好学力行 CH5留数 1、孤立奇点 g2}留数( Residue 3、留数在定积分计算上的应用 009 Henan Polytechnic University 版权所有河南理大学中国河确作高新区世纪大20146
1 CH 5 留数 1、孤立奇点 2、留数(Residue) 3、留数在定积分计算上的应用
力功 第五章留数 §5.1孤立奇点 m1.定义 2.分类 〈口3.继质 4.零点与极点的关系 口5.函敝在无穷运点的状 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
2 © 2009, Henan Polytechnic University 2 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 §5.1 孤立奇点 1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系 5. 函数在无穷远点的状态
力功 第五章留数 1.定义 定义若f(x)在处不解析但在z的某个去心邻域 0<z-a<钠内解析则称为f(x)的孤立奇点 例如f(z)=e--z=0为孤立奇点 ∫(x)=-,-z-1为孤立奇点 ∫(z)= SIn- z=0及z=1m兀(mn=±1,±2,)都是它的奇点 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
3 © 2009, Henan Polytechnic University 3 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 1. 定义 例如 z f z e 1 ( ) = ----z=0为孤立奇点 z f z 1 sin 1 ( ) = ----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点 1 1 ( ) − = z f z ----z=1为孤立奇点 定义 0 , ( ) . ( ) , 0 0 0 0 内解析 则 称 为 的孤立奇点 若 在 处不解析 但 在 的某个去心邻域 z z z f z f z z z − ~~~~~~~~~
力功 第五章留数 但∵:lim=0,在z=0不论多么小的去心 n-→>0n兀 邻域内总有f()的奇点存在, 1 故z=0不是 SIn 的孤立奇点 0 这说明奇点未 必是孤立的 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
4 © 2009, Henan Polytechnic University 4 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 x y o 这说明奇点未 必是孤立的. 邻域内 总 有 的奇点存在， 但 在 不论多么小的去心 , ( ) 0, 0 1 lim f z z n n = = → . 1 sin 1 0 的孤立奇点 故 不 是 z z =
力方方 第五章留数 2.分类 以下将f(x)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数,根 据展开式的不同情况,将孤立点进行分类考察: n SInz (1)—=1-+-…+(-1) 3!5 (2n+1)! 特点:没有负幂次项 +,n n-1 n-1 (2)2=∑ ∑ +1 ∴ zZ n-=0 H=0 n 2! 特点:只有有限多个负幂次项 特点:有无穷多个负幂次项 (3)e=1+x1+z2+…+ 2! 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
5 © 2009, Henan Polytechnic University 5 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 2. 分类 以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类.考察： + + = − + − + − (2 1)! ( 1) 3! 5! 1 sin (1) 2 4 2 n z z z z z n n 特点：没有负幂次项 = = = + + ++ + + − = + − = 2! ! 1 1 ! ! 1 (2) 1 0 1 0 n z z n z z n z z z e n n n n z n 特点：只有有限多个负幂次项 = + − + − ++ z −n + n e z z z ! 1 2! 1 (3) 1 1 2 1 特点：有无穷多个负幂次项
第五章留数 定义设动是/(3的一个孤立奇点,在动的去心邻域内, 若f(z)的洛朗级数 ()f(x)=∑c1(z-)y 0 没有负幂次项,称z=为可去奇点; (i)f(x)=∑cn(z-zn)”(c.m≠0,m≥1) n=- 只有有限多个负幂次项,称z=为m阶极点; (i)f(x)=∑cn(z-z) 有无穷多个负幂次项,称z=为本性奇点 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
6 © 2009, Henan Polytechnic University 6 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内， 若f (z)的洛朗级数 = = − 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n i f z c z z 没有负幂次项，称z=z0为可去奇点; ( ) ( ) ( ) ( 0, 1) = − 0 − =− i i f z c z z c m m n m n n 只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 阶极点; =− = − n n n (iii) f (z) c (z z ) 0 有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点. ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~
力功 第五章留数 3.性质 口若为f(x)的可去奇点 +oO < f()=2c(a-zo)e lim f(z)=co n=0 z→20 补充定义:f(z0)=cf(z)在乙解析 口若为f(z)的m{m≥1阶极点 台f(2)=∑cn(z-x)(Ccm≠0,m≥1) 1=- 分m(3)=0()=(-yg( 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
7 © 2009, Henan Polytechnic University 7 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 3. 性质 ( ) ( ) . 补充定义：f z0 = c0 f z 在z0 解 析 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) 0 f z c z z f z c z z n n = n − = → + = ❑ 若z0为f (z)的可去奇点 ( ) ( ) ( 0, 1 ) = − 0 − + =− f z c z z c m m n m n n ❑ 若z0为f (z)的m (m 1) 阶极点 ( ) ( ) 1 lim ( ) ( ) 0 0 g z z z f z f z m z z − = = →
力功 第五章留数 其中:g(z)=Cm+Cm1(z-n)+Cm+2(z-x1)2+… g(z)在z-x<a内是解析函数量(z)≠0 x2-3x+2 例如:f(x)=2 (z2+1z-1)4 z=1为f(z)的一个三阶极点,z=±为f(2的一阶极点 口若为f()的本性奇点 兮f(z)的洛朗级数有无穷多项幂次项 兮limf(z)不存在,也不为o n→0 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
8 © 2009, Henan Polytechnic University 8 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 ( ) ( ) 0. : ( ) ( ) ( ) , 0 0 2 1 0 2 0 − = − + − + − + − + − + g z z z g z g z c c z z c z z m m m 在 内是解析函数且 其 中 2 4 2 ( 1)( 1) 3 2 ( ) + − − + = z z z z 例如： f z z=1为f (z)的一个三阶极点， z=i为f (z)的一阶极点. → 不存在，也不为 的洛朗级数有无穷多项负幂次项 lim ( ) ( ) f z f z n ❑ 若z0为f (z)的本性奇点
力功 第五章留数 4.零点与极点的关系 定义不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成 f(x)=(z-0)"g(x) 其中:qp(z)≠0,q(z)在点解析,m∈N 则称=为f(z)的m阶零点 例如:z=0与z=1分别是(a)=x(x-1)的一阶 与三阶零点 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
9 © 2009, Henan Polytechnic University 9 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 4. 零点与极点的关系 定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成 ( ) ( ) ( ) 0 f z z z z m = − 其中：(z0 ) 0,(z)在z0 点解析,m N 则称z=z0为f (z) 的m 阶零点. 与三阶零点。 例如： z = 0与z = 1分别是f (z) = z(z −1) 3 的一阶
力功 第五章留数 定理f(x)=(z-0)"g(z) (q(z0)≠0,g(x)在点解析,m∈N) 台∫(a)=0=0,1,2,…,m-1)fm(zn)≠0 事实上,∵q(x)=∑c1(z-zn)”co=(an)≠0 0 f(x)=∑cn(z-x) n+m 由Tgyr级数的系数公式有 f"(z0)=0(n=0,12,…,m-1) 而 f(zo Cn≠0 0 必要性得证! 充分性略! 复变函数与积分变换 5 February 2021 图课程
10 © 2009, Henan Polytechnic University 10 第五章留数 5 February 2021 课程 复变函数与积分变换 目录 ( ) ( ) 0 ( 0 ) 0 0 = − 0 = + = z c z z c z n n n ( ( ) 0, ( ) , ) z0 z 在z0 点解析 m N ( ) 0( 0,1,2, , 1) ( ) 0. ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 = = − = − f z n m f z f z z z z n m m 定理 事实上， 必要性得证！ + = + = − 0 0 ( ) ( ) n n m n f z c z z 0 ! ( ) ( ) 0 ( 0,1,2, , 1), : 0 0 ( ) 0 ( ) = = = − c m f z f z n m Taylor m n 而 由 级数的系数公式有 充分性略！