《信号与系统》第四章 连续系统的复频域分析

第四章连续系统的复频域分析 第四章连续系统的复频域分析 41拉普拉斯变换的定义、收敛域 42拉普拉斯变换的基本性质 43拉普拉斯逆变换 44LTI系统的复频域分析 45系统函数及其零、极点分布特性 4.6系统的信号流图及系统模拟 47线性系统的稳定性 《信号与系统》

《 信号与系统》 第四章 连续系统的复频域分析 1 第四章 连续系统的复频域分析 4.1 拉普拉斯变换的定义、收敛域 4.2 拉普拉斯变换的基本性质 4.3 拉普拉斯逆变换 4.4 LTI系统的复频域分析 4.5 系统函数及其零、极点分布特性 4.6 系统的信号流图及系统模拟 4.7线性系统的稳定性

第四章连续系统的复频域分析 4,1拉普拉斯变换 、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 傅里叶变换条件,信号在无限区间绝对可积 f() f()不满足绝对可积条件,是由于t→∞或t→一∞时, f()不趋于零。如果引入一个衰减因子e(>)去乘以(t), 只要σ选择得适当,就可以克服此困难 《信号与系统》

《 信号与系统》 第四章 连续系统的复频域分析 2 4.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 傅里叶变换条件，信号在无限区间绝对可积 f t dt ( )  −    ( ) ( ) ( ) ( ) f t f t f t    →  → −  - t 不满足绝对可积条件，是由于t 或t 时， 不趋于零。如果引入一个衰减因子e 去乘以 ， 只要 选择得适当，就可以克服此困难

第四章连续系统的复频域分析 例 2t≥0 f(t ta>,就能保证t→∞和t→-∞时,f(t)e均趋于零, 通常把eo称为收敛因子。 [/()e]=」f f(te (o+jo)t F(σ+jo) 即:F(a+j0)=[f() C-o+Jo) dt 《信号与系统》

《 信号与系统》 第四章 连续系统的复频域分析 3 ( ) ( ) , 0 0 , 0 bt at e t a b e t      =      →  →  - t - t 例: f t 选择a> >b，就能保证t 和t - 时，f t e 均趋于零， 通常把e 称为收敛因子。 ( ) j j ) j ) ( ) e ( )e ( j ) ( j ) ( )e t t t t t FT f t e f t e dt f t dt F F f t dt             − − − −  − + −  − + −   =   = = + + =    （ 即： （

第四章连续系统的复频域分析 f(e-at=FT-LF(o+jo) (o +joconde 两边同乘以e,可得 F(o+jo)e 2丌 s=σ+jo,则ds=jdo,当O=±o时,s=σ± 象函数于是得到 下()/0h=7Uol f(o 2n j (s)e"ds=LT-[F(s) 原函数 《信号与系统》

《 信号与系统》 第四章 连续系统的复频域分析 4 ( ) ( )   ( ) ( ) 1 j j 1 ( )e j 1 ( j )e 2 e 1 ( ) ( j )e e 2 j , , j ( )e ( ) 1 ( )e 2 t t t t t st j st j f t FT F F d f t F d f t dt LT f t f t F s ds LT j                        − −  −  −  − − +  − −  = +     = + = + +      = =    = =          两边同乘以 ，可得 令s= 则ds=jd 当 = 时，s= 于是得到： F s F s 原函数 象函数

第四章连续统的复频域分析 傅氏变换建立了信号在时域和频域间的关系,而拉氏变换 则建立了在时域和复频域间的关系。同时我们发现,在拉氏变 换中,当变量s中的实部σ=0时,拉氏变换就变成了傅氏变换, 也就是说,傅氏变换是拉氏变换的一个特例 在实际问题中,我们遇到的都是因果信号,信号总有发生 的起始时刻,如果将起始时刻定为时间原点,则 f(t)=0(t<0 所以 F(s f(tedt 《信号与系统》

《 信号与系统》 第四章 连续系统的复频域分析 5 傅氏变换建立了信号在时域和频域间的关系，而拉氏变换 则建立了在时域和复频域间的关系。同时我们发现，在拉氏变 换中，当变量s中的实部σ=0时，拉氏变换就变成了傅氏变换， 也就是说，傅氏变换是拉氏变换的一个特例。 在实际问题中，我们遇到的都是因果信号，信号总有发生 的起始时刻，如果将起始时刻定为时间原点， f (t) = 0 (t  0) - 0 ( ) ( )e dst F s f t t − + = 

第四章连续系统的复频域分析 上式称为f)的单边拉普拉斯变换。所以有 0 (10) 此处主要讨论单边拉普拉斯变换。这样,t0时f(t)的取 值与变换结果无关。单边拉普拉斯变换的定义式的积分下限 从0开始,本书中的拉普拉斯变换的积分下限0均指0-。不过, 为了书写简便常常写为0 《信号与系统》

《 信号与系统》 第四章 连续系统的复频域分析 6 上式称为f(t)的单边拉普拉斯变换。所以有      =  +  −  j j s t F s s f t    ( )e d 2 j 1 0 ( ) (t0) 此处主要讨论单边拉普拉斯变换。这样，t<0时f(t)的取 值与变换结果无关。单边拉普拉斯变换的定义式的积分下限 从0-开始，本书中的拉普拉斯变换的积分下限0均指0-。不过， 为了书写简便常常写为0

第四章连续系统的复频域分析 、拉氏变换的收敛域 在引入拉氏变换时我们说过,当(0)乘以衰减因子e后, 就有可能找到合适的a值使()e绝对可积,从而f)e的傅氏 变换存在,继而得到(o)的拉氏变换。那么,合适的σ值如何确 定呢?或者说,如果把合适的σ取值范围称为拉氏变换收敛域 的话,那么如何确定该收敛域?下面通过一个例题对拉氏变 换的收敛域给予说明。 《信号与系统》

《 信号与系统》 第四章 连续系统的复频域分析 7 二、拉氏变换的收敛域 在引入拉氏变换时我们说过，当f(t)乘以衰减因子e -σt后， 就有可能找到合适的σ值使f(t)e-σt绝对可积，从而f(t)e-σt的傅氏 变换存在，继而得到f(t)的拉氏变换。那么，合适的σ值如何确 定呢？或者说，如果把合适的σ取值范围称为拉氏变换收敛域 的话，那么如何确定该收敛域？下面通过一个例题对拉氏变 换的收敛域给予说明

第四章连续系统的复频域分析 【例】求指数函数 f(t=e&(t) (a>0, aER 的象函数F(s)。 【解】根据定义 (s-a)t F(s)=hee-sdt=e(s-a)dt e s-C [1-lim e -(s-a)7] s-d 《信号与系统》

《 信号与系统》 第四章 连续系统的复频域分析 8 【例】求指数函数 ( ) e ( ) α f t t t =  (α>0, α∈R) 的象函数F(s)。 【解】根据定义 [1 lim e ] 1 ( ) e (s) e e d e d ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 s t t s t t s t s t s s F t t       − − →  − −  − − −  − − = − − = = =  

第四章连续系统的复频域分析 由于s=0+j,因此上式中括号内第二项可写为 im e (s-at lm e o-a) -jot e 只要选择σ>a,随着时间t增大,e(-a)将会衰减。故有 lim e(s-a)t=0 从而便()的象函数为 F(s) s-d 若σ<α,ea将随着时间i的增大而增大。当tν∞时,结果 将趋于无穷大,从而使积分不收敛,ft的象函数不存在 《信号与系统》 9

《 信号与系统》 第四章 连续系统的复频域分析 9 由于s=σ+jω，因此上式中括号内第二项可写为 t t t s t t -( -) -( -) -j lim e lim e e → → = 只要选择σ>α，随着时间t的增大，e -(σ-α)t将会衰减。故有 lim e 0 -( - ) = → s t t  从而使f(t)的象函数为 − = s F s 1 ( ) 若σ<α，e -(σ-α)t将随着时间t的增大而增大。当t→∞时， 结果 将趋于无穷大， 从而使积分不收敛， f(t)的象函数不存在

第四章连续系统的复频域分析 从上述讨论中可以看到,f1)乘以衰减因子e后是香 定满足绝对可积条件,还要看f)的性质和a的相对关系 而定。 把使(O)e满足绝对可积条件的σ值的范围称为拉氏 变换的收敛域。在收敛域内,函数的拉氏变换存在,在收 敛域外,函数的拉氏变换不存在。 般而言,若极限lmf()em在o>o时取值为零 t→)0 则收敛条件为o>0 《信号与系统》

《 信号与系统》 第四章 连续系统的复频域分析 10 从上述讨论中可以看到，f(t)乘以衰减因子e -σt后是否 一定满足绝对可积条件，还要看f(t)的性质和σ的相对关系 而定。 把使f(t) e-σt满足绝对可积条件的σ值的范围称为拉氏 变换的收敛域。在收敛域内，函数的拉氏变换存在，在收 敛域外，函数的拉氏变换不存在。 一般而言，若极限 在σ>σ0时取值为零 ，则收敛条件为σ>σ0 。 t t f t − → lim ( )e