5.2 方阵的特征值与特征向量
LOGO 5.2 方阵的特征值与特征向量
·特征值与特征向量的定义 ·特征值与特征向量的计算 。特征值与特征向量的性质
• 特征值与特征向量的定义 • 特征值与特征向量的计算 • 特征值与特征向量的性质
一、特征值与特征向量的定义 定义5.2.1设A是一个n阶方阵，如果存在数入 和n维非零列向量p,使得 Ap =ap, 则称λ是矩阵A的一个特征值，非零列向量P称为 矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量： ·特征向量不是孤立存在的，它一定是依附于某一 个特征值的，而且一个特征向量只能对应一个特 征值. 但是一个特征值却可以有无穷多个特征向量
一、特征值与特征向量的定义
特征值与特征向量的定义 性质1如果p是矩阵A的属于特征值λ的特征向 量，k是非零常数，则k也是矩阵A的属于特征值 λ的特征向量， 性质2如果p1,p2都是矩阵A的属于特征值入的 特征向量，则p1+p2(≠0)也是矩阵A的属于特征 值λ的特征向量， ·综上，属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合，还是属于这个特征值的特征向量
一、特征值与特征向量的定义
二、特征值与特征向量的计算 定义2设A=(a）nxm a11-入 012 01n 1A-1E1= 21 a22- 02m ani an2 ann 称为矩阵A的特征多项式：
二、特征值与特征向量的计算
二、特征值与特征向量的计算 计算步骤： 1、计算A的特征多项式A-λE: 2、特征多项式的所有的根，即为矩阵A的所有的特征值， 设互不相同的特征值为1,2，.，几(s≤n), 3、对每一个λ：(1≤i≤s),求对应的齐次线性方程组 (A-几；E)x=0,其基础解系i1,2,.,it即为A的属 于特征值入：的线性无关的特征向量， k15i1+k25i2+.+kt5it (k1,k2,.,kt不全为零) 即为A的属于特征值；的全部的特征向量；
二、特征值与特征向量的计算
二、特征值与特征向量的计算 例1计算下列矩阵的特征值与特征向量 1 4 0 2 (1)A -4 3 02 (2) A= 0 6 0 0 2 0 1 2 -2 (3)A= 2 1 -2 2 2 、2 4 例2设A是幂等矩阵，即A2=A,试证A的特征值 只有0或1
二、特征值与特征向量的计算
例3设λ是n阶方阵A的一个特征值，证明： (1)若A可逆，则2≠0，且是A-1的一个特征值； (2)若A可逆，则4是A的一个特征值； (3)λ-k是A-kE的一个特征值； (4)λk是Ak的一个特征值； (5)k是kA的一个特征值； (6)设f(x)=an2xn+an-1xn-1+.+a1x+a0,则 f(2)=an2n+an-1λn-1+.+a1λ+ao是 f(A)=anAn+an-1An-1+.+aA+aoE 的一个特征值
三、特征值与特征向量的性质 性质5.2.1设A=(a)是n阶矩阵，1，入2，.，n是 A的n个特征值，则 (1)λ1+几2+.+几n=a11+a22+.+ann; (2）1入2.入n=|A. ·a11+a22+.+an称为矩阵A的迹，记作tr(A) 例4设三阶方阵A满足 |A-E=|A+2E|=|2A+3E|=0, 则A-1+2E|=；|2A*-3E=
三、特征值与特征向量的性质
三、特征值与特征向量的性质 性质5.2.2n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特 征值. 性质5.2.3 设1,2，·，m是方阵A的m个互不相同 的特征值，p1,p2,.,pm是分别属于它们的特征向量， 则p1,p2,.,卫m线性无关。 性质5.2.4设1，λ2是方阵A的两个不同的特征值， p1,p2,.,ps;q1,92,.,qt分别是A的属于λ1,2的线性 无关的特征向量，则p1,p2,.,ps,q1,q2,.,qt线性无关
三、特征值与特征向量的性质