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1 §4 FIR数字滤波器的设计 一、线性相位 FIR滤波器的特点 τω ω θ ω ω θ ω θ ω ω − = = ) ( , ) ( , ) ( ) ( . 1 ) ( 的线性函数 是 线性相位 j j j e e H e H ) cos 1( 12 ) 2 ( 14 14 12 14 ) ( ) 2 ( 14 ) 1 ( 12 ) ( 14 ) ( 2 ω ω ω ω ω ω ω ω + = + + = + + = − + − + = − − − − − j j j j j j j e e e e e e e H n x n x n x n y 如
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2 ω ω θ ω ω − = + = ) ( ) cos 1 ( 1 2 ) ( j e H ∴ ωτ ωτ ω ω τω sin cos cos ) ( sin ) ( 1 0 1 0 = = ∑ ∑ − = − = N n N n n n h n n h tg 2.线性相位的充要条件 τω ω ω ω θ − = − = ∑ ∑ − = − = − 1 0 1 0 1 cos ) ( sin ) ( N n N n n n h n h(n) tg ∑ − = − 1 0 ) ( N n n j j e n h ) H(e FIR ω ω ＝ 一般地
eaeei③ e 类景巴帅田买豐进出之 之 共在过要世将只 之 璺 之 苌妲之 之 迦某尔
3 [ ] ∑ ∑ ∑ − = − = − = = − = ⋅ − ⋅ ∴ 1 0 1 0 1 0 0 ) ( sin ) ( 0 cos sin ) ( sin cos ) ( N n N n N n n n h n n h n n h ω τ ωτ ω ωτ ω 1 0 ), 1 ( ) ( , 2 1 ,...), 2, 1 (: , , , − ≤ ≤ − − = − = = N n n N h n h N N τ 可证得 利用数学归纳法 此解必为唯一 若有解 据付氏级数的性质 ) 1 ( ) ( , n N h n h − − ± = 线性相位的充要条件 一般情况 ) 1 ( ) ( n N h n h − − − = 分四种情况 奇对称 偶 奇对称 奇 偶对称 偶 偶对称 奇, , , , N N N N ) 1 ( ) ( n N h n h − − =
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4 幅频特性 . 3 纯实数 设 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω θ ω ω ω j j j e H H e H e H ± = = 为奇数 为偶对称 N n h , ) ( ) 1( ) 1 ( ) ( n N h n h − − = − ∑ ∑ = − = − − − − − − − − + − + = 2 3 0 2 3 0 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 2 1 ( ) ( N n N n n N j N j n j e n N h e N h e n h ω ω ω ∑ ∑ − − = − + − = − − − − + − + = 1 2 1 0 1 1 2 1 2 1 ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( N n N N n n j N j n j j e n h e N h e n h e H ω ω ω ω
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5 − + + = −∑= − − − − − − − ) 2 1 ( ) ( 2 30 ) 2 1 ( ) 2 1 ( 2 1 N h e e n h e Nn n N j n N j N j ω ω ω − + − − = −∑= − − 2 30 2 1 ) 2 1 ( ) 2 1 ( cos ) ( 2 Nn N j N h n N n h e ω ω − + − − = − − = ∑ − = − − 2 1 1 2 1 ) 2 1 ( cos ) 2 1 ( 2 ) ( 2 1 N m N j j N h m m N h e e H n N m ω ω ω 令
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6 2 1 ,..., 2, 1 ) 2 1 ( 2 ) ( ), 2 1 ( ) 0( − = − − = − = N n n N h n a N h a 再令 ∑ ∑ − = − = − − = = 2 1 0 2 1 0 2 1 cos ) ( ) ( cos ) ( ) ( N n N n N j j n n a H n n a e e H ω ω ω ω ω 此时 则 滤波器。 适合逼近低通、带阻等 对这些频率呈偶对称性 皆为偶对称 、 、 对 ) ( . 2 0 cos ω π π ω ω H n ∴ = Q π π2
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7 为偶数 为偶对称 N n h , ) ( ) 2( ∑ ∑ − = − = − − + = − − = 1 2 0 1 2/ ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( N n N N n n j n j j e n h e n h e H n N h n h ω ω ω − − = ∑−= − − 1 2 0 2 1 ) 12 2 ( cos ) ( 2 ) ( Nn N j j n N n h e e H ω ω ω 最后可得： 2 ,..., 2, 1 ) 2 ( 2 ) ( , 2 N n n N h n b n N m = − = − = 令 − = ∑= − − 2/1 2 1 ) 12 ( cos ) ( ) ( Nn N j j n n b e e H ω ω ω 则
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8 ∑ = − = 2/1 ) 12 ( cos ) ( ) ( Nn n n b H ω ω 呈奇对称 对 故 呈奇对称 对 π ω ω π ω ω = = − ) ( , ) 12 ( cos H n Q π π2 不适合逼近高通
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9 为奇数 奇对称 N n h , ) ( ) 3 ( 0 ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 1 ( ) 2 1 ( = − ∴ − − = − − − − = − N h N h N N h N h − − = − − ⋅ = + = ∑ ∑ ∑ ∑ − = − − − = − − − − = − + = − − 2 3 0 ) 2 1 2 ( 2 3 0 2 1 1 2 1 0 1 2 1 ) 2 1 ( sin ) ( 2 ) 2 1 ( sin ) ( 2 ) ( ) ( ) ( N n N j N n N j N n N N n n j n j j n N n h e n N n h j e e n h e n h e H ω ω ω ω π ω ω ω
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10 − − = ∑ − = − − 2 1 1 ) 2 1 2 ( sin ) 2 1 ( 2 ) ( N m N j j m m N h e e H ω ω π ω ∑ ∑ − = − = − − = ∴ = ∴ = − − = 2 1 1 2 1 1 2 2 1 ) sin( ) ( ) ( ) sin( ) ( ) ( 2 1 - N 1,2,..., n ) 2 1 ( 2 ) ( N n N n j N j j n n c H n n c e e e H n N h n c ω ω ω π ω ω 令 n N m − − = 2 1 令 π π 2 ) (ω H