第9章非正弦周期电流电路 电子技术中广泛使用着非正弦周期信号,例如脉冲信号发生器、锯齿波发生器等。本章 首先介绍了非正弦周期量产生的原因,其次讲述了非正弦周期信号的分解与合成,在此基础上 对非正弦周期信号进行了谐波分析:介绍了非正弦周期信号的频谱表示法及频谱的特点:最后 对非正弦周期信号作用下线性电路的分析计算进行了研究 本章的学习重点 非正弦周期信号的谐波分析法 非正弦周期信号的频谱分析法 非正弦周期信号作用下线性电路的分析与计算 9.1非正弦周期信号 1、学习指导 (1)非正弦周期信号的产生 当电路中激励是非正弦周期信号时,电路中的响应也是非正弦的:当不同波形的周期信号加到 电路中,在电路中产生的电压和电流当然也是非正弦波;若一个电路中同时有几个不同频率的 正弦激励共同作用,电路中的响应一般也是非正弦量;电路中含有非线性元件时,即使激励是 正弦量,电路中的响应也可能是非正弦周期函数。 非正弦周期信号的波形变化具有周期性,这是它们的共同特点 (2)非正弦周期信号的合成与分解 电子技术工程中大量使用着非正弦周期信号,当几个不同频率的正弦波合成时,其合成 的结果是一个非正弦波,受此分析结果的启发,设想一个非正弦周期信号也一定可以分解为 系列的振幅不同、频率成整数倍的正弦波,由此引入了利用傅里叶级数表示非正弦周期信号的 分析方法 2、学习检验结果解析 (1)电路中产生非正弦周期波的原因是什么?试举例说明 解析:电路中产生非正弦周期波的原因一般有以下几个方面 ①当电路中激励是非正弦周期信号时,电路中的响应当然也是非正弦的。例如实验设备 中的函数信号发生器,其中的方波和等腰三角波,它们在电路中产生的电压和电流不再是正弦 的
123 第 9 章 非正弦周期电流电路 电子技术中广泛使用着非正弦周期信号，例如脉冲信号发生器、锯齿波发生器等。本章 首先介绍了非正弦周期量产生的原因，其次讲述了非正弦周期信号的分解与合成，在此基础上 对非正弦周期信号进行了谐波分析；介绍了非正弦周期信号的频谱表示法及频谱的特点；最后 对非正弦周期信号作用下线性电路的分析计算进行了研究。 本章的学习重点： ⚫ 非正弦周期信号的谐波分析法； ⚫ 非正弦周期信号的频谱分析法； ⚫ 非正弦周期信号作用下线性电路的分析与计算。 9．1 非正弦周期信号 1、学习指导 （1）非正弦周期信号的产生 当电路中激励是非正弦周期信号时，电路中的响应也是非正弦的；当不同波形的周期信号加到 电路中，在电路中产生的电压和电流当然也是非正弦波；若一个电路中同时有几个不同频率的 正弦激励共同作用，电路中的响应一般也是非正弦量；电路中含有非线性元件时，即使激励是 正弦量，电路中的响应也可能是非正弦周期函数。 非正弦周期信号的波形变化具有周期性，这是它们的共同特点。 （2）非正弦周期信号的合成与分解 电子技术工程中大量使用着非正弦周期信号，当几个不同频率的正弦波合成时，其合成 的结果是一个非正弦波，受此分析结果的启发，设想一个非正弦周期信号也一定可以分解为一 系列的振幅不同、频率成整数倍的正弦波，由此引入了利用傅里叶级数表示非正弦周期信号的 分析方法。 2、学习检验结果解析 （1）电路中产生非正弦周期波的原因是什么？试举例说明。 解析：电路中产生非正弦周期波的原因一般有以下几个方面： ① 当电路中激励是非正弦周期信号时，电路中的响应当然也是非正弦的。例如实验设备 中的函数信号发生器，其中的方波和等腰三角波，它们在电路中产生的电压和电流不再是正弦 的；
②同一电路中同时作用几个不同频率的正弦激励时,电路中的响应一般不再是正弦的 例如晶体管放大电路,它工作时既有为静态工作点提供能量的直流电源,又有需要传输和放大 的正弦输入信号,在它们的共同作用下,放大电路中的电压和电流既不是直流,也不是正弦交 流,而是二者相叠加以后的非正弦波 ③当电路中含有非线性元件时,即使激励是正弦量,电路中的响应也可能是非正弦周期 函数。如半波整流电路,输入的是正弦波,经过非线性元件二极管后,成为一个非正弦的半波 整流 (2)有人说:“只要电源是正弦的,电路中各部分的响应也一定是正弦波”,这种说法对 吗? 解析:由9.1.1检验题的解析③可知,这种说法是错误的 (3)试述基波、高次谐波、奇次谐波、偶次谐波的概念。 解析:基波也是1次谐波,是构成非正弦波的基本部分,其谐波频率与非正弦波相同。 非正弦波是一系列频率成整数倍的谐波分量的叠加,根据各次谐波频率为基波频率的K次倍, 分别把各次谐波分别称为2次谐波、3次谐波、4次谐波……,其中2次谐波及2次谐波以上 均称为高次谐波;其中K等于偶数的谐波称为偶次谐波;K为奇数的谐波称为奇次谐波。 (4)稳恒直流电和正弦交流电有谐波吗?什么样的波形才具有谐波?试说明。 解析:稳恒直流电和正弦交流电的波形十分平滑,不具有谐波。当波形中有跳变点或变 化不平滑时,波形中必定含有谐波,且跳变点越陡峭、变化越不平滑时,波形中的高次谐波成 分越显著。 9.2谐波分析和频谱 1、学习指导 (1)谐波分析法 所谓的谐波分析法,实质上就是对一个非正弦周期信号,找出它的一系列振幅按一定规 律递减、频率成整数倍递增的谐波的过程。本章从非正弦周期函数方波的合成与分解过程,引 入了以傅里叶级数展开式形式的谐波表达式,并介绍了谐波、高次谐波、奇次谐波、偶次谐波、 零次谐波及基波等概念。在此基础上,教材中给出了表9.1所示的一些典型非正弦周期信号的 波形及其傅里叶级数表达式,使读者在工程实际应用中,对很多常见的周期信号可省去对傅里 叶级数的求解过程,直接运用表中的傅里叶级数进行分析计算。 对非正弦周期信号的谐波分析,不作过高的理论运算要求,但要求学习者在分析的过程 中,能够利用周期信号的某些特殊对称性,定性地判断出一个非正弦周期信号中包含哪些谐波 分量,不包含哪些谐波分量,这将给非正弦周期电流电路的分析带来很大的方便。例如一个非
124 ② 同一电路中同时作用几个不同频率的正弦激励时，电路中的响应一般不再是正弦的。 例如晶体管放大电路，它工作时既有为静态工作点提供能量的直流电源，又有需要传输和放大 的正弦输入信号，在它们的共同作用下，放大电路中的电压和电流既不是直流，也不是正弦交 流，而是二者相叠加以后的非正弦波； ③ 当电路中含有非线性元件时，即使激励是正弦量，电路中的响应也可能是非正弦周期 函数。如半波整流电路，输入的是正弦波，经过非线性元件二极管后，成为一个非正弦的半波 整流。 （2）有人说：“只要电源是正弦的，电路中各部分的响应也一定是正弦波”，这种说法对 吗？ 解析：由 9.1.1 检验题的解析③可知，这种说法是错误的。 （3）试述基波、高次谐波、奇次谐波、偶次谐波的概念。 解析：基波也是 1 次谐波，是构成非正弦波的基本部分，其谐波频率与非正弦波相同。 非正弦波是一系列频率成整数倍的谐波分量的叠加，根据各次谐波频率为基波频率的 K 次倍， 分别把各次谐波分别称为 2 次谐波、3 次谐波、4 次谐波……，其中 2 次谐波及 2 次谐波以上 的均称为高次谐波；其中 K 等于偶数的谐波称为偶次谐波；K 为奇数的谐波称为奇次谐波。 （4）稳恒直流电和正弦交流电有谐波吗？什么样的波形才具有谐波？试说明。 解析：稳恒直流电和正弦交流电的波形十分平滑，不具有谐波。当波形中有跳变点或变 化不平滑时，波形中必定含有谐波，且跳变点越陡峭、变化越不平滑时，波形中的高次谐波成 分越显著。 9．2 谐波分析和频谱 1、学习指导 （1）谐波分析法 所谓的谐波分析法，，实质上就是对一个非正弦周期信号，找出它的一系列振幅按一定规 律递减、频率成整数倍递增的谐波的过程。本章从非正弦周期函数方波的合成与分解过程，引 入了以傅里叶级数展开式形式的谐波表达式，并介绍了谐波、高次谐波、奇次谐波、偶次谐波、 零次谐波及基波等概念。在此基础上，教材中给出了表 9.1 所示的一些典型非正弦周期信号的 波形及其傅里叶级数表达式，使读者在工程实际应用中，对很多常见的周期信号可省去对傅里 叶级数的求解过程，直接运用表中的傅里叶级数进行分析计算。 对非正弦周期信号的谐波分析，不作过高的理论运算要求，但要求学习者在分析的过程 中，能够利用周期信号的某些特殊对称性，定性地判断出一个非正弦周期信号中包含哪些谐波 分量，不包含哪些谐波分量，这将给非正弦周期电流电路的分析带来很大的方便。例如一个非
正弦周期信号仅对原点对称,它就是一个奇函数,其傅里叶级数展开式中只包含各次谐波的 sin项:一个周期信号仅对纵轴对称时,称为偶函数,其傅里叶级数展开式中包含各次谐波的 cos项,还可能包含零次谐波:若一个周期信号不仅对纵轴对称,而且后半周还重复前半周的 变化(称为偶半波对称),则其傅里叶级数展开式中就只包括零次谐波和偶次谐波中的cos项 如果一个周期信号不仅对原点对称,而且后半周与前半周具有镜象对称性(也称奇半波对称), 其傅里叶级数展开式中就仅有奇次谐波中的cos项等 (2)周期信号的频谱及频谱图 工程实际问题中,有时会遇到比较复杂的非正弦周期信号,这种周期函数不易看出具有 什么典型的对称性,因此利用谐波分析法进行讨论时,其分析过程就会显得繁琐且不够直观。 为了简化这类周期信号电流电路的分析,本章引入了比较直观而且较为方便的频谱图表示法 所谓的频谱图表示法有两种,一种是把各谐波分量的相位用一个个线段表示,并按频率的高低 排成谱状,显然这些高低不同的线段就是非正弦周期信号的相位频谱,由相位频谱构成的谱状 图称为相位频谱图:另一种就是教材中介绍的振幅频率图。图中的每一条谱线代表一个相应频 率的谐波分量,谱线的高度代表这一谐波分量的振幅频谱,振幅频谱的谱线所在的横坐标代表 这一谐波分量的频率,各条谱线的顶点连接起来构成了非正弦周期函数振幅的包络线。显然, 振幅频谱图能够非常直观地表示出一个非正弦周期信号包含的各次谐波分量以及每个谐波分 量所占的“比重”,从而给工程实际问题的分析带来很大的方便。要求学习者能够理解和掌握 这种周期信号频谱图的表示方法。 2、学习检验结果解析 (1)非正弦周期信号电流,其中基波分量为i1,二次谐波分量为i2,三次谐波分量为i3 则下列两式哪个是正确的?为什么? (1)i=i1+l2+i3 解析:(1)式是正确的。因为各次谐波频率不同,各次谐波电流相量不再具有叠加性, 因此(2)式不成立 (2)非正弦周期信号的谐波表达式是什么形式?其中每一项的意义是什么? 解析:非正弦周期信号的谐波表达式是傅里叶级数展开式的形式。傅里叶级数展开式中 的每一项均表示非正弦周期信号的一个谐波分量 (3)举例说明什么是奇次对称性?什么是偶次对称性?波形具有偶半波对称时是否一定 有直流成分?何谓波形的平滑性?它与谐波成分有什么关系?方波和等腰三角波的三次谐波 相比,哪个较大?为什么? 解析:教材上表9.1中的1方波、2.三角波、6锯齿波是具有奇次对称性的非正弦波,它 们的波形都对坐标原点对称,具有这种对称性的波形称为具有奇次对称性。而表91中的4. 全波整流、7三角波具有偶次对称性,凡对纵轴对称的波形都具有偶次对称性。偶半波对称是
125 正弦周期信号仅对原点对称，它就是一个奇函数，其傅里叶级数展开式中只包含各次谐波的 sin 项；一个周期信号仅对纵轴对称时，称为偶函数，其傅里叶级数展开式中包含各次谐波的 cos 项，还可能包含零次谐波；若一个周期信号不仅对纵轴对称，而且后半周还重复前半周的 变化（称为偶半波对称），则其傅里叶级数展开式中就只包括零次谐波和偶次谐波中的 cos 项； 如果一个周期信号不仅对原点对称，而且后半周与前半周具有镜象对称性（也称奇半波对称）， 其傅里叶级数展开式中就仅有奇次谐波中的 cos 项等。 （2）周期信号的频谱及频谱图 工程实际问题中，有时会遇到比较复杂的非正弦周期信号，这种周期函数不易看出具有 什么典型的对称性，因此利用谐波分析法进行讨论时，其分析过程就会显得繁琐且不够直观。 为了简化这类周期信号电流电路的分析，本章引入了比较直观而且较为方便的频谱图表示法。 所谓的频谱图表示法有两种，一种是把各谐波分量的相位用一个个线段表示，并按频率的高低 排成谱状，显然这些高低不同的线段就是非正弦周期信号的相位频谱，由相位频谱构成的谱状 图称为相位频谱图；另一种就是教材中介绍的振幅频率图。图中的每一条谱线代表一个相应频 率的谐波分量，谱线的高度代表这一谐波分量的振幅频谱，振幅频谱的谱线所在的横坐标代表 这一谐波分量的频率，各条谱线的顶点连接起来构成了非正弦周期函数振幅的包络线。显然， 振幅频谱图能够非常直观地表示出一个非正弦周期信号包含的各次谐波分量以及每个谐波分 量所占的“比重”，从而给工程实际问题的分析带来很大的方便。要求学习者能够理解和掌握 这种周期信号频谱图的表示方法。 2、学习检验结果解析 （1）非正弦周期信号电流，其中基波分量为 i1，二次谐波分量为 i2，三次谐波分量为 i3， 则下列两式哪个是正确的？为什么？ （1） 1 2 3 i = i + i + i （2） 1 2 3 • • • • I = I + I + I 解析：（1）式是正确的。因为各次谐波频率不同，各次谐波电流相量不再具有叠加性， 因此（2）式不成立。 （2）非正弦周期信号的谐波表达式是什么形式？其中每一项的意义是什么？ 解析：非正弦周期信号的谐波表达式是傅里叶级数展开式的形式。傅里叶级数展开式中 的每一项均表示非正弦周期信号的一个谐波分量。 （3）举例说明什么是奇次对称性？什么是偶次对称性？波形具有偶半波对称时是否一定 有直流成分？何谓波形的平滑性？它与谐波成分有什么关系？方波和等腰三角波的三次谐波 相比，哪个较大？为什么？ 解析：教材上表 9.1 中的 1.方波、2.三角波、6.锯齿波是具有奇次对称性的非正弦波，它 们的波形都对坐标原点对称，具有这种对称性的波形称为具有奇次对称性。而表 9.1 中的 4. 全波整流、7.三角波具有偶次对称性，凡对纵轴对称的波形都具有偶次对称性。偶半波对称是
指波形的后半周重复波形前半周的变化,因此必定包含直流成分。波形的平滑性好坏取决于其 含有的高次谐波是否严重,正弦波不含有高次谐波,因此正弦波的平滑性非常好,三角波和方 波相比,方波一个周期内出现两次波形的跳变,而三角波没有上、下跳变点,因此三角波的平 滑性较方波好,其高次谐波成分也没有方波显著 (4).脉冲技术中常说:“方波的前沿和后沿代表高频成分”,你如何理解这句话? 解析:一个非正弦周期函数的波形如果不平滑且存在跳变点时,它必定包含高次谐波。 波形中跳变点越陡峭,波形所包含的高效谐波成分越显著,方波的前沿和后沿都是最陡峭的跳 变点,也是产生显著高次谐波的直接原因,因此可以说“方波的前沿和后沿代表高频成分”。 9.3非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率 1、学习指导 (1)非正弦周期信号的有效值和平均值 非正弦周期信号的有效值概念与正弦量有效值的概念相同,都是用热效应相同的直流电 的数值表示表述的。但非正弦周期量的有效值与正弦量有效值的计算方法不同,非正弦量的有 效值与它的最大值之间不再具有√2倍的数量关系,非正弦量的有效值等于它的各次谐波分量 有效值平方和的开方。 非正弦周期信号,其平均值可按傅里叶级数分解后,求其恒定分量(即零次谐波),即非 正弦周期信号在一个周期内的平均值就等于它的恒定分量。 (2)非正弦周期信号的平均功率 讨论非正弦量平均功率问题时应注意:只有同频率的电压和电流才能构成该次谐波的平 均功率。不同频率的谐波电压和电流不能构成平均功率。非正弦周期量的平均功率等于它的各 次谐波平均功率之和 2、学习检验结果解析 (1)非正弦周期量的有效值和正弦周期量的有效值在概念上是否相同?其有效值与它的 最大值之间是否也存在√2倍的数量关系?其有效值计算式与正弦量有效值计算式有何不 解析:非正弦周期量的有效值和正弦周期量的有效值在概念上是相同的,都是用热效应 相同的直流电的数值进行表示的。但非正弦周期量的最大值和有效值之间不存在√2倍的数量 关系。非正弦周期量的有效值计算式与正弦量有效值计算式不同,非正弦周期量的有效值等于 它的各次谐波有效值平方和的开方 (2)何谓非正弦周期函数的平均值?如何计算? 126
126 指波形的后半周重复波形前半周的变化，因此必定包含直流成分。波形的平滑性好坏取决于其 含有的高次谐波是否严重，正弦波不含有高次谐波，因此正弦波的平滑性非常好，三角波和方 波相比，方波一个周期内出现两次波形的跳变，而三角波没有上、下跳变点，因此三角波的平 滑性较方波好，其高次谐波成分也没有方波显著。 （4）．脉冲技术中常说：“方波的前沿和后沿代表高频成分”，你如何理解这句话？ 解析：一个非正弦周期函数的波形如果不平滑且存在跳变点时，它必定包含高次谐波。 波形中跳变点越陡峭，波形所包含的高效谐波成分越显著，方波的前沿和后沿都是最陡峭的跳 变点，也是产生显著高次谐波的直接原因，因此可以说“方波的前沿和后沿代表高频成分”。 9．3 非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率 1、学习指导 （1）非正弦周期信号的有效值和平均值 非正弦周期信号的有效值概念与正弦量有效值的概念相同，都是用热效应相同的直流电 的数值表示表述的。但非正弦周期量的有效值与正弦量有效值的计算方法不同，非正弦量的有 效值与它的最大值之间不再具有 2 倍的数量关系，非正弦量的有效值等于它的各次谐波分量 有效值平方和的开方。 非正弦周期信号，其平均值可按傅里叶级数分解后，求其恒定分量（即零次谐波），即非 正弦周期信号在一个周期内的平均值就等于它的恒定分量。 （2）非正弦周期信号的平均功率 讨论非正弦量平均功率问题时应注意：只有同频率的电压和电流才能构成该次谐波的平 均功率。不同频率的谐波电压和电流不能构成平均功率。非正弦周期量的平均功率等于它的各 次谐波平均功率之和。 2、学习检验结果解析 （1）非正弦周期量的有效值和正弦周期量的有效值在概念上是否相同？其有效值与它的 最大值之间是否也存在 2 倍的数量关系？其有效值计算式与正弦量有效值计算式有何不 同？ 解析：非正弦周期量的有效值和正弦周期量的有效值在概念上是相同的，都是用热效应 相同的直流电的数值进行表示的。但非正弦周期量的最大值和有效值之间不存在 2 倍的数量 关系。非正弦周期量的有效值计算式与正弦量有效值计算式不同，非正弦周期量的有效值等于 它的各次谐波有效值平方和的开方。 （2）何谓非正弦周期函数的平均值？如何计算？
解析:非正弦周期量的平均值等于它的波形在一个周期内的平均值,即 f=()t 实际上,一个非正弦周期函数在一个周期内的平均值就等于它的零次谐波分量。因此, 其平均值可按傅里叶级数展开后,求其恒定分量即可。 (3)非正弦周期函数的平均功率如何计算?不同频率的谐波电压和电流能否构成平均功 率? 解析:非正弦周期函数的平均功率等于它的各次谐波有功功率之和。不同频率的谐波电 压和电流是不能构成平均功率的。因为,不同频率下的电压和电流之间,不存在相位差的概念 则功率计算式中的cosg将不存在,所以平均功率也不存在 9.4非正弦周期信号作用下的线性电路分析 1、学习指导 (1)非正弦周期电流电路的分析与计算 本章研究的非正弦周期电流电路,是指在非正弦周期信号源作用下的稳态线性电路。对 这类电路的分析计算,主要应用的是谐波分析法。然后充分利用相量分析法这个数学工具,分 别对各个谐波构成的正弦交流电路进行分析和计算。由于电路是线性的,最后可应用叠加定理, 将计算结果的解析式进行叠加,就得到了非正弦周期电流电路的待求响应。在具体分析计算非 正弦周期信号作用下线性电路的过程中,应掌握以下几点。 ①解题时,首先要把已知非正弦电压或电流展开成傅里叶级数形式的谐波分量表达式 (理论上一个非正弦周期函数的傅里叶级数具有无限多项才能逼近原来的函数,但实际上我们 一般取有限项近似代替。) ②对各次谐波分量下动态元件对各次谐波频率所呈现的电抗进行计算,注意电阻元件的 电阻值R不随频率变化:电感元件的感抗ωL与各次谐波频率成正比;电容元件的容抗一与 各次谐波频率成反比 ③利用相量分析法分别对各次谐波分量单独作用下的电路响应进行求解,并将求解结果 根据相量与正弦量的对应关系,写出其解析式 ④应用叠加定理把各次谐波响应的解析式进行叠加,即得到待求的非正弦周期信号电路 的响应。必须注意,只能对响应的解析式叠加。因为,不同频率的相量之间不具有叠加性。上 2、学习检验结果解析 (1)对非正弦周期信号作用下的线性电路应如何计算?计算方法根据什么原理?若已知 基波作用下的复阻抗Z=30+209,求在三次和五次谐波作用下负载的复阻抗又为多少?
127 解析：非正弦周期量的平均值等于它的波形在一个周期内的平均值，即 = T f t dt T f 0 av ( ) 1 实际上，一个非正弦周期函数在一个周期内的平均值就等于它的零次谐波分量。因此， 其平均值可按傅里叶级数展开后，求其恒定分量即可。 （3）非正弦周期函数的平均功率如何计算？不同频率的谐波电压和电流能否构成平均功 率？ 解析：非正弦周期函数的平均功率等于它的各次谐波有功功率之和。不同频率的谐波电 压和电流是不能构成平均功率的。因为，不同频率下的电压和电流之间，不存在相位差的概念， 则功率计算式中的 cos 将不存在，所以平均功率也不存在。 9．4 非正弦周期信号作用下的线性电路分析 1、学习指导 （1）非正弦周期电流电路的分析与计算 本章研究的非正弦周期电流电路，是指在非正弦周期信号源作用下的稳态线性电路。对 这类电路的分析计算，主要应用的是谐波分析法。然后充分利用相量分析法这个数学工具，分 别对各个谐波构成的正弦交流电路进行分析和计算。由于电路是线性的，最后可应用叠加定理， 将计算结果的解析式进行叠加，就得到了非正弦周期电流电路的待求响应。在具体分析计算非 正弦周期信号作用下线性电路的过程中，应掌握以下几点。 ① 解题时，首先要把已知非正弦电压或电流展开成傅里叶级数形式的谐波分量表达式。 （理论上一个非正弦周期函数的傅里叶级数具有无限多项才能逼近原来的函数，但实际上我们 一般取有限项近似代替。） ② 对各次谐波分量下动态元件对各次谐波频率所呈现的电抗进行计算，注意电阻元件的 电阻值 R 不随频率变化；电感元件的感抗ωL 与各次谐波频率成正比；电容元件的容抗 C 1 与 各次谐波频率成反比。 ③ 利用相量分析法分别对各次谐波分量单独作用下的电路响应进行求解，并将求解结果 根据相量与正弦量的对应关系，写出其解析式。 ④ 应用叠加定理把各次谐波响应的解析式进行叠加，即得到待求的非正弦周期信号电路 的响应。必须注意，只能对响应的解析式叠加 ．．．．．．．．．．．。因为，不同频率的相量之间不具有叠加性。上 2、学习检验结果解析 （1）对非正弦周期信号作用下的线性电路应如何计算？计算方法根据什么原理？若已知 基波作用下的复阻抗 Z = 30 + j20 Ω，求在三次和五次谐波作用下负载的复阻抗又为多少？
解析:分析和计算非正弦周期电流电路的步骤一般是: ①把已知非正弦电压或电流展开成傅里叶级数形式的谐波分量表达式: ②分别计算各谐波分量下动态元件对各次谐波频率所呈现的电抗 ③利用相量分析法分别对各次谐波分量单独作用下的正弦电路进行响应的求解 ④应用叠加定理把各次谐波响应的解析式进行叠加,得到非正弦周期响应的谐波表达 式。必须注意的是,只能对响应的解析式叠加,对其相量形式的分量是不能叠加的。因为不同 频率的相量之间不再属于线性关系,即不具有叠加性 若已知基波作用下的复阻抗z=30+j209,则在三次和五次谐波作用下负载的复阻抗 分别为 z3=30+609,Z5=30+1009 (2).某电压=30+60sin3141V,接在R=39,L=127mH的RL串联电路上,求电 流有效值和电路中所消耗的功率。 解析:电路中的电压是一个非正弦周期量,含有零次谐波和一次谐波。在零次谐波电压 单独作用时,电感对直流相当于短路,因此电路阻抗等于电阻R,电流的零次谐波分量为 10A R 3 在一次谐波电压单独作用下,电流的一次谐波分量为 U 6012A Z1√32+(314×0012 )2 电流有效值为 Ⅰ= 10C )2≈13.1A 电路所消耗的功率为 P=P+1=30×10+×60×12×cos(arcg)=516W 第9章章后习题解析 91根据下列解析式,画出下列电压的波形图,加以比较后说明它们有何不同? (2)u=2sin at +sin 2ot V (3)u=2sin @t +sin( 2ot+90%)V 128
128 解析：分析和计算非正弦周期电流电路的步骤一般是： ① 把已知非正弦电压或电流展开成傅里叶级数形式的谐波分量表达式； ② 分别计算各谐波分量下动态元件对各次谐波频率所呈现的电抗； ③ 利用相量分析法分别对各次谐波分量单独作用下的正弦电路进行响应的求解； ④ 应用叠加定理把各次谐波响应的解析式进行叠加，得到非正弦周期响应的谐波表达 式。必须注意的是，只能对响应的解析式叠加，对其相量形式的分量是不能叠加的。因为不同 频率的相量之间不再属于线性关系，即不具有叠加性。 若已知基波作用下的复阻抗 Z = 30 + j20 Ω，则在三次和五次谐波作用下负载的复阻抗 分别为 Z3 = 30 + j60， Z5 = 30 + j100 （2）．某电压 u = 30 + 60sin 314t V，接在 R=3Ω，L=12.7mH 的 RL 串联电路上，求电 流有效值和电路中所消耗的功率。 解析：电路中的电压是一个非正弦周期量，含有零次谐波和一次谐波。在零次谐波电压 单独作用时，电感对直流相当于短路，因此电路阻抗等于电阻 R，电流的零次谐波分量为 10A 3 0 30 = = = R U I 在一次谐波电压单独作用下，电流的一次谐波分量为 12A 5 60 3 (314 0.0127) 60 2 2 1 1m 1m = + = = • • Z U I 电流有效值为 ) 13.1A 2 12 100 ( 2 2 1 2 I = I 0 + I = + 电路所消耗的功率为 ) 516W 3 4 60 12 cos( 2 1 P = P0 + P1 = 30 10 + arctg = 第 9 章 章后习题解析 9.1 根据下列解析式，画出下列电压的波形图，加以比较后说明它们有何不同？ (1) u = 2sint + cost V (2) u = 2sint + sin 2t V (3) u = 2sin t + sin( 2t + 90) V
解:各电压波形图如下 2sin wI 2sin wt sin2 or 习题9.1(1)电压波形图 习题9.1(2)电压波形图 由波形图可看出,当两个同频率的正弦量相叠加N 时,合成波仍然还是一个正弦波,如习题9.1(1)的 in ar 电压波形图(图中粗实线)所示:;当两个频率不同的 cos2 aI 正弦波相叠加时,其合成波不再按正弦规律变化,而 成为一个非正弦波了,如习题9.1(2)、(3)的电压波 形图所示 92已知正弦全波整流的幅值/n=1A,求直流 分量l和基波、二次、三次、四次谐波的最大值 习题91(3)电压波形图 解:从教材的表91可查出正弦全波整流的傅里叶级数表达式为 f(r) 3cos 2ot-15cos4tot-35 c0S 6ot-.) 其直流分量为 4×112 ≈0.637A 丌 基波、二次、三次、四次谐波的最大值分别为 1m=lm=0不存在 4×11 ≈0.425A 4×114 ≈0.0849A 附教材表91 些典型非正弦周期信号的波形及其傅里叶级数 序号f()的波形图 f(t)的傅里叶级数表达式 f(t)=-(sn ot+sn 3at+=sin 5a
129 解：各电压波形图如下： 由波形图可看出，当两个同频率的正弦量相叠加 时，合成波仍然还是一个正弦波，如习题 9.1（1）的 电压波形图（图中粗实线）所示；当两个频率不同的 正弦波相叠加时，其合成波不再按正弦规律变化，而 成为一个非正弦波了，如习题 9.1（2）、（3）的电压波 形图所示。 9.2 已知正弦全波整流的幅值 Im =1A ，求直流 分量 0 I 和基波、二次、三次、四次谐波的最大值。 解：从教材的表 9.1 可查出正弦全波整流的傅里叶级数表达式为 cos6 ) 35 1 cos 4 15 1 cos 2 3 1 2 1 ( 4 ( ) = − t − t − t − A f t 其直流分量为 0.637A 2 2 4 1 1 0 = = I 基波、二次、三次、四次谐波的最大值分别为 0.0849A 15 4 15 4 1 1 0.425A 3 4 3 4 1 1 0 4m 2m 1m 3m = = = = = = I I I I 不存在 附教材表 9.1 一些典型非正弦周期信号的波形及其傅里叶级数 序号 f (t) 的波形图 f (t) 的傅里叶级数表达式 1 sin 5 ) 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 ( ) = t + t + t + A f t u/V t 0 1 2sinωt 2 cosωt 习题 9.1（1）电压波形图 sin2ωt u/V t 0 1 2sinωt 2 习题 9.1（2）电压波形图 cos2ωt u/V t 0 1 2 2sinωt 习题 9.1（3）电压波形图 f(t) t T 0 A
f(=-(sin at-osin 3at +o- sin 5 A A f()=---(sn2ot+sn4ot+sn6ot+……) )4A(1 cos 4ot cos6ot-… 2A1丌 (a)2A/snm、1 sin 2ot +-sin 30t f()8 7 (cos at +-cos 3t +cos 5ot (sin at +sn 3at +=sn Sat 8 f(t)=A[( T/2 93求图95所示各非正弦周期信号的直流分量A0
130 2 sin 5 ) 25 1 sin 3 9 1 (sin 8 ( ) = 2 t − t + t − A f t 3 sin 6 ) 3 1 sin 4 2 1 (sin 2 2 ( ) = − t + t + t + A A f t 4 cos6 ) 35 1 cos 4 15 1 cos 2 3 1 2 1 ( 4 ( ) = − t − t − t − A f t 5 cos 4 ) 15 1 cos 2 3 1 sin 2 4 1 ( 2 ( ) = + t − t − t − A f t 6 sin 3 ) 3 1 sin 2 2 1 (sin 2 ( ) = t − t + t − A f t 7 cos5 ) 25 1 cos3 9 1 (cos 8 ( ) = 2 t + t + t + A f t 8 sin 5 ) 5 1 sin 3 3 1 (sin 2 2 1 f (t) = A[( + t + t + t + 9.3 求图 9.5 所示各非正弦周期信号的直流分量 A0。 f(t) t T 0 T/2 A f(t) t T 0 T/2 A f(t) t T 0 T/2 A f(t) t T 0 T/2 A f(t) t T 0 T/2 A f(t) t T 0 T/2 A f(t) t T 0 T/2 A
f(1) f(o 7/4|0 图9.5习题93各周期量的波形图 解:根据A等于非正弦周期函数波形在一个周期内的平均值可得 (a)图中:A0=0.25A-0.75×0.5A=-0.125A (b)图中:A0=0.5A 94图示为一滤波器电路,已知负载R=10009,C=30μF,L=10H,外加非正弦周期信 号电压u=160+250sn314tV,试求通过电阻R中的电流。 解:当电源电压的直流分量单独作用时,电感相当于短路,电容相当于开路,通过R的 电流为 =0.16A R1000 当电源电压的基波单独作用时,并联部分的阻抗为 1000×( 图9.6习题94滤波器电路 314×30 1000 314×3 ≈106/-839°=113-j1059 并联部分电压的最大值相量为 m并=U1m ZL j314×10+113-j105 ≈8.73/-174V 通过电阻R的一次谐波电流最大值相量为 m=m址=28yn 74 R l000≈0.00873/-1749A 所以通过R中的电流为 i=[0.16+0.00873s(314-174°)A 9.5设等腰三角波电压对横轴对称,其最大值为1V。试选择计时起点:①使波形对原点 对称;②使波形对纵轴对称。画出其波形,并写出相应的傅里叶级数展开式 解:波形对原点对称和波形对纵轴对称的等腰三角波电压波形图如图示
131 解：根据 A0 等于非正弦周期函数波形在一个周期内的平均值可得 （a）图中：A0=0.25A－0.75×0.5A=－0.125A （b）图中：A0=0.5A 9.4 图示为一滤波器电路，已知负载 R=1000Ω，C=30μF，L=10H，外加非正弦周期信 号电压 u = 160 + 250 sin 314t V，试求通过电阻 R 中的电流。 解：当电源电压的直流分量单独作用时，电感相当于短路，电容相当于开路，通过 R 的 电流为 0.16A 1000 0 160 0 = = = R U I 当电源电压的基波单独作用时，并联部分的阻抗为 − = − − − = 106/ 83.9 11.3 105 314 30 10 1000 ) 314 30 10 1000 ( 6 6 并 j j j Z 并联部分电压的最大值相量为 8.73/ 174 V 314 10 11.3 105 106/ 83.9 250/ 0 L m并 1m − + − − = + = • • Z Z j j Z U U 并 并 通过电阻 R 的一次谐波电流最大值相量为 0.00873/ 174 A 1000 m 8.73/ 174 1m − − = = • • R U I 并 所以通过 R 中的电流为 i =[0.16 + 0.00873 sin(314t −174)]A 9.5 设等腰三角波电压对横轴对称，其最大值为 1V。试选择计时起点：①使波形对原点 对称；②使波形对纵轴对称。画出其波形，并写出相应的傅里叶级数展开式。 解：波形对原点对称和波形对纵轴对称的等腰三角波电压波形图如图示。 图 9.5 习题 9.3 各周期量的波形图 t f (t) 0 A T/4 T （a） －A/2 t f (t) 0 A T （b） －T/4 C R L 图 9.6 习题 9.4 滤波器电路 i u
T 习题9.5对纵轴对称的等腰三角波波形图 习题95对原点对称的等腰三角波波形图 波形对原点对称的等腰三角波电压的傅里叶级数展开式为 ()==,(smot-sn3ot+Sm5ot-……) 波形对纵轴对称的等腰三角波电压为偶函数,图示波形还具有偶次对称性,因此,其傅 里叶级数展开式中只包含直流成分和cos项中的偶次谐波分量,即 l(1)= 个>(元c0s2om+cos4o+cos6o+…)V 9.6画出表91中3、6波形所对应的频谱图。 解:画出表9.1中3、6波形所对应的频谱图如图所示。 2AJT 47J 4ω5o6o7e 习题9.6表9.1中3的振幅频谱图 习题9.6表9.1中6的振幅频谱图 97求下列非正弦周期电压的有效值 ①振幅为10V的锯齿波: ②2w(t)=[O-52sm(m+209)-2√2sn3o-309)V 解:①将Um=10V代入表91中可得 u()=5--sin 2at--sin 4a sin bot 其电压有效值为 U=√52+2.252+1.1252+0.752…≈565V ②U=√102+52+22≈1l4V
132 波形对原点对称的等腰三角波电压的傅里叶级数展开式为 sin 5 ) 25 1 sin 3 9 1 (sin 8 ( ) u t = 2 t − t + t − V 波形对纵轴对称的等腰三角波电压为偶函数，图示波形还具有偶次对称性，因此，其傅 里叶级数展开式中只包含直流成分和 cos 项中的偶次谐波分量，即 cos6 ) 36 1 cos 4 16 1 cos 2 4 1 ( 8 2 1 ( ) u t = − 2 t + t + t + V 9.6 画出表 9.1 中 3、6 波形所对应的频谱图。 解：画出表 9.1 中 3、6 波形所对应的频谱图如图所示。 9.7 求下列非正弦周期电压的有效值。 ① 振幅为 10V 的锯齿波； ② u(t) = [10 − 5 2 sin(t + 20) − 2 2 sin( 3t − 30)] V。 解：① 将 Um=10V 代入表 9.1 中可得 u t t t t sin 6 3 10 sin 4 5 sin 2 10 ( ) = 5 − − − （V） 其电压有效值为 5 2.25 1.125 0.75 5.65V 2 2 2 2 U = + + + ② 10 5 2 11.4V 2 2 2 U = + + u(t)/V t 0 T/2 习题 9.5 对纵轴对称的等腰三角波波形图 1 －T/2 u(t)/V t 0 T/2 习题 9.5 对原点对称的等腰三角波波形图 1 －T/2 AK 0 Kω ω A/2 2ω3ω 4ω5ω 6ω 7ω 习题 9.6 表 9.1 中 3 的振幅频谱图 A/Л A/2Л A/4Л A/7Л AK 0 Kω ω 2A/Л 2ω 3ω 2A/3Л 4ω 习题 9.6 表 9.1 中 6 的振幅频谱图 A/Л 2A/4Л
