信号检测与估值2017年春季 西电通院郑贱平 第三章:统计信号估计 31问题描述 32随机参量的 Bayes估计 33ML估计 34估计量的性质 3.5线性最小均方误差估计 3.6最小二乘估计
信号检测与估值 2017年春季 西电通院郑贱平 第三章：统计信号估计 3.1 问题描述 3.2 随机参量的Bayes估计 3.3 ML估计 3.4 估计量的性质 3.5 线性最小均方误差估计 3.6 最小二乘估计
3问题描述(信道估计为例) 数字通信数据帧结构 收发端已知 D=N-P 接收端未知 PP+1 导频xp 数据xp hp, p=l, P d=1,…,D Phase:信道估计 Phase l:信号检测 ◎信道估计:根据yp、xp以及h的统计信息,估计hp,即: ( yp, Xp stat info(hp)→hp(如yp=hpxp+w) 可行性:一般信道都是 slowly time varying的(相干时间>>时延要 求),因此hhp ◎其他估计问题:载波频率、相位、时延等 信号检测与估值2017年春
信号检测与估值 2017年春 季 2 3.1 问题描述（信道估计为例） 数字通信数据帧结构 信道估计：根据yP、xP以及hP的统计信息，估计hP，即： (yP , xP , stat_info(hP ))→hP （如yP=hPxP+w) 可行性：一般信道都是slowly time varying的（相干时间>>时延要 求），因此hd≈hp 其他估计问题：载波频率、相位、时延等 导频xP 数据xD 1 P P+1 N D=N-P hp, p=1,…,P hd, d=1,…,D 收发端已知 接收端未知 Phase I：信道估计 Phase II：信号检测
建模 参量空间0 观测空间R pl 估计规则 0(x) 参量空间:需要接收端作出估计的参量集合 观测空间:接收端收到的观测信号的集合 概率映射:信源发送信号到接收端过程中,会有噪声的影响,观测信号中 包含被估计矢量的信息,所以观测信号是以被估计矢量为参 数的随机欠量,用0)来描述。 信号检测与估值2017年春
信号检测与估值 2017年春 季 3 建模 估计规则 参量空间 θ 观测空间 R p(xθ) θ(x) ˆ ➢参量空间：需要接收端作出估计的参量集合 ➢观测空间：接收端收到的观测信号的集合 ➢概率映射：信源发送信号到接收端过程中，会有噪声的影响，观测信号中 包含被估计矢量的信息，所以观测信号是以被估计矢量为参 数的随机矢量，用 p(xθ) 来描述
建模 >估计规则:利用被估计矢量的先验知识和观测信号的统计特性,根据指标 要求,构造观测矢量的函数来定义估计量。 0(x)=g(x)=g(x1,x2…,x) 估计量性能的评估 估计量的均值E[0(×) 估计量的均方误差El(小)=0-xy0)-0-0 本章的核心问题之一就是研究上述函数的构造方法,评估所构造估计量的优劣。 信号检测与估值2017年春
信号检测与估值 2017年春 季 4 建模 本章的核心问题之一就是研究上述函数的构造方法，评估所构造估计量的优劣。 ➢估计规则：利用被估计矢量的先验知识和观测信号的统计特性，根据指标 要求，构造观测矢量的函数来定义估计量。 ( ) ( ) ( ) N g g x , x , , x ˆ θ x = x = 1 2 估计量性能的评估 估计量的均值 估计量的均方误差 ( ) E ˆ θ x θ (x) θ θ(x) ˆ ~ ( ) ( ( )) = − = − 2 2 ˆ ~ E θ x E θ θ x
32随机参量的贝叶斯估计 °常用代价函数 贝叶斯估计的概念 最小均方误差估计 最大后验概率估计 条件中值估计 最佳估计的不变性 信号检测与估值2017年春
信号检测与估值 2017年春 季 5 3.2 随机参量的贝叶斯估计 常用代价函数 贝叶斯估计的概念 最小均方误差估计 最大后验概率估计 条件中值估计 最佳估计的不变性
代价函数和贝叶斯估计 贝叶斯估计:使平均代价最小的一种估计准则。 误差平方代价函数c()=(-l) 误差绝对值代价函数 均匀代价函数 1,≥△/2 6-6 0,(|<△/2 代价函数的基本特性:非负性和b=0时的最小性 信号检测与估值2017年春
信号检测与估值 2017年春 季 6 代价函数和贝叶斯估计 ( ) ( ) 2 ˆ ~ 误差平方代价函数 c = − 误差绝对值代价函数 ( ) ˆ ~ c = − 均匀代价函数 ( ) ( ) 1, / 2 ˆ 0, / 2 c c = − = 贝叶斯估计：使平均代价最小的一种估计准则。 代价函数的基本特性：非负性和 0 时的最小性。 ~ =
平均代价 设被估计的单随机变量的先验概率密度函数为p() 易知代价函数是随机参量O和观测矢量x的函数 平均代价C为 C xedxd 在p!()给定,选定代价函数的条件下,使平均代价最小的估计称为贝叶斯 估计。 信号检测与估值2017年春
信号检测与估值 2017年春 季 7 平均代价 设被估计的单随机变量的先验概率密度函数为 p( ) 平均代价C为 C c( )p(x )dxd − − = , ~ ( )是随机参量和观测矢量x的函数 ~ 易知代价函数 c 在 给定，选定代价函数的条件下，使平均代价最小的估计称为贝叶斯 估计。 p( )
平均代价 由p(x,)=p(xp(x) C=rc(ep(x, kidde ∫c)p((xe ∫心cmuk ∫c)p{so是非负值, 因此使平均代价最小,就等价于使 c(x)=」)pMO条件平均代价 最小。 信号检测与估值2017年春 8
信号检测与估值 2017年春 季 8 平均代价 由 p(x,) = p( x)p(x) C c( )p(x )dxd − − = , ~ c( )p( x)p(x)dxd − − = ~ p(x) c( )p( x)d dx − − = ~ ( ) ( ) 是非负值， − c p x d ~ 因此使平均代价最小，就等价于使 ( ) ( ) ( ) − C x = c p x d ~ ˆ 最小。 条件平均代价
Relation with cost in M-ary Detection C=im∑∑cP(H1H)P(H) lim 2 lim 2, P(H,IH)P(H) imn∑im∑c∫P(x1H1)kP(H m∑c(,x)P(x1H)P(H) ∫J(0x)(xO)(O)dO t 0 Jc(0.)P(x, e)ddb 估计:参数连续取值;检测:参数取自有限个离散点集合。 信号检测与估值2017年春
信号检测与估值 2017年春 季 9 Relation with cost in M-ary Detection ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 lim | lim lim | lim lim | lim , | , | , , i M M ij i j j M j i ij i j j M M j i ij j j M M R j i j j M R j R R C c P H H P H c P H H P H c P x H dxP H c j x P x H dxP H c x P x dxp d c x P x dxd − − → = = → → → → → = = = = = = 估计：参数连续取值；检测：参数取自有限个离散点集合
检测与估计的联系 检测:参量的状态是有限的(M-ary检测 估计:参量的状态是连续的(比如实数域,复数 域) 当M→∞时,检测就变成了估计 用检测做估计:复杂度太高,不合适 用估计做检测:可以,实际上经常这样用 比如,在衰落信道y=hx+w的信号检测中,经常对信号 先进行估计得到x的估计值x1(复数域上的任意值), 然后将其量化到信号星座上的某个点,即检测值x2。 无线通信中,有时候并不严格区分检测与估计 信号检测与估值2017年春 10
信号检测与估值 2017年春 季 10 检测与估计的联系 检测：参量的状态是有限的（M-ary检测） 估计：参量的状态是连续的（比如实数域，复数 域） 当M→∞时，检测就变成了估计 用检测做估计：复杂度太高，不合适 用估计做检测：可以，实际上经常这样用 ➢比如，在衰落信道y=hx+w的信号检测中，经常对信号 先进行估计得到x的估计值x1（复数域上的任意值）， 然后将其量化到信号星座上的某个点，即检测值x2。 无线通信中，有时候并不严格区分检测与估计
