴江 4 连续系统最优控制问题 泛函求极值 Bolza问题 Mayer问题 Lagrange问题 古典变分法的三个基本问题 稳态误差 暂态误差 能量消耗
连续系统最优控制问题干扰不再作用非线性时变系统α(t)=f(&(t)，u(t)，t）原处于平衡状态（作为零状态），当外界扰动使系统偏离零状态，达到某一状态&(t。)=。时，应对系统施加怎样的控制u(t)，才能使系统从t。时刻起，到t于时刻正，达到所希望的状态（t)并满足某种目标J为极小。某值调节器问题终端控制器问题高峰、吴江5Y2
SEI 高峰、吴江 5 连续系统最优控制问题 终端控制器问题 某值 调节器问题 0 干扰不 再作用
泛函极值存在的必要条件aNTa0(f)Daaatfanan+DT=0[(),(),()，atfatfA有表育究横截条件）解非常因难！an2态方程）aaaH方程）-0uaH（状态方程）a-fSan(函数）N[(tf).tf]=0L-尚畔、天让S2
SEI 高峰、吴江 6 泛函极值存在的必要条件
提纲连续系统最优控制回顾线性连续系统最优控制问题(状态）调节器有限时间无限时间输出调节器小结高峰、吴江Y2
SEI 高峰、吴江 7 提纲 ⚫ 连续系统最优控制回顾 ⚫ 线性连续系统最优控制问题 ⚫ 有限时间（状态）调节器 ⚫ 无限时间输出调节器 ⚫ 小结
线性连续系统最优控制问题对于线性连续系统提出二次型目标函数，aT(t)Sa(ty）+][αt(t)Q(t)r(t)minFu+uT(t)R(t)u(t)ldt8.t。 (t)=A(t)α(t)+B(t)u(t), (to)=αo式中，R()正定，Q(t)及S半正定。t。，tt固定。以下设R(t)Q（t)，S为对称阵。高峰、吴江2
SEI 高峰、吴江 8 线性连续系统最优控制问题
线性二次型问题LQ问题（LinearQuadraticProblem）LQR问题：调节器问题物理概念：若一线性连续系统受外界阵风型的扰动，偏离原来的平衡位置（即偏离零状态），从而造成某一初态xo，则应施加怎样的控制u，使系统回到零状态附近,并满足二次型目标函数为min。高峰、吴江YH
SEI 高峰、吴江 9 线性二次型问题 ⚫ LQ问题（Linear Quadratic Problem） ⚫ LQR问题：调节器问题 物理概念： 若一线性连续系统受外界阵风型的扰动，偏离原 来的平衡位置（即偏离零状态），从而造成某一初态 x0，则应施加怎样的控制u，使系统回到零状态附近， 并满足二次型目标函数为min
自标函数的物理意义min J-([α()Q()()(αT(t)Sα(t)+uT+uT()R(t)u(t)ldt稳态误差：·S=I，表示稳态离零状态的距离xT(t,).x(t)=x +x2 +...+x)·S体现对各个分量的重视程度Si1S125S13X1[x1x2x]S21,S22-S23X2= S11x? +S22x2 + S33x3S31S32,S33JLX3+(S12 + S21)xx2 +(S13 + S31)xix3 + (S23 + S32)x2X3S
SEI 高峰、吴江 10 稳态误差： • S = I，表示稳态离零状态的距离 • S体现对各个分量的重视程度 目标函数的物理意义 ( ) ( ) 2 2 2 2 f f 1 n T x t x t = x + x ++ x ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 1 2 3 , , , , , , , , s s x x s s x x s s x x s x s x s x x x x s s s s s s s s s x x x + + + + + + = + +