北京大学：《微观经济学》关于拟线形效用函数求解的问题

Max u=In x, +x2 stn1x+P2x2≤m, x≥0,x2 由于x1,x2给消费者带来的是严格正的效用,所以预算约束必定取等号。我们可以通过 预算约束消掉一个变量: P1x x2 pp 把上式代入到目标函数中可得 u=Inx Pi 这是一个单变量的问题,但是我们还要注意x1的取值范围 x∈|0 PI 这样一式的一阶导数为 x p3 二阶导数为: 所以,当n=0→x=2∈|0.m时,原问题在x=取最大值(由二阶判断是极 Pi 大还是极小值),此时x2=m-1。这种情泥存在的前提是x=2∈|0如,也就是 P Bn→BSm 0≤型≤ P22m时,x P 所以我们要寻找角点解 PIL p 由xE(0m知:1≥B,又当内≥m时,11 p2

Max 1 2 u x x = + ln , s.t 1 1 2 2 p x p x m +  , 1 x  0 , 2 x  0 由于 1 x ， 2 x 给消费者带来的是严格正的效用，所以预算约束必定取等号。我们可以通过 预算约束消掉一个变量： 1 1 2 2 2 m p x x p p = − 把上式代入到目标函数中可得 1 1 1 2 2 ln p x m u x p p = − + ① 这是一个单变量的问题，但是我们还要注意 1 x 的取值范围 1 1 0, m x p       这样一式的一阶导数为： 1 1 2 1 ' p u x p = − 二阶导数为： 2 1 1 u" x = − < 0 所以，当 2 1 1 1 ' 0 0, p m u x p p   =  =     时，原问题在 2 1 1 p x p = 取最大值（由二阶判断是极 大还是极小值），此时 2 2 1 m x p = − 。这种情况存在的前提是 2 1 1 1 0, p m x p p   =     ，也就是： 2 2 1 1 0 p m p m p p     当 2 p m 时， 2 1 1 1 0, p m x p p   =     ，所以我们要寻找角点解。 由 1 1 0, m x p       知： 1 1 1 p x m  ，又当 2 p m 时， 2 1 1 p m 

所1,B2B,从而11B20,所以函数=x~的x,m当P2m时 P X p2 p, p, 在区间0.上是递增的,所以函数的最大值应该在x=取得,此时,x2=0。 P1 Pr P2≤m 时u的形 状 p2 的形状 Max u= stP1x+P2x2≤m x,≥0,x,≥0 同上题,我们把x表示为x2="-2,代入到目标函数中 √x x∈|0, p2 p Pi 大家可以像上题那样讨论。但对于这题我们可以利用二次函数得性质: P工 Pr Pi p, p p2 P3 p3 P￥x4PP2 P2, m PI 因为:u(0)=m>0,对称轴x=P→x=(P2)>0,函数开口向下 P

所以： 1 1 1 2 1 p p x m p   ，从而 1 1 2 1 ' p u x p = −  0，所以函数 1 1 1 2 2 ln p x m u x p p = − + 当 2 p m 时 在区间 1 0, m p       上是递增的，所以函数的最大值应该在 1 1 m x p = 取得，此时， 2 x = 0。 二． Max 1 2 u x x = + s.t 1 1 2 2 p x p x m +  1 x  0 , 2 x  0 同上题，我们把 2 x 表示为 1 1 2 2 2 m p x x p p = − ，代入到目标函数中： 1 1 1 2 2 p x m u x p p = − + ， 1 1 0, m x p       大家可以像上题那样讨论。但对于这题我们可以利用二次函数得性质： 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 ( ) 2 4 p x p p p p m m m u x x x x p p p p p p p p = − + = − + + = − − + + 因为： 2 (0) m u p = >0，对称轴 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 2 2 p p x x p p =  = >0，函数开口向下。 1 m p 2 p m 时 u 的形状 2 p m 时u的形 状

所以要讨论函数的最值我们需考虑x1=()是否∈0 (2)∈|0.m即m≥时,原函数在x=(P2取得最大值 当x=2p1 Pr Pr 当m≤P时,易知x=(P2)2≥",此时函数的对称轴大于",所以原函数在区间 , P, P1 PI 0,-上单调递增,从而函数在x1=“上取最大值 图遇上图类似

所以要讨论函数的最值我们需考虑 2 2 1 1 ( ) 2 p x p = 是否 1 0, m p       ， 当 2 2 1 1 ( ) 2 p x p = 1 0, m p       即 2 2 1 4 p m p  时，原函数在 2 2 1 1 ( ) 2 p x p = 取得最大值。 当 2 2 1 4 p m p  时，易知 2 2 1 1 1 ( ) 2 p m x p p =  ，此时函数的对称轴大于 1 m p ，所以原函数在区间 1 0, m p       上单调递增，从而函数在 1 1 m x p = 上取最大值。 图遇上图类似