《土力学与地基基础》课程教学资源（教案讲义）第二章土的渗透性和渗流问题.doc_大学文库

第二章土的渗透性和渗流问题第一节概述土是多孔介质，其孔隙在空间互相连通。当饱和土体中两点之间存在能量差时，水就通过土体的孔隙从能量高的位置向能量低的位置流动。水在土体孔隙中流动的现象称为渗流：土具有被水等液体透过的性质称为土的渗透性土的渗透性是土的重要力学性质之一。在水利工程中，许多问题都与土的渗透性有关。渗透问题的研究主要包括以下几个方面：例如对土坝坝身、坝基及渠道的渗漏水量的估算（图2-la、b），1.渗流量间题。基坑开挖时的渗水量及排水量计算（图2-1C），以及水井的供水量估算（图2-1d）等。渗流量的大小将直接关系到这些工程的经济效益。2.渗透变形（或称渗透破坏）问题。流经七体的水流会对士颗粒和士体施加作用力这一作用力称为渗透力。当渗透力过大时就会引起土颗粒或土体的移动，从而造成土工建筑物及地基产生渗透变形。渗透变形问题直接关系到建筑物的安全，它是水工建筑物和地基发生破坏的重要原因之一。由于渗透破坏而导致土石坝失事的数量占总失事工程数量的25%~30%，渗流控制问题当渗流量和渗透变形不满足设计要求时，要采用工程措施加以控制，这一工作称为渗流控制。渗流会造成水量损失而降低工程效益；会引起土体渗透变形，从而直接影响土工建筑物和地基的稳定与安全。因此，研究土的渗透规律、对渗流进行有效的控制和利用，是水利工程及土木工程有关领域中的一个非常重要的课题第二节土的渗透性一、土的渗透定律一达西定律（一）渗流中的总水头与水力坡降液体流动除了要满足连续原理外，还必须要满足液流的能量方程，即伯努里方程。在饱和土体渗透水流的研究中，常采用水头的概念来定义水体流动中的位能和动能。水头是指单位重量水体所具有的能量。按照伯努里方程，液流中一点的总水头h，可用位置水头Z、压力水头兰和流速水头之和表示，即uv?(2-1)h= z2g式(2一1)中各项的物理意义均代表单位重量液体所具有的各种机械能，其量纲为长度。对于流经土体中A、B二点渗流（图2-2），按照式（2-1），A、B两点的总水头可分别表示为：h=+++%2gYwh==a+"a+2 2gV且h =h +Ah

1 第二章土的渗透性和渗流问题第一节概述土是多孔介质，其孔隙在空间互相连通。当饱和土体中两点之间存在能量差时，水就通过土体的孔隙从能量高的位置向能量低的位置流动。水在土体孔隙中流动的现象称为渗流；土具有被水等液体透过的性质称为土的渗透性。土的渗透性是土的重要力学性质之一。在水利工程中，许多问题都与土的渗透性有关。渗透问题的研究主要包括以下几个方面： 1．渗流量问题。例如对土坝坝身、坝基及渠道的渗漏水量的估算（图 2－la、b），基坑开挖时的渗水量及排水量计算（图 2－1C），以及水井的供水量估算（图 2－1d）等。渗流量的大小将直接关系到这些工程的经济效益。 2．渗透变形（或称渗透破坏）问题。流经土体的水流会对土颗粒和土体施加作用力，这一作用力称为渗透力。当渗透力过大时就会引起土颗粒或土体的移动，从而造成土工建筑物及地基产生渗透变形。渗透变形问题直接关系到建筑物的安全，它是水工建筑物和地基发生破坏的重要原因之一。由于渗透破坏而导致土石坝失事的数量占总失事工程数量的 25%~30%。 3．渗流控制问题。当渗流量和渗透变形不满足设计要求时，要采用工程措施加以控制，这一工作称为渗流控制。渗流会造成水量损失而降低工程效益；会引起土体渗透变形，从而直接影响土工建筑物和地基的稳定与安全。因此，研究土的渗透规律、对渗流进行有效的控制和利用，是水利工程及土木工程有关领域中的一个非常重要的课题。第二节土的渗透性一、土的渗透定律—达西定律（一）渗流中的总水头与水力坡降液体流动除了要满足连续原理外，还必须要满足液流的能量方程，即伯努里方程。在饱和土体渗透水流的研究中，常采用水头的概念来定义水体流动中的位能和动能。水头是指单位重量水体所具有的能量。按照伯努里方程，液流中一点的总水头 h，可用位置水头 Z、压力水头 w u  和流速水头 g v 2 2 之和表示，即 (2 -1) 2 2 g u v h z w = + +  式(2—1)中各项的物理意义均代表单位重量液体所具有的各种机械能，其量纲为长度。对于流经土体中 A、B 二点渗流（图 2－2），按照式（2－1），A、B 两点的总水头可分别表示为： g u v h z g u v h z B w B B A w A A 2 2 2 2 2 1 = + + = + +   且 h1 = h2 + h

2 式中， Z A 、 Z B — 分别为 A 点和 B 点相对于任意选定的基准面的高度。代表单位重量液体所具有的位能，故称 z 为位置水头。 uA、uB — 分别为 A 和 B 两点的水压力即孔隙水压力（kN/m2），代表单位重量液体所具有的压力势能。将它们除以水的容重 w  （kN/m3）后， w A u  和 w B u  就分别代表 A、B 两点孔隙水压力的水柱高度，因此称 w u  为压力水头。 A v 、 B v — 分别为 A 点和 B 点处的渗流流速（m/s），g 为重力加速度（m/s2）。 g v 2 2 即代表单位重量液体所具有的动能，故称 g v 2 2 为流速水头。 1 h 、 2 h — 分别代表 A 点和 B 点单位重量液体所具有的总机械能，故称之为总水头。 h— A、B 二点间的总水头差，代表单位重量液体从 A 点向 B 点流动时，为克服阻力而损失的能量。另外，我们常将位置水头与压力水头之和 w u z  + 称为测压管水头。如果将二根测压管分别安装在点 A 和点 B 处时，测压管中的水面将会分别上升至 Z A + w A u  和 Z B + w B u  的标高处。所以，测压管水头代表的是单位重量液体所具有的总势能。饱和土体中两点间是否会出现渗流是由总水头差 h （= 1 h - 2 h ）决定的。只有当两点间的总水头差 h >0 时，才会发生水从总水头高的点向总水头低的点流动。由于土中渗流阻力大，流速 v 在一般情况下都很小，因此流速水头也很小，为简便起见可以忽略。这样，渗流中任一点的总水头就可用测压管水头来代替，式（2—1）可简化为 (2 - 5) w u h z  = + 将土体中 A、B 两点的测压管水头连接起来（图 2－2），就得到测压管水头线（又称水力坡降线）。由于渗流过程中存在能量损失，测压管水头线沿渗流方向下降。A、B 两点间的水头损失，可用无量纲的形式来表示，即 (2 - 6) L h i  = 这里，i 称为水力坡降，L 为 A、B 两点间渗流路径的长度。水力坡降 i 代表单位渗流长度上的水头损失。（二）渗透试验与达西定律

达西利用图2-5所示的试验装置对均匀砂进行了渗流试验，得出了层流条件下，土中水的渗流速度与能量（水头）损失之间的渗流规律，即达西定律达西试验装置的主要部分是一个上端开口的直立圆筒，下部放碎石，碎石上放一块多孔滤板，滤板上面放置颗粒均匀的土样，其断面积为A，长度为L。筒的侧壁装有两支测压管，分别设置在土样两端的两个过水断面处。水由上端进水管注入圆筒，并以溢水管保持简内为恒定水位。透过土样的水从装有控制阀门的弯管流入容器中。当筒的上部水面保持恒定以后，通过砂土的渗流是恒定流，测压管中的水面将恒定不变。取图2—5中的0-0界面为基准面，h、h,分别为上下断面处的测压管水头；Ah即为渗流流经L长度砂样后的水头损失。达西根据对不同类型及长度的土样所进行的试验发现，渗出水流量Q[L3T"]与圆筒断面积A[L}]和水力坡降i[LL-]成正比，且与土的透水性质有关，即Q=kAi(2-8)y=α=ki或(2-9)式（2—8）或（2—9）称为达西定律。式中，一断面平均渗透速度[LTl]，单位mm/s或m/dak一土的渗透系数，它反映了土的透水性能的大小。渗透系数相当于水力坡降i=1 时的渗透速度[LT']，故其量纲与流速相同，mm/s或m/day。达西定律说明，在层流状态的渗流中，渗透速度与水力坡降1的一次方成正比，并与土的性质有关。渗透流速√并不是土孔隙中水的实际平均流速。在公式推导中采用的是土样的整个断面积，其中包括了土粒骨架所占的部分面积在内。土粒本身是不能透水的，实际的过水面利Av应小于A，从而实际平均流速vs应大于v。一般称v为达西流速。v与vs的关系可通过水流连续原理建立。按照水流连续原理(2-10)O-vA=VsAv若均质砂土的孔隙率为n（砂土孔隙率为0.28~0.35；粘性土0.6~0.7），则Av=nA，17A(2 -11)=v/n（三）达西定律的适用范围定律是描述层流状态下渗透流速与水头损失之间关系的规律，即渗流速度与水力坡降i成线性关系只适用于层流范围。在水利工程中，绝大多数渗流，无论是发生于砂土中或一般的粘性土中，均属于层流范围，故达西定律均可适用。但须注意的是，在纯砾等粒径很粗的土中例如堆石体中的渗流，当水力坡降较大时，流态已不再是层流而是紊流，达西定律不再适用，此时渗流速度v与水力坡降i之间的关系不再保持直线而变为曲线关系（图2一6a）。层流进入紊流的界限就为达西定律适用的上限。一般可用临界流速v。=0.3~0.5cm/s来划分这一界限。当v>ver后达西定律可修改为：v= kin(2-12)m<1在粘性很强的致密土体中，渗透特征也偏离达西定律。此时v～i关系（图26b）也3

3 达西利用图 2－5 所示的试验装置对均匀砂进行了渗流试验，得出了层流条件下，土中水的渗流速度与能量（水头）损失之间的渗流规律，即达西定律。达西试验装置的主要部分是一个上端开口的直立圆筒，下部放碎石，碎石上放一块多孔滤板，滤板上面放置颗粒均匀的土样，其断面积为 A，长度为 L。筒的侧壁装有两支测压管，分别设置在土样两端的两个过水断面处。水由上端进水管注入圆筒，并以溢水管保持简内为恒定水位。透过土样的水从装有控制阀门的弯管流入容器中。当筒的上部水面保持恒定以后，通过砂土的渗流是恒定流，测压管中的水面将恒定不变。取图 2—5 中的 0—0 界面为基准面， 1 h 、 2 h 分别为上下断面处的测压管水头； h 即为渗流流经 L 长度砂样后的水头损失。达西根据对不同类型及长度的土样所进行的试验发现，渗出水流量 Q [L3 T -1 ]与圆筒断面积 A [L2 ]和水力坡降 i [L L -1 ]成正比，且与土的透水性质有关，即 Q = kAi (2 - 8) 或 ki (2 - 9) A Q v = = 式（2 一 8）或（2 一 9）称为达西定律。式中，v—断面平均渗透速度[L T-1 ]，单位 mm/s 或 m/day k—土的渗透系数，它反映了土的透水性能的大小。渗透系数相当于水力坡降 i =1 时的渗透速度[L T-1 ]，故其量纲与流速相同，mm/s 或 m/day。达西定律说明，在层流状态的渗流中，渗透速度 v 与水力坡降 i 的一次方成正比，并与土的性质有关。渗透流速 v 并不是土孔隙中水的实际平均流速。在公式推导中采用的是土样的整个断面积，其中包括了土粒骨架所占的部分面积在内。土粒本身是不能透水的，实际的过水面积 Av 应小于 A，从而实际平均流速 vs 应大于 v。一般称 v 为达西流速。v 与 vs 的关系可通过水流连续原理建立。按照水流连续原理， Q=vA=vsAv （2－10）若均质砂土的孔隙率为 n（砂土孔隙率为 0.28~0.35；粘性土 0.6~0.7），则 Av=nA， v / n (2 -11) nA vA vs = = （三）达西定律的适用范围达西定律是描述层流状态下渗透流速与水头损失之间关系的规律，即渗流速度 v 与水力坡降 i 成线性关系只适用于层流范围。在水利工程中，绝大多数渗流，无论是发生于砂土中或一般的粘性土中，均属于层流范围，故达西定律均可适用。但须注意的是，在纯砾等粒径很粗的土中例如堆石体中的渗流，当水力坡降较大时，流态已不再是层流而是紊流，达西定律不再适用，此时渗流速度 v 与水力坡降 i 之间的关系不再保持直线而变为曲线关系（图 2－6a）。层流进入紊流的界限就为达西定律适用的上限。一般可用临界流速 cr v =0.3~0.5cm/s 来划分这一界限。当 v＞vcr后达西定律可修改为： v ki m 1 (2 -12) m =  在粘性很强的致密土体中，渗透特征也偏离达西定律。此时 v ～i 关系（图 2－6b）也

呈曲线规律，且不通过原点。使用时，可将曲线简化为如图虚线所示的直线关系。截距io称为起始坡降。这时，达西定律可修改为：(2-13)v=k(i-io)式（2-13）说明，当坡降很小即<io时，没有渗流发生。因为密实粘土颗粒的外围具有较厚的结合水膜，它占据了土体内部的过水通道（图2－7），因此只有在较大的水力坡降作用下，挤开结合水膜的堵塞后才能发生渗流。起始水力坡降io是用以克服结合水膜阻力所消耗的能量。i=i 就是达西定律适用的下限。二、渗透系数的测定和影响因素渗透系数k是一个代表土的渗透性强弱的定量指标。不同种类的土，k值差别很大。一）渗透系数的测定方法渗透系数的测定方法主要分室内测定和野外现场测定两大类。1.实验室测定法目前在实验室中测定渗透系数k的仪器种类和试验方法很多，但从试验原理上大体可分为常水头法和变水头法两种常水头试验法就是在整个试验过程中保持水头为一常数，从而水头差也为常数。试验时（图2-9a），在透明塑料筒中装填截面为A、长度为L的饱和试样，打开阀门，使水自上而下流经试样，并自出水口处排出。待水头差△h和渗出流量Q稳定后，量测经过一定时间t内流经试样的水量V，则V=Qt=vAt根据达西定律v=ki，则V=AtVL从而得出(2 -14)Aht常水头试验适用于测定透水性大的砂性土的渗透系数。变水头试验法就是试验过程中水头差一直在随时间而变化，其装置示意图见图2一9b水流从一根直立的带有刻度的玻璃管和U形管自下而上流经土样。试验时，将玻璃管充水至需要的高度后，开动秒表，测记起始水头差Ahi，经过时间t后，再测记终了水头差△h2。通过建立瞬时达西定律，即可推出渗透系数k的表达式。设试验过程中任意时刻t时，作用于试样两端的水头差为Ah；经过dt时段后，管中水位下降dh，则dt时间内流入试样的水量为dv。=-axdh，式中a为玻璃管断面积；右端的负号表示水量随Ah的减少而增加根据达西定律，dt 时间内流出试样的渗流量为：dvy,=kxixAxdt=kxxAxat式中，A一试样断面积；L一试样长度。根据水流连续原理，应有dV。=dV。，即

4 呈曲线规律，且不通过原点。使用时，可将曲线简化为如图虚线所示的直线关系。截距 i0 称为起始坡降。这时，达西定律可修改为： ( ) (2 -13) 0 v = k i − i 式（2－13）说明，当坡降很小即 i< i0 时，没有渗流发生。因为密实粘土颗粒的外围具有较厚的结合水膜，它占据了土体内部的过水通道（图 2－7），因此只有在较大的水力坡降作用下，挤开结合水膜的堵塞后才能发生渗流。起始水力坡降 i0 是用以克服结合水膜阻力所消耗的能量。i= i0 就是达西定律适用的下限。二、渗透系数的测定和影响因素渗透系数 k 是一个代表土的渗透性强弱的定量指标。不同种类的土，k 值差别很大。（一）渗透系数的测定方法渗透系数的测定方法主要分室内测定和野外现场测定两大类。 1．实验室测定法目前在实验室中测定渗透系数 k 的仪器种类和试验方法很多，但从试验原理上大体可分为常水头法和变水头法两种。常水头试验法就是在整个试验过程中保持水头为一常数，从而水头差也为常数。试验时（图 2－9a），在透明塑料筒中装填截面为 A、长度为 L 的饱和试样，打开阀门，使水自上而下流经试样，并自出水口处排出。待水头差  h 和渗出流量 Q 稳定后，量测经过一定时间 t 内流经试样的水量 V，则 V = Qt = vAt 根据达西定律 v = ki ，则 At L h V k  = 从而得出 (2 -14) A ht VL k  = 常水头试验适用于测定透水性大的砂性土的渗透系数。变水头试验法就是试验过程中水头差一直在随时间而变化，其装置示意图见图 2－9b。水流从一根直立的带有刻度的玻璃管和 U 形管自下而上流经土样。试验时，将玻璃管充水至需要的高度后，开动秒表，测记起始水头差  h1，经过时间 t 后，再测记终了水头差  h2。通过建立瞬时达西定律，即可推出渗透系数 k 的表达式。设试验过程中任意时刻 t 时，作用于试样两端的水头差为h；经过 dt 时段后，管中水位下降 dh，则 dt 时间内流入试样的水量为 dVe = −a dh ，式中 a 为玻璃管断面积；右端的负号表示水量随h 的减少而增加。根据达西定律，dt 时间内流出试样的渗流量为： A dt L h dV k i A dt k o    =    =  式中，A—试样断面积；L—试样长度。根据水流连续原理，应有 dVe = dVo ，即

5 h dh kA aL dt A dt L h a dh k  = −     −  =  等式两边各自积分      = − 2 0 1 h h t h dh kA aL dt 得： 2 1 ln h h kA aL t   = 从而得到土的渗透系数： ln (2 -15) 2 1 h h At aL k   = 改用常用对数表示，则上式可写为 2.3 lg (2 -16) 2 1 h h At aL k   = 通过选定几组不同的 1 h 、h2 值，分别测出它们所需的时间 t，利用式（2－15）或式（2-16）计算它们的渗透系数 k，然后取平均值，作为该土样的渗透系数。实验室内测定渗透系数 k 的优点是设备简单，费用较省。但是，由于土的渗透性与土的结构有很大的关系，地层中水平方向和垂直方向的渗透性往往不一样；再加之取样时的扰动，不易取得具有代表性的原状土样，特别是砂土。因此，室内试验测出的 k 值常常不能够很好地反映现场中土的实际渗透性质。为了量测地基土层的实际渗透系数，可直接在现场进行 k 值的原位测定。 2．现场测定法在现场进行渗透系数 k 值的测定时，常用现场井孔抽水试验或井孔注水试验的方法。现场井孔抽水试验示意图见图 2—10。在现场打一口试验井，贯穿要测定 k 值的砂土层，并在距井中心不同距离处设置两个观测孔。然后自井中以稳定流量连续抽水。抽水时，井周围地下水位形成一个以井孔为中心的降落漏斗。测压管水头差形成的水力坡降使水流流向井内。假定水流是水平流向时，则流向水井的渗流过水断面应是一系列的同心圆柱面。待出水量和井中的动水位稳定后，测定抽水量 Q 以及观测孔内的水位高度 h1和 h2。如果设观测孔距井轴线的距离分别为 r1 和 r2，通过达西定律即可求出土层的平均 k 值。围绕井轴取一过水断面，该断面距井中心距离为 r，水面高度为 h，则过水断面积 A 为 A = 2rh。假设该过水断面上各处水力坡降为常数，且等于地下水位线在该处的坡度时，则 dr dh i = 根据达西定律，单位时间自井内抽出的水量为 dr dh Q = Aki = 2rh  k 整理得 khdh r dr Q = 2

0f" = 2 " hdh等式两边进行积分得Qln= rk(h2 -h)k=2 hcr/n)所以(2-17) 元(h-h)用常用对数表示时则为k=2.32 1(5/r)(2 -18)元（h3-h）现场测定法可获得较为可靠的渗透系数值，但试验所需费用较多。注水试验的原理与抽水试验类似，我们不再进一步讨论。（二）影响渗透系数的因素渗透系数k综合反映了水在土体中运动的难易程度。土的性质和水的性质均对其有一定的影响。1.土的性质对k值的影响土的粒径大小与级配、孔隙比、矿物成分、结构以及饱和度等性质均对k值有很大的影响，其中粒径大小和孔隙比对k的影响最大。粒径越大，k值越大；孔隙比越大，k值越大；凝聚结构比分散结构具有更大的透水性；土层水平方向的透水性大于垂直方向的透水性。渗透系数随饱和度的增加而增大2. 渗透水的性质对 k 值的影响水的性质对渗透系数k值的影响主要是由于粘滞度不同所引起。温度高时，水的粘滞性降低，k值变大；反之k值变小。表2—1列出了各类土渗透系数的变化范围，可供参考。三、层状地基的等效渗透系数大多数天然沉积土层是由渗透系数不同的几层土所组成。在计算渗流量时，为简单起见，常常把几个土层等效为厚度等于各土层之和、渗透系数为等效渗透系数的单一土层。但等效渗透系数的大小与水流的方向有关。）水平渗流情设一座建造在多层透水地基上的水闸（图2－13a），已知地基内各层土的渗透系数分别为ki、k2、k3、…，厚度相应为 Hi、H2、Hs，总土层厚度即等效土层厚度为H。当渗透水流自断面1一1流至断面2-2时，渗透距离为L，水头损失为Ah。这种平行于各层面的水平渗流具有如下的特点：兰）与等效土层的平均水力坡降1相同。（1）各层土中的水力坡降i（=垂直X-Z面取单位宽度，通过等效土层H的总的单宽渗透流量等于各土层渗流流量之和，即(2-21)qx=q +q2x +93x +...=>g

6 等式两边进行积分   = 2 1 2 1 2 h h r r k hdh r dr Q  得 ln ( ) 2 1 2 2 1 2 k h h r r Q =  − 所以 (2 -17) ( ) ln( / ) 2 1 2 2 2 1 h h Q r r k − =  用常用对数表示时则为 (2 -18) ( ) lg( / ) 2.3 2 1 2 2 2 1 h h Q r r k − =  现场测定法可获得较为可靠的渗透系数值，但试验所需费用较多。注水试验的原理与抽水试验类似，我们不再进一步讨论。（二）影响渗透系数的因素渗透系数 k 综合反映了水在土体中运动的难易程度。土的性质和水的性质均对其有一定的影响。 1．土的性质对 k 值的影响土的粒径大小与级配、孔隙比、矿物成分、结构以及饱和度等性质均对 k 值有很大的影响，其中粒径大小和孔隙比对 k 的影响最大。粒径越大，k 值越大；孔隙比越大，k 值越大；凝聚结构比分散结构具有更大的透水性；土层水平方向的透水性大于垂直方向的透水性。渗透系数随饱和度的增加而增大。 2．渗透水的性质对 k 值的影响水的性质对渗透系数 k 值的影响主要是由于粘滞度不同所引起。温度高时，水的粘滞性降低，k 值变大；反之 k 值变小。表 2—1 列出了各类土渗透系数的变化范围，可供参考。三、层状地基的等效渗透系数大多数天然沉积土层是由渗透系数不同的几层土所组成。在计算渗流量时，为简单起见，常常把几个土层等效为厚度等于各土层之和、渗透系数为等效渗透系数的单一土层。但等效渗透系数的大小与水流的方向有关。（－）水平渗流情况设一座建造在多层透水地基上的水闸（图 2－13a），已知地基内各层土的渗透系数分别为 k1、k2、k3、.，厚度相应为 H1、H2、H3.，总土层厚度即等效土层厚度为 H。当渗透水流自断面 1 一 1 流至断面 2－2 时，渗透距离为 L，水头损失为h。这种平行于各层面的水平渗流具有如下的特点：（1）各层土中的水力坡降 i （ L h = ）与等效土层的平均水力坡降 i 相同。（2）垂直 X－Z 面取单位宽度，通过等效土层 H 的总的单宽渗透流量等于各土层渗流流量之和，即 (2 - 21) 1 1 2 3 = = + + + = n j qx q x q x q x  q jx

8 上式表明，垂直于层面的等效渗透系数 kz主要由渗透系数小的土层所控制。第三节二维渗流与流网当遇到一维渗流问题时，可直接利用达西定律进行渗流计算。但工程上遇到的渗流问题常常属于边界条件较为复杂的二维或三维渗流问题，例如闸坝下透水地基的渗流、土坝坝身的渗流等（图 2－14），此时达西定律需要用微分形式来表达。为了求解和评价渗流在地基或坝体中是否会造成有害影响，需要知道整个渗流场中各处的测压管水头、渗透坡降和渗流速度。当闸坝很长且断面轮廓一致时，可按二维平面渗流问题处理。一、平面渗流的基本方程设混凝土坝上下游水位差 h 保持恒定（图 2－14a），坝基下的渗流即为稳定渗流。这时，渗流场中的测压管水头 h 以及流速 v 等渗流要素仅是位置的函数而与时间无关，即 h = f (x,z)，v = f (x,z)。从稳定渗流场中任意点 A 取一微元土体，其面积为 dx·dz、厚度为 dy=1，在 x 和 z 方向的流速为 vx 和 vz（图 2－15）。单位时间内流入这个微元体的水量为 dqe，则 dqe = vxdz •1+ vzdx •1 单位时间内流出这个微元体的水量为 dqo，则 1  •1         • + +        = + dz dx z v dx dz v x v dq v z z x o x 假定水体不可压缩，则根据水流连续原理，单位时间内流入和流出微元体的水量应相等，即 dqe=dqo 从而得出 = 0 (2 - 28)   +   z v x vx z 式（2－28）即为二维渗流连续方程。根据达西定律，对于各向异性土， (2 - 30) (2 - 29) z h v k i k x h v k i k z z z z x x x x   = =   = = 式中，kx、kz—分别为 x 和 z 方向的渗透系数；h—测压管水头。将式（2－29）和（2－30）代入式（2－28）可得出： 0 (2 - 31) 2 2 2 2 =   +   z h k x h kx z 对于各向同性的均质土，kx=kz，则式（2－31）可表达为： 0 (2 - 32) 2 2 2 2 =   +   z h x h 式（2－32）即为著名的拉普拉斯方程，它是平面稳定渗流的基本方程式。该方程描述

了渗流场内部测压管水头h的分布。通过求解一定边界条件下的拉普拉斯方程，即可求得该条件下的渗流场拉普拉斯方程式的求解方法大致可分为四种类型：1.数学解析法根据具体边界条件，以解析法求式（2－32）的解。一般通解较易得到。满足拉普拉斯微分方程的解是两个共轭调和函数，即势函数Φ(x,z)和流函数(x,z)，该函数描绘出两族相互正交的曲线即等势线和流线。该法的缺点是当边界条件复杂时定解较难求得2.数值解法数值解法是一种近似方法，常用的数值解法有有限差分法和有限元法。随着计算机的发展，数值解法的精度愈来愈高，因而数值解法的应用也愈来愈广。3.实验法实验法即采用一定比例的模型来摸拟真实的渗流场，用实验手段测定渗流场中的渗流要素。例如，电比拟法就是利用渗流与电流现象存在着的比拟关系，来实测渗流等势线族的一种实验方法。其它的实验法还有电网络法等。4.图解法图解法即用绘制流网的方法求解拉普拉斯方程的近似解。该法具有简便、迅速的优点，并能用于建筑物边界轮廓较复杂的情况。只要满足绘制流网的基本要求，精度就可以得到保证，因而该法在工程上得到广泛应用。二、流网的绘制及应用在透水地基上混凝土坝下的渗流流网图见图2-16，图中标有号码①②③的线表示流线。在稳定渗流场中，流线表示水质点的运动路线。图中标有号码1、2、3、的线代表等势线，等势线是渗流场中势能或测压管水头的等值线。如果在同一等势线上的不同点处例如图中的a、b两点处，安放测压管，则管中水位将升至相同的高度。由流线和等势线所组成的曲线正交网格称为流网。（一）绘制流网的基本要求绘制流网时必满足下列几个条件：（1）流线与等势线必须正交。（2）流线与等势线构成的各个网格的长宽比应为常数，即AIAs-C。当取N=As时，网格应呈曲线正方形，这是绘制流网时最方便和最常见的一种流网图形。（3）必须满足流场的边界条件，以保证解的唯一性，（二）流网的绘制方法(1）首先根据渗流场的边界条件，确定边界流线和边界等势线。在图2-16中，渗流是有压渗流，因而坝基轮廓线A一B—C-D是第一条流线：不透水层面0-0也是一条边界流线。上下游透水地基表面 1一A 和 D—11 则是两条边界等势线。（2）根据绘制流网的另外两个要求，即流线与等势线必须正交以及流线与等势线构成的各个网格的长宽比应为常数，初步绘制流网。按边界趋势先大致画出几条流线如②、③、④，彼此不能相交，且每条流线都要和上下游透水地基表面（等势线）正交。然后再自中央向两边画等势线，图2-16中先绘中线6，再绘5和7，如是向两侧推进。每根等势线要与流线正交，并弯曲成曲线正方形。（3）对初绘的流网进行反复修改，直至大部分网格满足曲线正方形为止。因为边界形状不规则，在边界突变处很难画成正方形，而可能是三角形或五边形。这主要是由于流网图9

9 了渗流场内部测压管水头 h 的分布。通过求解一定边界条件下的拉普拉斯方程，即可求得该条件下的渗流场。拉普拉斯方程式的求解方法大致可分为四种类型： 1．数学解析法根据具体边界条件，以解析法求式（2－32）的解。一般通解较易得到。满足拉普拉斯微分方程的解是两个共轭调和函数，即势函数(x,z)和流函数(x,z)，该函数描绘出两族相互正交的曲线即等势线和流线。该法的缺点是当边界条件复杂时定解较难求得。 2．数值解法数值解法是一种近似方法，常用的数值解法有有限差分法和有限元法。随着计算机的发展，数值解法的精度愈来愈高，因而数值解法的应用也愈来愈广。 3．实验法实验法即采用一定比例的模型来摸拟真实的渗流场，用实验手段测定渗流场中的渗流要素。例如，电比拟法就是利用渗流与电流现象存在着的比拟关系，来实测渗流等势线族的一种实验方法。其它的实验法还有电网络法等。 4．图解法图解法即用绘制流网的方法求解拉普拉斯方程的近似解。该法具有简便、迅速的优点，并能用于建筑物边界轮廓较复杂的情况。只要满足绘制流网的基本要求，精度就可以得到保证，因而该法在工程上得到广泛应用。二、流网的绘制及应用在透水地基上混凝土坝下的渗流流网图见图 2-16，图中标有号码①②③.的线表示流线。在稳定渗流场中，流线表示水质点的运动路线。图中标有号码 1、2、3、.的线代表等势线，等势线是渗流场中势能或测压管水头的等值线。如果在同一等势线上的不同点处，例如图中的 a、b 两点处，安放测压管，则管中水位将升至相同的高度。由流线和等势线所组成的曲线正交网格称为流网。（一）绘制流网的基本要求绘制流网时必满足下列几个条件：（1）流线与等势线必须正交。（2）流线与等势线构成的各个网格的长宽比应为常数，即l/s=C。当取 l = s 时，网格应呈曲线正方形，这是绘制流网时最方便和最常见的一种流网图形。（3）必须满足流场的边界条件，以保证解的唯一性。（二）流网的绘制方法 (1) 首先根据渗流场的边界条件，确定边界流线和边界等势线。在图 2-16 中，渗流是有压渗流，因而坝基轮廓线 A—B—C—D 是第一条流线；不透水层面 0－0 也是一条边界流线。上下游透水地基表面 1 一 A 和 D—11 则是两条边界等势线。（2）根据绘制流网的另外两个要求，即流线与等势线必须正交以及流线与等势线构成的各个网格的长宽比应为常数，初步绘制流网。按边界趋势先大致画出几条流线如②、③、 ④，彼此不能相交，且每条流线都要和上下游透水地基表面（等势线）正交。然后再自中央向两边画等势线，图 2－16 中先绘中线 6，再绘 5 和 7，如是向两侧推进。每根等势线要与流线正交，并弯曲成曲线正方形。（3）对初绘的流网进行反复修改，直至大部分网格满足曲线正方形为止。因为边界形状不规则，在边界突变处很难画成正方形，而可能是三角形或五边形。这主要是由于流网图

中流线和等势线的根数有限所造成的。只要网格的平均长度和宽度大致相等，就不会影响整个流网的精度。（三）流网的应用流网绘出后，即可求得渗流场中各点的测压管水头、水力坡降、渗透流速和渗流量。现仍以图 2-16 所示的流网为例。1.测压管水头根据流网特征可知，任意两相邻等势线间的势能差相等，即水头损失相等，从而可算出相邻两条等势线之间的水头损失Ah，即Ah=HAH(N=n-1) (2-33)式中，AH一上、下游水位差，也就是水从上游渗到下游的总水头损失：N二等势线的间隔数；n一等势线的个数。在图2-16中，n=11,N=10,△H=5.0m，故每一个等势线间隔所消耗的水头Ah=5/10=0.5m。有了Ah就可求出任意点的测压管水头。例如求a点的测压管水头ha：以0-0为基准面，ha=huaZ；z.为a点的位置高度，为已知值。由于a点位于第2条等势线上，所以测压管水位应比上游水位降低一个Ah，故其测压管水位应在上游地表面以上的6.0-0.5=5.5m处。压力水头hua的高度可自图中按比例直接量出。2.孔隙水压力渗流场中各点的孔隙水压力等于该点以上测压管中的水柱高度hu乘以水的容重w，故 a点的孔隙水压力为(2-34)u.=hugxyw应当注意，图中所示a、b两点位于同一根等势线上，其测压管水头虽然相同，即ha=hb，但压力水头hua≠hub，所以其孔隙水压力不相等，即ua≠ut3.水力坡降Th流网中任意网格的平均水力坡降1=，AI为该网格处流线的平均长度，可自图中量A出。根据水力坡降的定义可知，流网中网格越密处，其水力坡降越大。因此在图2－16中，下游坝趾水流渗出地面处（图中CD段）的水力坡降最大。该处的水力坡降称为逸出坡，它常是地基渗透稳定的控制坡降4.渗透流速各点的水力坡降已知后，渗透流速的大小可根据达西定律求出，即1-ki，其方向为流线的切线方向。5.渗透流量因为- - i s1- s当取A=As时,Ag=k.Nh(2-35)由于Ah 是常数，故Ag也是常数。因此，流网中任意两相邻流线间的单宽流量Ag是相等的。10

10 中流线和等势线的根数有限所造成的。只要网格的平均长度和宽度大致相等，就不会影响整个流网的精度。（三）流网的应用流网绘出后，即可求得渗流场中各点的测压管水头、水力坡降、渗透流速和渗流量。现仍以图 2－16 所示的流网为例。 1．测压管水头根据流网特征可知，任意两相邻等势线间的势能差相等，即水头损失相等，从而可算出相邻两条等势线之间的水头损失h，即 (N n -1) (2 - 33) 1 = −  =   = n H N H h 式中，H—上、下游水位差，也就是水从上游渗到下游的总水头损失； N—等势线的间隔数； n—等势线的个数。在图 2-16 中，n =11，N=10，H=5.0m，故每一个等势线间隔所消耗的水头h=5/10=0.5m。有了h 就可求出任意点的测压管水头。例如求 a 点的测压管水头 ha：以 0－0 为基准面，ha=hua ＋za；za为 a 点的位置高度，为已知值。由于 a 点位于第 2 条等势线上，所以测压管水位应比上游水位降低一个h，故其测压管水位应在上游地表面以上的 6.0-0.5=5.5 m 处。压力水头 hua的高度可自图中按比例直接量出。 2．孔隙水压力渗流场中各点的孔隙水压力等于该点以上测压管中的水柱高度 hu 乘以水的容重w，故 a 点的孔隙水压力为 (2 - 34) ua hua w =  应当注意，图中所示 a、b 两点位于同一根等势线上，其测压管水头虽然相同，即 ha=hb，但压力水头 hua≠hub，所以其孔隙水压力不相等，即 ua≠ub。 3．水力坡降流网中任意网格的平均水力坡降 l h i   = ，l 为该网格处流线的平均长度，可自图中量出。根据水力坡降的定义可知，流网中网格越密处，其水力坡降越大。因此在图 2－16 中，下游坝趾水流渗出地面处（图中 CD 段）的水力坡降最大。该处的水力坡降称为逸出坡降，它常是地基渗透稳定的控制坡降。 4．渗透流速各点的水力坡降已知后，渗透流速的大小可根据达西定律求出，即 v=ki，其方向为流线的切线方向。 5．渗透流量因为 s l h q v A ki s k     =  = •  •1 = 当取l=s 时， q = k • h (2 - 35) 由于h 是常数，故q 也是常数。因此，流网中任意两相邻流线间的单宽流量q 是相等的

《土力学与地基基础》课程教学资源（教案讲义）第二章 土的渗透性和渗流问题

《土力学与地基基础》课程教学资源（教案讲义）第二章土的渗透性和渗流问题