第二节向量及其线性运算
1.向量的概念 定义2.2.1：n个有次序的数41，a2,L,4n所组成的有序数组 (a1,a2,4n)称为一个n维向量。 这n个数称为该向量的n个分量，第个数a 称为第个分量（坐标)。 分量全为实数的向量称为实向量， 以后我们用小写希腊字母，b8L来代表向量
分量全为实数的向量称为实向量， 1. 向量的概念 定义2.2.1：n 个有次序的数 所组成的有序数组 称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 个数 称为第 个分量（坐标）。 以后我们用小写希腊字母 来代表向量
例如： (1,2,3,L,n) →n维实向量 (1+2i,2+3i,L,n+(n+1)) →n维复向量 第n个分量 第1个分量
例如： n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量
向量通常写成一行：0=(a1,42,L,an) 称为行向量。 28m10 有时也写成一列：a=S。 S 称为列向量。 它们的区别 只是写法上 ca 的不同。 分量全为零的向量(0,0，L,0)称为零向量。 2.向量的运算和性质 向量相等：如果n维向量4=(a1,a2,L,4n) b=(b,b2,L,b 的对应分量都相等，即4，=b(i=1,2,L,n) 就称这两个向量相等，记为a=b
向量通常写成一行： 有时也写成一列： 称为行向量。 称为列向量。 它们的区别 只是写法上 的不同。 分量全为零的向量 称为零向量。 2. 向量的运算和性质 向量相等：如果 n 维向量 的对应分量都相等，即 就称这两个向量相等，记为
向量加法：向量8=(a1+b,a2+b2,L,4n+bn) 称为向量a=(41,42,L,4n) b=(B,bL,b) 的和，记为g=4+b 负向量：向量a=（(a1,-2,L,-4n)称为向量a的负向量 向量减法：a-b=a+(-b) 数乘向量：设k为数域P中的数，向量(ka1,ka2,L,kan) 称为向量a=(a1,a2,L,an) 与数k的数量乘积。记为k@
向量加法：向量 称为向量 的和，记为 负向量：向量 称为向量 的负向量 向量减法： 称为向量 与数k的数量乘积。记为
满足运算律： (1)a+b=b+4 (5)1a=a (2)a+b)+g=(a+b)+g(6)k(la)=(kl)M (3)a+0=a (7)(k+D =ka +la (4)a+(a)=0 (8)k (a +b)=ka kb 在数学上，满足这八条规律的运算称为线性运算。 注：（1)对任意的向量4，存在唯一的零向量0， 使得a+o=L (2)对任意的向量4，存在唯一的负向量-4， 使得a+(-a)=0 (3)0a=0;(-1)a=-a;l0=0. (4)如果lM=0,则1=0或a=0
满足运算律： 注：（1）对任意的向量 存在唯一的零向量 使得 （2）对任意的向量 存在唯一的负向量 使得 （4）如果 则 （3） 在数学上，满足这八条规律的运算称为线性运算
例1设向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),8=(3,4,0),求a-b及30+2b-g. 解 006 816 a-b=13 、 1 803 = =(10-1), 81g 8-话 对于 ael o 06 36 3M+2b-g=31 +21 &0p 。 06 =1=(012) 2
解 例1 设向量 ，求 及 对于
3.向量空间 定义：设V为n维向量的集合，如果集合非空， 且集合对于加法及数乘两种运算封闭， 那么就称集合为向量空间. 说明：集合V对于加法及数乘两种运算封闭指 "aiV,biy,有a+b1V; "aiV,"kiR,有kaiV. 例2：3维向量的全体R是一个向量空间。 n维向量的全体R",也是一个向量空间
3. 向量空间 说明: 定义： 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及数乘两种运算封闭， 那么就称集合 为向量空间． 集合 对于加法及数乘两种运算封闭指 例2：3维向量的全体 是一个向量空间。 n维向量的全体 ，也是一个向量空间
例3：判别下列集合是否为向量空间. 0y==(0,xLx)|x,LxiR (2=(1R 解：(0"a=(0,a2,L,an)y,b=(0,b,L,b)iY a +b=(0,a2+bL ,a+b)iV "Ii R,a =(0,1 aL ,l a i vi. 所以，是向量空间。 (2)V,不是向量空间。 因为若a=(1,a2L,an)1V2, 则2a=(2,2a2L,2aniV2
例3: 判别下列集合是否为向量空间. 解： 所以， 是向量空间。 (2) 不是向量空间
例4：设a,b为两个已知的n维向量，判断集合 V={x=la+bl,miR}是否为向量空间. 解："x,=l,a+mb,x2=la+,biV 有x,+x2=(I,+12)a+(m+)biV, "k i R,kx=(kl )a+(km)bI V. 所以V是一个向量空间。 (这个向量空间称为由向量a,b生成的向量空间) 一般地，由向量组41,42，4m所生成的向量空间记为 V☐G0g4,口g,420☐00mam,2,0,m口R
是否为向量空间. （这个向量空间称为由向量a，b生成的向量空间） 一般地，由向量组 所生成的向量空间记为 例4：设 a，b为两个已知的n维向量，判断集合 解： 所以V是一个向量空间