第8章电路的暂态分析 含有动态元件L和C的线性电路,当电路发生换路时,由于动态元件上的能量不能发生 跃变,电路从原来的一种相对稳态过渡到另一种相对稳态需要一定的时间,在这段时间内电路 中所发生的物理过程称为暂态,揭示暂态过程中响应的规律称为暂态分析。 本章的学习重点: 暂态、稳态、换路等基本概念 ●换路定律及其一阶电路响应初始值的求解 零输入响应、零状态响应及全响应的分析过程 阶电路的三要素法 阶跃响应 81换路定律 1、学习指导 (1)基本概念 从一种稳定状态过渡到另一种稳定状态需要一定的时间,在这一定的时间内所发生的物理 过程称为暂态;在含有动态元件的电路中,当电路参数发生变化或开关动作等能引起的电路响 应发生变化的现象称为换路:代表物体所处状态的可变化量称为状态变量,如i和c就是状 态变量,状态变量的大小显示了储能元件上能量储存的状态。 (2)基本定律 换路定律是暂态分析中的一条重要基本规律,其内容为:在电路发生换路后的一瞬间,电 感元件上通过的电流i和电容元件的极间电压lc,都应保持换路前一瞬间的原有值不变。此 规律揭示了能量不能跃变的事实 (3)换路定律及其响应初始值的求解 阶电路响应初始值的求解步骤一般如下。 ①根据换路前一瞬间的电路及换路定律求出动态元件上响应的初始值。 ②根据动态元件初始值的情况画出1=0+时刻的等效电路图:当i(0+)=0时,电感元件 在图中相当于开路;若i(0)≠0时,电感元件在图中相当于数值等于i(0+)的恒流源:当 l(0+)=0时,电容元件在图中相当于短路;若u(0+)≠0,则电容元件在图中相当于数值等于 l(0+)的恒压源
105 第 8 章 电路的暂态分析 含有动态元件 L 和 C 的线性电路，当电路发生换路时，由于动态元件上的能量不能发生 跃变，电路从原来的一种相对稳态过渡到另一种相对稳态需要一定的时间，在这段时间内电路 中所发生的物理过程称为暂态，揭示暂态过程中响应的规律称为暂态分析。 本章的学习重点： ⚫ 暂态、稳态、换路等基本概念； ⚫ 换路定律及其一阶电路响应初始值的求解； ⚫ 零输入响应、零状态响应及全响应的分析过程； ⚫ 一阶电路的三要素法； ⚫ 阶跃响应。 8.1 换路定律 1、学习指导 （1）基本概念 从一种稳定状态过渡到另一种稳定状态需要一定的时间，在这一定的时间内所发生的物理 过程称为暂态；在含有动态元件的电路中，当电路参数发生变化或开关动作等能引起的电路响 应发生变化的现象称为换路；代表物体所处状态的可变化量称为状态变量，如 iL 和 uC就是状 态变量，状态变量的大小显示了储能元件上能量储存的状态。 （2）基本定律 换路定律是暂态分析中的一条重要基本规律，其内容为：在电路发生换路后的一瞬间，电 感元件上通过的电流 iL 和电容元件的极间电压 uC，都应保持换路前一瞬间的原有值不变。此 规律揭示了能量不能跃变的事实。 （3）换路定律及其响应初始值的求解 一阶电路响应初始值的求解步骤一般如下。 ① 根据换路前一瞬间的电路及换路定律求出动态元件上响应的初始值。 ② 根据动态元件初始值的情况画出 t=0＋时刻的等效电路图：当 iL(0＋)=0 时，电感元件 在图中相当于开路；若 iL(0＋)≠0 时，电感元件在图中相当于数值等于 iL(0＋)的恒流源；当 uC(0＋)=0 时，电容元件在图中相当于短路；若 uC(0＋)≠0，则电容元件在图中相当于数值等于 uC(0＋)的恒压源
根据=0时的等效电路图,求出各待求响应的初始值。 2、学习检验结果解析 (1)何谓暂态?何谓稳态?您能说出多少实际生活中存在的过渡过程现象 解析:在含有动态元件电容的电路中,电容未充电,原始储能为零时是一种稳态,电容 充电完毕,储能等于某一数值时也是一种稳态。电容由原始储能为零开始充电,直至充电完毕 使得储存电场能量达到某一数值时所经历的物理过程称为暂态。水是一种稳态,冰是一种稳态 水凝结成冰所经历的物理过程和冰溶化成水所经历的物理过程都是暂态;火车在站内静止时是 种稳态,火车加速至速度为v时也是一种稳态,从静止加速到速度ν中间所经历的加速过程 是暂态 (2)从能量的角度看,暂态分析研究问题的实质是什么? 解析:含有动态元件的电路在换路时才会出现暂态过程,这是由于L和C是储能元件, 而储能就必然对应一个吸收与放出能量的过程,即储存和放出能量都是需要时间的。在L和C 是上能量的建立和消失是不能跃变的。因此,暂态分析研究问题的实质实际上是为了寻求储能 元件在能量发生变化时所遵循的规律。掌握了这些规律,人们才可能在实际当中尽量缩短暂态 过程经历的时间,最大限度地减少暂态过程中可能带来的危害 (3)何谓换路?换路定律阐述问题的实质是什么?换路定律是否也适用于暂态电路中的 电阻元件? 解析:在含有动态元件的电路中,当元件参数发生变化、电路或电路某处接通和断开或短 路时,只要能引起电路响应发生变化的所有情况,统称为电路发生了换路。换路定律阐述问题 的实质是动态元件所储存的能量不能发生跃变,必须经历一定的时间,在这一定的时间(暂态 过程)内,能量的变化必须遵循一定的规律,暂态分析就是研究和认识这些基本规律 换路定律不适合暂态电路中的电阻元件,因为电阻元件不是储能元件。 (4)动态电路中,在什么情况下电感L相当于短路?电容C相当于开路?又在什么情况 下,L相当于一个恒流源?C相当于一个恒压源? 解析:当动态电路换路后重新达到稳态时,电感L中通过的电流不再发生变化,由公式 =L一可知,L两端的自感电压此时为零,在这种情况下L相当于短路;同理,电容C两 dt 端的电压重新达到稳态后,由C<u可知,电容支路中电流为零,这种情况下电容C相 dt 当于开路。求动态电路中响应的初始值时,如果L在1=时已有原始储能,即电流在换路瞬 间不为零,根据换路定律i1(0,)=i1(0)可知,此时电感L相当于一个恒流源;同理,如果C 在=0时己有原始储能,即它两端的电压在换路瞬间不为零,根据换路定律uc(O,)=uc(O) 可知,此时电容C相当于一个恒压源
106 根据 t= 0＋时的等效电路图，求出各待求响应的初始值。 2、学习检验结果解析 （1）何谓暂态？何谓稳态？您能说出多少实际生活中存在的过渡过程现象？ 解析：在含有动态元件电容的电路中，电容未充电，原始储能为零时是一种稳态，电容 充电完毕，储能等于某一数值时也是一种稳态。电容由原始储能为零开始充电，直至充电完毕， 使得储存电场能量达到某一数值时所经历的物理过程称为暂态。水是一种稳态，冰是一种稳态， 水凝结成冰所经历的物理过程和冰溶化成水所经历的物理过程都是暂态；火车在站内静止时是 一种稳态，火车加速至速度为 v 时也是一种稳态，从静止加速到速度 v 中间所经历的加速过程 是暂态……。 （2）从能量的角度看，暂态分析研究问题的实质是什么？ 解析：含有动态元件的电路在换路时才会出现暂态过程，这是由于 L 和 C 是储能元件， 而储能就必然对应一个吸收与放出能量的过程，即储存和放出能量都是需要时间的。在 L 和 C 是上能量的建立和消失是不能跃变的。因此，暂态分析研究问题的实质实际上是为了寻求储能 元件在能量发生变化时所遵循的规律。掌握了这些规律，人们才可能在实际当中尽量缩短暂态 过程经历的时间，最大限度地减少暂态过程中可能带来的危害。 （3）何谓换路？换路定律阐述问题的实质是什么？换路定律是否也适用于暂态电路中的 电阻元件？ 解析：在含有动态元件的电路中，当元件参数发生变化、电路或电路某处接通和断开或短 路时，只要能引起电路响应发生变化的所有情况，统称为电路发生了换路。换路定律阐述问题 的实质是动态元件所储存的能量不能发生跃变，必须经历一定的时间，在这一定的时间（暂态 过程）内，能量的变化必须遵循一定的规律，暂态分析就是研究和认识这些基本规律。 换路定律不适合暂态电路中的电阻元件，因为电阻元件不是储能元件。 （4）动态电路中，在什么情况下电感 L 相当于短路？电容 C 相当于开路？又在什么情况 下，L 相当于一个恒流源？C 相当于一个恒压源？ 解析：当动态电路换路后重新达到稳态时，电感 L 中通过的电流不再发生变化，由公式 dt di uL = L 可知，L 两端的自感电压此时为零，在这种情况下 L 相当于短路；同理，电容 C 两 端的电压重新达到稳态后，由 dt du i C C C = 可知，电容支路中电流为零，这种情况下电容 C 相 当于开路。求动态电路中响应的初始值时，如果 L 在 t=0＋时已有原始储能，即电流在换路瞬 间不为零，根据换路定律 (0 ) (0 ) L + = L − i i 可知，此时电感 L 相当于一个恒流源；同理，如果 C 在 t=0＋时已有原始储能，即它两端的电压在换路瞬间不为零，根据换路定律 (0 ) (0 ) uC + = uC − 可知，此时电容 C 相当于一个恒压源
82一阶电路的暂态分析 1、学习指导 (1)一阶电路的零输入响应 外激励为零,仅在动态元件的原始储能下所引起的电路响应称为零输入响应。 (2)一阶电路的零状态响应 动态元件上的原始储能为零,仅在外激励下所引起电路响应称为零状态响应 (3)一阶电路的全响应 电路既有外激励,动态元件上又有原始能量,这种情况下引起的电路响应称为全响应。 (4)电路响应求解中需要注意的问题 在介绍了初始值求解方法的基础上,本章对一阶电路的零输入响应、零状态响应及全响 应进行了经典分析,其中重点阐述了一阶电路时间常数的概念:一阶电路的时间常数τ,在数 值上等于响应经历了总变化的63.2%所需用的时间,讨论中一般认为,暂态过程经过3~5τ 的时间就基本结束了,因此时间常数τ反映了暂态过程进行的快慢程度。对零输入响应而言 不需求解响应的稳态值,只要求出响应的初始值和时间常数即可:对零状态响应而言,只需求 出响应的稳态值和时间常数即可:若动态电路既有外激励,又有原始储能的情况下,这时的电 路响应称为全响应。全响应一般有两种分析方法: ①全响应=零状态响应十零输入响应 ②全响应=稳态分量+暂态分量 根据题目要求的不同及侧重点的不同,我们可以选择上述两种求解方法中合适的一种方法 进行动态电路全响应的分析,在分析中应牢固掌握一阶电路响应的指数规律,并且注意理解响 应ic和任何情况下都只有暂态分量而没有稳态分量的问题 (5)一阶电路的三要素法 在学习一阶电路经典法的基础上,引入了一阶电路简化的分析计算方法一一三要素法。 所谓的三要素法,就是对待求的电路响应求出其初始值、稳态值及时间常数τ,然后代入公式 f(1)=f(∞)+Lf(04)-f(∞)e 应用三要素法求解一阶电路的响应,关键在三要素(响应的初始值∫(0+)、响应的稳态 值∫(∞)和一阶电路中的时间常数τ)的正确求解,注意动态元件状态变量的初始值求解应 根据换路前一瞬间的电路进行;其它响应的初始值求解则要根据换路后一瞬间的等效电路进 行;响应稳态值的求解要根据换路后重新达到稳态时的等效电路进行:时间常数的求解要在稳 态时的电路基础上除源,然后将动态元件断开后求出其无源二端网络的入端电阻R,代入时间 常数的计算公式中即可。在求解在三要素的过程中,注意各种情况下等效电路的正确性是解题
107 8.2 一阶电路的暂态分析 1、学习指导 （1）一阶电路的零输入响应 外激励为零，仅在动态元件的原始储能下所引起的电路响应称为零输入响应。 （2）一阶电路的零状态响应 动态元件上的原始储能为零，仅在外激励下所引起电路响应称为零状态响应。 （3）一阶电路的全响应 电路既有外激励，动态元件上又有原始能量，这种情况下引起的电路响应称为全响应。 （4）电路响应求解中需要注意的问题 在介绍了初始值求解方法的基础上，本章对一阶电路的零输入响应、零状态响应及全响 应进行了经典分析，其中重点阐述了一阶电路时间常数的概念：一阶电路的时间常数τ，在数 值上等于响应经历了总变化的 63.2%所需用的时间，讨论中一般认为，暂态过程经过 3～5τ 的时间就基本结束了，因此时间常数τ反映了暂态过程进行的快慢程度。对零输入响应而言， 不需求解响应的稳态值，只要求出响应的初始值和时间常数即可；对零状态响应而言，只需求 出响应的稳态值和时间常数即可；若动态电路既有外激励，又有原始储能的情况下，这时的电 路响应称为全响应。全响应一般有两种分析方法： ① 全响应=零状态响应＋零输入响应 ② 全响应=稳态分量＋暂态分量 根据题目要求的不同及侧重点的不同，我们可以选择上述两种求解方法中合适的一种方法 进行动态电路全响应的分析，在分析中应牢固掌握一阶电路响应的指数规律，并且注意理解响 应 iC和 uL 任何情况下都只有暂态分量而没有稳态分量的问题。 （5）一阶电路的三要素法 在学习一阶电路经典法的基础上，引入了一阶电路简化的分析计算方法——三要素法。 所谓的三要素法，就是对待求的电路响应求出其初始值、稳态值及时间常数τ，然后代入公式 t f t f f f e − ( ) = () +[ (0+ ) − ()] 应用三要素法求解一阶电路的响应，关键在三要素（响应的初始值 f（0＋）、响应的稳态 值 f（∞）和一阶电路中的时间常数τ）的正确求解，注意动态元件状态变量的初始值求解应 根据换路前一瞬间的电路进行；其它响应的初始值求解则要根据换路后一瞬间的等效电路进 行；响应稳态值的求解要根据换路后重新达到稳态时的等效电路进行；时间常数的求解要在稳 态时的电路基础上除源，然后将动态元件断开后求出其无源二端网络的入端电阻 R，代入时间 常数的计算公式中即可。在求解在三要素的过程中，注意各种情况下等效电路的正确性是解题
的关键。 2、学习检验结果解析 (1)一阶电路的时间常数τ由什么来决定?其物理意义是什么? 解析:一阶电路中时间常数τ仅由一阶电路中的电路参数R、L、C来决定,与状态变量 和激励无关。时常常数τ决定了状态变化的快慢程度,在暂态分析中起关键作用。时间常数τ 实际上反映了响应经历了过渡过程的63.2%所需要的时间 (2)一阶电路响应的规律是什么?电容元件上通过的电流和电感元件两端的自感电压有 无稳态值?为什么? 解析:一阶电路响应的规律是指数规律。电容元件上通过的电流不是充电电流就是放电电 流,即只存在于充、放电的暂态过程中;电感元件两端的电压只有在通过电感元件的电流发生 变化时才产生,即也只存在于暂态过程中,因此电容元件上通过的电流和电感元件两端的自感 电压都没有稳态值 (3)能否说一阶电路响应的暂态分量等于它的零输入响应?稳态分量等于它的零状态响 应?为什么? 解析:这样的说法是不正确的。因为零状态响应中一般均包括有暂态分量和稳态分量 4)一阶电路的零输入响应规律如何?零状态响应规律又如何?全响应的规律呢? 解析:一阶电路无论是零输入响应还是零状态响应以及全响应,响应的规律均为指数规律 (5)你能正确画出一阶电路0.和P=∞时的等效电路图吗?图中动态元件如何处理? 解析:一阶电路在r0时的等效电路图中,动态元件L如果没有原始储能,按开路处理 如果有原始储能,则用一个恒流源ⅱ(0-)代替;动态元件C如果没有原始储能,按短路处理, 如果有原始储能,则用一个恒压源uc(0-)代替。一阶电路在F∞时的等效电路图中,动态元件 L按短路处理:C按开路处理。 (6)何谓一阶电路的三要素?试述其物理意义。试述三要素法中的几个重要环节应如何 掌握? 解析:一阶电路的三要素是指:响应的初始值∫(0+)、响应的稳态值∫(∞)和时间常数 τ。初始值反映了响应在换路前一瞬间的数值:稳态值反映了响应换路后重新达到稳态时响应 的数值:时间常数τ则反映了响应经历了过渡过程的632%所需要的时间。在应用三要素法求 解电路响应时应注意: 求响应的初始值时: ①先由换路前的电路求出动态元件的(0-)或i(0-),然后根据换路定律求出它们的初 始值:②根据动态元件的初始值对动态元件加以处理,画出其t=0+的等效电路图;③根据 r=0的等效电路图,用前面学过的电路分析方法求出其它各响应的初始值。 求响应的稳态值时 ①画出动态电路稳态时的等效电路。在这个等效电路中,电容元件开路处理,电感元件 108
108 的关键。 2、学习检验结果解析 （1）一阶电路的时间常数τ由什么来决定？其物理意义是什么？ 解析：一阶电路中时间常数τ仅由一阶电路中的电路参数 R、L、C 来决定，与状态变量 和激励无关。时常常数τ决定了状态变化的快慢程度，在暂态分析中起关键作用。时间常数τ 实际上反映了响应经历了过渡过程的 63.2%所需要的时间。 （2）一阶电路响应的规律是什么？电容元件上通过的电流和电感元件两端的自感电压有 无稳态值？为什么？ 解析：一阶电路响应的规律是指数规律。电容元件上通过的电流不是充电电流就是放电电 流，即只存在于充、放电的暂态过程中；电感元件两端的电压只有在通过电感元件的电流发生 变化时才产生，即也只存在于暂态过程中，因此电容元件上通过的电流和电感元件两端的自感 电压都没有稳态值。 （3）能否说一阶电路响应的暂态分量等于它的零输入响应？稳态分量等于它的零状态响 应？为什么？ 解析：这样的说法是不正确的。因为零状态响应中一般均包括有暂态分量和稳态分量。 （4）一阶电路的零输入响应规律如何？零状态响应规律又如何？全响应的规律呢？ 解析：一阶电路无论是零输入响应还是零状态响应以及全响应，响应的规律均为指数规律。 （5）你能正确画出一阶电路 t=0-和 t=∞时的等效电路图吗？图中动态元件如何处理？ 解析：一阶电路在 t=0 时的等效电路图中，动态元件 L 如果没有原始储能，按开路处理， 如果有原始储能，则用一个恒流源 iL(0＋)代替；动态元件 C 如果没有原始储能，按短路处理， 如果有原始储能，则用一个恒压源 uC(0＋)代替。一阶电路在 t=∞时的等效电路图中，动态元件 L 按短路处理；C 按开路处理。 （6）何谓一阶电路的三要素？试述其物理意义。试述三要素法中的几个重要环节应如何 掌握？ 解析：一阶电路的三要素是指：响应的初始值 f（0＋）、响应的稳态值 f（∞）和时间常数 τ。初始值反映了响应在换路前一瞬间的数值；稳态值反映了响应换路后重新达到稳态时响应 的数值；时间常数τ则反映了响应经历了过渡过程的 63.2%所需要的时间。在应用三要素法求 解电路响应时应注意： 求响应的初始值时： ① 先由换路前的电路求出动态元件的 uC(0－)或 iL(0－)，然后根据换路定律求出它们的初 始值；② 根据动态元件的初始值对动态元件加以处理，画出其 t=0＋的等效电路图；③ 根据 t=0＋的等效电路图，用前面学过的电路分析方法求出其它各响应的初始值。 求响应的稳态值时： ① 画出动态电路稳态时的等效电路。在这个等效电路中，电容元件开路处理，电感元件
短路处理;②根据稳态时的等效电路应用前面所学过的电路分析方法求出各响应的稳态值。 求时间常数τ时: ①RC一阶电路的时间常数τ=RC;RC一阶电路的时间常数r=-:②求解时间常数的 公式中,其电阻R应为断开动态元件后,由断开两端所呈现的戴维南等效电路的等效内阻 (7)一阶电路中的0、0-、0+这三个时刻有何区别?c=∞是个什么概念?它们的实质各 是什么?在具体分析时如何取值 解析:换路发生在0时刻;0-是换路前一瞬间的时刻,和0的时间间隔无限趋近于0但 不等于0,O则是换路后一瞬间的时刻,和0的时间间隔也无限趋近于0且不等于0。理论上 讲过渡过程完成需要无限长时间,所以把过渡过程结束时的稳态值用∫(∞)表示,=∞的概 念就是过渡过程结束 83一阶电路的阶跃响应 1、学习指导 (1)阶跃响应 当电路中的激励是阶跃形式时,在电路中引起的响应称为阶跃响应 (2)阶跃函数 单位阶跃函数ε(t)属于奇异函数,在学习时必须辨明ε(t)和延时阶跃函数ε(t-10)的 差别以及理解一个函数∫(1)乘以一个阶跃函数e(t)的意义。在讨论阶跃函数在电路中引起 响应的求解方法时,应对叠加定理在其中的作用加以理解和掌握。 2、学习检验结果解析 (1)单位阶跃函数是如何定义的?其实质是什么?它在电路分析中有什么作用? fo f() e(o-1)的波形 e(t+2)的波形 e(-2)的波形 83检验题2几个阶跃函数的波形图 解析:单位阶跃函数属于一种奇异函数,定义为 0t≤0 E(1) t≥0 109
109 短路处理；② 根据稳态时的等效电路应用前面所学过的电路分析方法求出各响应的稳态值。 求时间常数τ时： ① RC 一阶电路的时间常数τ=RC；RC 一阶电路的时间常数 R L = ；② 求解时间常数的 公式中，其电阻 R 应为断开动态元件后，由断开两端所呈现的戴维南等效电路的等效内阻。 （7）一阶电路中的 0、0－、0＋这三个时刻有何区别？t=∞是个什么概念？它们的实质各 是什么？在具体分析时如何取值？ 解析：换路发生在 0 时刻； 0－是换路前一瞬间的时刻，和 0 的时间间隔无限趋近于 0 但 不等于 0，0＋则是换路后一瞬间的时刻，和 0 的时间间隔也无限趋近于 0 且不等于 0。理论上 讲过渡过程完成需要无限长时间，所以把过渡过程结束时的稳态值用 f（∞）表示，t=∞的概 念就是过渡过程结束。 8.3 一阶电路的阶跃响应 1、学习指导 （1）阶跃响应 当电路中的激励是阶跃形式时，在电路中引起的响应称为阶跃响应。 （2）阶跃函数 单位阶跃函数ε（t）属于奇异函数，在学习时必须辨明ε（t）和延时阶跃函数ε（t-t0）的 差别以及理解一个函数 f（t）乘以一个阶跃函数ε（t）的意义。在讨论阶跃函数在电路中引起 响应的求解方法时，应对叠加定理在其中的作用加以理解和掌握。 2、学习检验结果解析 （1）单位阶跃函数是如何定义的？其实质是什么？它在电路分析中有什么作用？ 解析：单位阶跃函数属于一种奇异函数，定义为 = + − 1 0 0 0 ( ) t t t t f (t) 1 0 8.3 检验题 2 几个阶跃函数的波形图 ε（t0－t）的波形 t0 －2 t f (t) 1 －1 0 ε（t＋2）的波形 2 t f (t) 1 0 1 ε（t－2）的波形
由定义式可看出,单位阶跃函数说明它在(0-,0+)时域内发生了单位阶跃。用单位阶 跃函数可以描述电路中开关的动作,它表示在1=0时把电路接到单位直流电源上。 (2)说说(-1)、(1+2)和(1-2)各对应时间轴上的哪一点? 解析:(-1)表示函数阶跃的时间与时间轴箭头方向相反:(t+2)表示阶跃发生在0时 刻的前2个时间单位:(-2)表示阶跃延时2个时间单位才发生。用下面几个图可以说明 (3)试用阶跃函数分别表示图示电流和电压的波形 i/A (a) 图8.17检验题8.3.3波形图 解析:图(a)阶跃函数()=2·E(t-1)-E(t-3)-E(t-4)A) 图(b)阶跃函数u()=()+(-1)-(t-3)-E(t-4V) 84二阶电路的零输入响应 1、学习指导 零输入状态下RLC电路过渡过程的性质,取决于电路元件的参数。若 R7C时,电路发生非振荡过程,也称“过阻尼”状态 R2/或R=22时,由于电阻较大,电容放电一次,能量就被电阻 消耗殆尽,因此电路不能产生振荡。 2、学习检验结果解析 (1)二阶电路的零输入响应有几种情况?各种情况下响应的表达式如何?条件是什么? 解析:二阶电路的零输入响应状态的性质,取决于电路元件的参数。归纳起来有以下 种情况(式中A1、A2为待定的积分常数) l10
110 由定义式可看出，单位阶跃函数说明它在（0－，0＋）时域内发生了单位阶跃。用单位阶 跃函数可以描述电路中开关的动作，它表示在 t=0 时把电路接到单位直流电源上。 （2）说说（－t）、（t＋2）和（t－2）各对应时间轴上的哪一点？ 解析：（－t）表示函数阶跃的时间与时间轴箭头方向相反；（t＋2）表示阶跃发生在 0 时 刻的前 2 个时间单位；（t－2）表示阶跃延时 2 个时间单位才发生。用下面几个图可以说明。 （3）试用阶跃函数分别表示图示电流和电压的波形。 解析：图（a）阶跃函数 i(t) = 2 • (t −1) − (t − 3) − (t − 4)(A) 图（b）阶跃函数 u(t) = (t) + (t −1) − (t − 3) − (t − 4)(V) 8.4 二阶电路的零输入响应 1、学习指导 零输入状态下 RLC 电路过渡过程的性质，取决于电路元件的参数。若 C L R 2 时，电路发生非振荡过程，也称“过阻尼”状态； C L R 2 时，电路出现振荡过程，称之为“欠阻尼”状态； C L R = 2 时，电路为临界非振荡过程，称“临界阻尼”状态； 当电阻为零时，电路出现等幅振荡。在 RLC 串联的零输入电路中产生振荡的必要条件是 C L R 2 。如果 C L R 2 或 C L R = 2 时，由于电阻较大，电容放电一次，能量就被电阻 消耗殆尽，因此电路不能产生振荡。 2、学习检验结果解析 （1）二阶电路的零输入响应有几种情况？各种情况下响应的表达式如何？条件是什么？ 解析：二阶电路的零输入响应状态的性质，取决于电路元件的参数。归纳起来有以下三 种情况（式中 A1、A2 为待定的积分常数）： 2 t/s i / A 1 0 图 8.17 检验题8.3.3 波形图 3 2 1 4 2 t/s u / V 1 0 3 2 1 4 （a） （b）
①R>21时,电路发生非振荡暂态过程,也称“过阻尼”状态。其响应的特征根p1 P是两个实部为负的共轭复数,响应表达式的形式为:f()=e-(A1snon+A2 cos ot) ②R2或R=2 时,由于电阻较大,电容放电一次,能量就被电阻消耗殆尽,因此电路不能产生振荡 (2).图8.20所示电路处于临界阻尼状态,如将开关S闭合, 问电路将成为过阻尼还是欠阻尼状态 解析:由图可知,当开关S闭合时,电路中的总电容由lF增 大到2F,由R=21情况转变到R>2,2,电路也由临界阻尼 状态变为过阻尼状态 图820检验题842电路 第8章章后习题解析 8.1图示各电路已达稳态,开关S在t=0时动作,试求各电路中的各元件电压的初始值
111 ① C L R 2 时，电路发生非振荡暂态过程，也称“过阻尼”状态。其响应的特征根 p1、 p2 是两个实部为负的共轭复数，响应表达式的形式为： ( ) ( sin cos ) 1 2 f t e A t A t t = + − ； ② C L R 2 时，电路暂态过程是振荡性的，称之为“欠阻尼”状态。其响应的特征根 p1、p2 是两个不等的负实根，响应表达式的形式为： p t p t f t A e A e 1 2 1 2 ( ) = + ； ③ C L R = 2 时，电路暂态过程仍属于非振荡性，称“临界阻尼”状态。其响应的特征根 p1、p2 是一对相等的负实数，响应表达式的形式为： pt f (t) (A A t)e = 1 + 2 。 当二阶电路中的电阻 R=0 时，则响应是等幅振荡的正弦函数，是二阶零输入响应的理想 情况，也称为“无阻尼”情况。 在二阶零输入响应电路中产生振荡的必要条件是 C L R 2 。如果 C L R 2 或 C L R = 2 时，由于电阻较大，电容放电一次，能量就被电阻消耗殆尽，因此电路不能产生振荡。 （2）．图 8.20 所示电路处于临界阻尼状态，如将开关 S 闭合， 问电路将成为过阻尼还是欠阻尼状态？ 解析：由图可知，当开关 S 闭合时，电路中的总电容由 1F 增 大到 2F，由 C L R = 2 情况转变到 C L R 2 ，电路也由临界阻尼 状态变为过阻尼状态。 第 8 章 章后习题解析 8.1 图示各电路已达稳态，开关 S 在 t = 0 时动作，试求各电路中的各元件电压的初始值。 图 8.20 检验题 8.4.2 电路 2F S R 2F L
10 59 100V 24V 1Fa(0)100 图821习题8.1电路 解:(a)图电路:换路前 100-50 i(0.)= 2+3+10≈3.33A 100V 根据换路定律可得 U3o 3Q i1(0,)=i1(0.)=333A 习题8.1(a)t=0等效电路 画出1=04时的等效电路如图示。根据=0+时的等效电路可求得 U 10=×10=00 ≈33.3V UL=-3+100-U1o=-10+100-333=56.7V (b)图电路:换路前达稳态时 i1(0)=0A,uc(O-)=15V 根据换路定律可得 10g 1(0+)=i1(0)=0A lc(04)=lc(0-)=15V 习题8.1(b)=0等效电路 画出1=04时的等效电路如图示。根据【=0+时的等效电路可求得 U2o=15-2.5=12.5V 100V ln(0+)
112 解：（a）图电路：换路前 3.33A 2 3 10 100 50 (0 ) L + + − i − = 根据换路定律可得： iL (0+ ) = iL (0− ) = 3.33A 画出 t=0＋时的等效电路如图示。根据 t=0＋时的等效电路可求得 100 10 100 33.3 56.7V 33.3V 3 100 10 3 10 3 10V 3 10 L 3 10 10 3 = − + − = − + − = = = = = U U U U U （b）图电路：换路前达稳态时 iL (0− ) = 0A， uC (0− ) =15V 根据换路定律可得： (0 ) (0 ) 15V (0 ) (0 ) 0A C C L L = = = = + − + − u u i i 画出 t=0＋时的等效电路如图示。根据 t=0＋时的等效电路可求得 15 2.5 12.5V 2.5V 5 25 5 15 25 5 = − = = + = U U 图 8.21 习题 8.1 电路 ＋ － 50V S 10Ω 3Ω 4H ＋ 2Ω 100V － （a） (t=0) S 5Ω 10Ω 2H 25Ω ＋ 15V － （b） 3µF (t=0) S 50Ω 100Ω ＋ uL(0+) － iL(0+) ＋ 100V － （c） ＋ 50V － 1µF (t=0) S 100Ω 50Ω ＋ uC(0+) － ＋ 24V － （d） ＋ 100V － 3Ω 10Ω iL(0＋) 习题 8.1（a）t=0＋等效电路 ＋ U10Ω － － U3Ω ＋ ＋ UL － ＋ U25Ω － ＋ 15V － 10Ω 5Ω 习题 8.1（b）t=0＋等效电路 － U10Ω ＋ ＋ 15V － 25Ω ＋ 1A 100V － 100Ω 50Ω ＋ uL(0＋) － ＋ U50Ω － ＋U100Ω－ ＋ 50V －
(c)图电路:换路前 i1(0.)=,=1A 100 根据换路定律可得 L(0,)=i1(0) 画出t=0时的等效电路如图示。根据=0,时的等效电路可求得 10050 10,)=—10050100 10050 Umg=100100200 U=a1(0,)-50100 -50=- (d)图电路:换路前 uc(o 根据换路定律可得 习题8.1(d)=0等效电路 lc(0,)=lc(0)=16V 画出t=0+时的等效电路如图示。根据1=04时的等效电路可求得 U1oo=uc(04)=16V 82图示电路在t=0时开关S闭合,闭合开关 之前电路已达稳态。求uc(1) 3K Q 解:由题意可知,此电路的暂态过程中不存在 独立源,因此是零输入响应电路。首先根据换路前 的电路求出电容电压为 图822习题82电路 (0-)=Us=126V 根据换路定律可得初始值 k(0+)=t(0-)=126V 换路后,126V电源及3KΩ电阻被开关短路,因此电路的时间常数 T=3×103×100×106=0.3s 代入零输入响应公式后可得 113
113 （c）图电路：换路前 1A 100 100 (0 ) iL − = = 根据换路定律可得： iL (0+ ) = iL (0− ) =1A 画出 t=0＋时的等效电路如图示。根据 t=0＋时的等效电路可求得 V 3 50 50 3 100 (0 ) 50 V 3 200 3 100 100 V 3 100 50 1 100 1 50 50 100 100 1 (0 ) 50 L 100 L = − = − = − = − = = + − + + = + + U u U u （d）图电路：换路前 16V 50 100 100 C (0 ) 24 = + u − = 根据换路定律可得： uC (0+ ) = uC (0− ) =16V 画出 t=0＋时的等效电路如图示。根据 t=0＋时的等效电路可求得 U100 = uC (0+ ) =16V 8.2 图示电路在 t = 0 时开关 S 闭合，闭合开关 之前电路已达稳态。求 ( ) C u t 。 解：由题意可知，此电路的暂态过程中不存在 独立源，因此是零输入响应电路。首先根据换路前 的电路求出电容电压为 uC(0－)=US=126V 根据换路定律可得初始值 uC(0＋)= uC(0－)=126V 换路后，126V 电源及 3KΩ电阻被开关短路，因此电路的时间常数 τ=3×103×100×10-6=0.3s 代入零输入响应公式后可得 (t=0) 100µF S 3KΩ 3KΩ ＋ uC(0+) － ＋ 126V － 图 8.22 习题 8.2 电路 ＋ 16V － ＋ U100Ω － 100Ω 习题 8.1（d）t=0＋等效电路
lc(1)=126eV 83图示电路在开关S动作之前已达稳态,在 b(=0)29 0时由位置a投向位置b。求过渡过程中的 l1(t)和1(1) 解:由电路图可知,换路后电路中不再存在 独立源,因此该电路也是零输入响应电路。根据 图823习题8.3电路 换路前的电路可得 i1(0) 6100 (3∥6+2)∥43+63 根据换路定律可得 习题8.31=0时的电路图 i1(0,)=i1(0)=A 画出1=0时的等效电路如图示。根据1=04时的等效电路可求得 100 100 n1(04)=1-02=33×2x6=-200V 把1=0等效电路中的恒流源断开,求戴维南等效电路的入端电阻为 R=[(2+4)∥6]+3=69 求得电路的时间常数为 6-6 将初始值和时间常数代入零输入响应公式后可得 100 i1(t)==eA,a1(t)=-200eV 84在图824所示电路中,R1=R2=100K9,C=luF, Us=3V。开关S闭合前电容元件上原始储能为零,试求开关 闭合后0.2秒时电容两端的电压为多少? 解:由于动态元件的原始储能为零,所以此电路是零状 态响应电路。此类电路应先求出响应的稳态值和时间常数 电路重新达稳态时,电容处于开路状态,其端电压等于与它 图8.24习题84电路 相并联的电阻端电阻端电压, lc(∞)=UR1=3×=1.5V 求时间常数的等效电路如图示,可得 习题84求时间常数的等效电路
114 t u t e 3.33 C ( ) 126 − = V 8.3 图示电路在开关 S 动作之前已达稳态，在 t = 0 时由位置 a 投向位置 b。求过渡过程中的 ( ) ( ) L L u t 和i t 。 解：由电路图可知，换路后电路中不再存在 独立源，因此该电路也是零输入响应电路。根据 换路前的电路可得 A 3 100 3 6 6 (3// 6 2)// 4 100 (0 ) L = + + i − = 根据换路定律可得 A 3 100 (0 ) (0 ) iL + = iL − = 画出 t=0＋时的等效电路如图示。根据 t=0＋时的等效电路可求得 6 200V 3 2 100 3 3 100 (0 ) L 1 2 = − u + = −U −U = − − 把 t=0＋等效电路中的恒流源断开，求戴维南等效电路的入端电阻为 R=[(2＋4)∥6]＋3=6Ω 求得电路的时间常数为 1s 6 6 = = = R L 将初始值和时间常数代入零输入响应公式后可得 A ( ) 200 V 3 100 ( ) L L t t i t e u t e − − = ， = − 8.4 在图 8.24 所示电路中，R1 = R2 =100KΩ，C=1µF， US =3V。开关 S 闭合前电容元件上原始储能为零，试求开关 闭合后 0.2 秒时电容两端的电压为多少？ 解：由于动态元件的原始储能为零，所以此电路是零状 态响应电路。此类电路应先求出响应的稳态值和时间常数。 电路重新达稳态时，电容处于开路状态，其端电压等于与它 相并联的电阻端电阻端电压，即 1.5V 2 1 uC () =UR1 = 3 = 求时间常数的等效电路如图示，可得 6Ω (t=0) S 4Ω 2Ω ＋ uL － iL ＋ 100V － 图8.23 习题 8.3电路 3Ω 6H a b (t=0) S R1 C ＋ US － 图 8.24 习题 8.4 电路 R2 4Ω iL(0＋) 2Ω 6Ω 3Ω ＋ uL(0＋) － 习题 8.3 t=0＋时的电路图 ＋ U1 － － U2 ＋ R1 C 习题 8.4 求时间常数的等效电路 R2