信号检测与估值2017年春季 西电通院郑贱平 第一章:高斯信道的信号检测 11问题描述 12 Bayes检测 1.3二元实高斯信号检测 14高斯分布充分统计量时的PEP一般计算公式 1.5二元复高斯信号检测 1.6多元复高斯信号检测
信号检测与估值 2017年春季 西电通院郑贱平 第一章：高斯信道的信号检测 1.1 问题描述 1.2 Bayes检测 1.3 二元实高斯信号检测 1.4 高斯分布充分统计量时的PEP一般计算公式 1.5 二元复高斯信号检测 1.6 多元复高斯信号检测
1问题描述( (problem formulation) ◎信号模型 rx+n >x:输入信号,取自有限大小的信号星座(如 PSK/QAM),ie,x∈X r:输出信号,r∈C >:高斯噪声n~CN(O,N) °问题描述: >1)根据y和噪声方差,按照一定的准则确定x为有限大小信号 星座中的哪一点 >2)采用该检测方法的性能评价 Recall《通原》上的结果 方法:贝叶斯( Bayes)检测 >通原上的最大似然(ML)检测是 Bayes检测的一个特例 《通原》上直接给出了计算方法和结果,这里我们解决为什么 这么做并将之进行推广的问题。 信号检测与估值2017年春
信号检测与估值 2017年春 季 2 1.1 问题描述(problem formulation) 信号模型 r=x+n ➢ x: 输入信号，取自有限大小的信号星座（如PSK/QAM), i.e., ➢ r: 输出信号， ➢ n: 高斯噪声 问题描述： ➢ 1）根据y和噪声方差，按照一定的准则确定x为有限大小信号 星座中的哪一点 ➢ 2）采用该检测方法的性能评价 ➢ Recall 《通原》上的结果 方法：贝叶斯（Bayes）检测 ➢ 通原上的最大似然（ML）检测是Bayes检测的一个特例 ➢ 《通原》上直接给出了计算方法和结果，这里我们解决为什么 这么做并将之进行推广的问题。 xX r n N CN (0, 0 )
12 Bayes检测 Bayes检测:平均代价最小的检测 °建模 °平均代价定义 o Bayes判决规则 o Bayes检测性能 派生 Bayes检测 信号检测与估值2017年春
信号检测与估值 2017年春 季 3 1.2 Bayes检测 建模 平均代价定义 Bayes判决规则 Bayes检测性能 派生Bayes检测 Bayes检测：平均代价最小的检测
建模 ◎二元检测模型 H0成立 信源 概率 转移机构 观测空间 判决规则 °信源(信号空间) >信源的输出称为假设BPSK={+1,-1 概率转移机构(噪声空间) >将信源的输出(假设)以一定的概率关系映射到整个观察空间 中 rx+n °观测空间 接收端所有可能观测量的集合;r 判决规则 >将观察空间进行合理划分使每个观测量对应一个假设判断的方法; XE-l if r<o and x=+1. otherwise 信号检测与估值2017年春
信号检测与估值 2017年春 季 4 建模 二元检测模型 信源（信号空间） ➢ 信源的输出称为假设;BPSK={+1，-1｝； 概率转移机构（噪声空间） ➢ 将信源的输出(假设)以一定的概率关系映射到整个观察空间 中;r=x+n 观测空间 ➢ 接收端所有可能观测量的集合; r 判决规则 ➢ 将观察空间进行合理划分,使每个观测量对应一个假设判断的方法; x=-1 if r<0, and x=+1, otherwise 信源 概率 转移机构 观测空间 判决规则 H0 H1 H0成立 H1成立
观测空间划分 R H0成 H1成立 R R=RUR,RIR=⑦ 信号检测与估值2017年春
信号检测与估值 2017年春 季 5 观测空间划分 0 1 0 1 R R R R R = = U I
二元信号判决结果 判决 假设 HI H,h 二元信号判决概率 假设 判决 ( HolE) P(HIHO) P(HHI 信号检测与估值2017年春
信号检测与估值 2017年春 季 6 判决 假设 H0 H1 ( ) H0 H0 ( ) H0 H1 ( ) H1 H0 ( ) H1 H1 H0 H1 二元信号判决结果 判决 假设 H0 H1 ( ) P H0 H0 ( ) P H0 H1 ( ) P H1 H0 ( ) P H1 H1 H0 H1 二元信号判决概率
p(rHo) p(rHi P(HolHo-l-p(H1 Ho) p(H,H1=l-P(HoHu RI p(HoH1) P(H, Ho) P(以1B)p(B)1b ∑p(r1H) ,i2j=0,1 R2 信号检测与估值2017年春 7
信号检测与估值 2017年春 季 7 ( ) ( ) ( ) | | , , 0,1 | i i j R i j j r R p r H dr P H H i j p r H = =
平均代价 不同的事件赋予不同的代价(HH)÷cn 一般的,c0>co,co1>c1, 平均代价表示式 C=P(H0)C(H0)+P(H1)C(H1) ∑∑cP(H)P(H1|H) j=0i=0 C(Ho)=Coo P(HoJ Ho)Gio P(H,IHo C(H,=CorP(HoH,)+G P(HIH,) 信号检测与估值2017年春 8
信号检测与估值 2017年春 季 8 平均代价 不同的事件赋予不同的代价（Hi |Hj）→cij ➢ 一般的，c10>c00, c01>c11, 平均代价表示式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 1 0 0 | ij j i j j i C P H C H P H C H c P H P H H = = = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 00 0 0 10 1 0 1 01 0 1 11 1 1 C H c P H H c P H H C H c P H H c P H H = + = +
Problem formulation 目标函数:C 已知条件:P(H,cpP(r|H)RUR=RR∩R=② ◎问题:如何对观测空间R进行划分(即确定R0、R1)使得目标函数 C最小(贝叶斯准则),即 min c R1,R0 s.P(H),P(r1H),c,RUR=RR∩R=② ●需要将C表示为PH)RnR,P(r1H)的函数 因此首先将RUR1=RR∩R=表示为 P(RH=P(IH, )dr=1,j=0, P(Ho1H, )=P(IH dr= P(lH dr-JP(lH ) dr=l-P(H,IH 信号检测与估值2017年春 9
信号检测与估值 2017年春 季 9 Problem Formulation 目标函数：C 已知条件：P(Hj ), cij, 问题：如何对观测空间R进行划分（即确定R0、R1）使得目标函数 C最小（贝叶斯准则），即 需要将C表示为P(Hj ), cij,R0 ,R1 , 的函数 因此首先将 表示为 ( ) 0 1 0 1 | , , P r H R R R R R j = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 | | 1, 0,1 | | | | 1 | j j R j j j j j R R R P R H P r H dr j P H H P r H dr P r H dr P r H dr P H H = = = = = − = − ( ) ( ) 1 0 , 0 1 0 1 min . . , | , , , R R j j ij C s t P H P r H c R R R R R = = 0 1 0 1 R R R R R = = , P r H ( | j )
Solution C=Coo P(HO)P(HoIHo)+CIoP(Ho)P(H,IHo +Cor P(H1)P(HolH1)+,P(HP(HH) J P(HHo dr+CO P(HO) P(IHo)dr +Co P(H P(H )dr+, P(H P(H,)dr CoO P(Ho) P(HHo)dr+Gio P(Ho)-CoP(HOJ P(HHo)dr CorP(hJ P(IH,)dr+ci. P(H)-Ci P(HJ P(H,)dr f(r) cnP(Hn)+cP(H)+JP(H1)(an-n)P(B)-P(H)(c0-cm)P() const+ f() drF const+∑f()M o Min c→将所有r)0的r °反证法证明 存在某个满足f()0的k属于R0,将其放入R后的代价C=C-f(rk)△r4<C 信号检测与估值2017年春 10
信号检测与估值 2017年春 季 10 Solution Min C→将所有f(ri )0的ri 反证法证明 ➢ 存在某个满足f(rk )0 的rk属于R0，将其放入R1后的代价C’=C- f(rk )Δrk<C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 10 0 1 0 01 1 0 1 11 1 1 1 00 0 0 10 0 0 01 1 1 11 1 1 00 0 0 10 0 10 0 0 01 1 1 11 1 | R R R R R R R C c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P H H c P H P r H dr c P H P r H dr c P H P r H dr c P H P r H dr c P H P r H dr c P H c P H P r H dr c P H P r H dr c P H = + + + = + + + = + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 11 1 1 10 0 11 1 1 01 11 1 0 10 00 0 ( ) ( ) i R R i i R r R c P H P r H dr c P H c P H P H c c P r H P H c c P r H dr const f r dr const f r r − = + + − − − = + = + f(r)