线性代数 山东理工大学
线性代数 山东理工大学
第5章相似矩阵和二次型 §5.6正定二次型
§5.6 正定二次型 第5章 相似矩阵和二次型
在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位： 定义1：设f=xAx(AI=A)为实二次型，如果对任 意n维列向量x≠O,都有f=x'Ax>0,则 称f=xAx为正定二次型，并称实对称矩阵 A为正定矩阵； 对任意n维列向量x,f=x'Ax≥0，则称 f=x「Ax为半正定二次型，并称实对称矩阵 A为半正定矩阵。 如：f(x,K2,L,xn)=x+x+L+x是正定的 10L0 01L 0 .E= 是正定矩阵。 MMO M 00 L 1
定义1： ( ) T T 设 f x Ax A A = = 为实二次型，如果对任 意n维列向量 ，都有 ，则 称 为正定二次型，并称实对称矩阵 A为正定矩阵； x O 0 T f x Ax = T f x Ax = 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n f x x x x x x L L = + + + 是正定的 在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位： 0 T f x Ax = T f x Ax = 对任意n维列向量 x， ，则称 为半正定二次型，并称实对称矩阵 A为半正定矩阵。 如: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E = 是正定矩阵。 L L M M O M L
f(K,x2L,xn)=x+x2+L+x(r<n)是半正定的。 710L00L0 01L 00L 0 MM MM M .1n= 00L 10L 0是半正定矩阵。 00L 00L 0 MM MM M 0 0L00L0 定理1：实二次型f=x'Ax为正定的充分必要条件 是其标准型中n个系数全大于零。 推论1：实对称矩阵A为正定的充分必要条件A的特 征值全为正
定理1：实二次型 为正定的充分必要条件 是其标准型中n个系数全大于零。 T f x Ax = 推论1：实对称矩阵A为正定的充分必要条件A的特 征值全为正。 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( ) n r f x x x x x x r n L L = + + + 是半正定的。 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n I = 是半正定矩阵。 L L L L M M M M M L L L L M M M M M L L
推论2：实二次型∫=x'Ax为正定的充分必要条件 是它的规范标准型为f=+y+L+y。 推论3：实对称矩阵A为正定矩阵→A>0。反之不对 用行列式来判别一个矩阵（或二次型）是否正定 也是一种常用的方法，设A为阶对称矩阵，由A 的前k行k列元素构成的阶行列式 a11 412 L 2102z L 称为矩阵A=(a,) M M k=1,2,L,: M 的k阶顺序主子式 kk
2 2 2 1 2 n f y y y = + + + L 推论2：实二次型 为正定的充分必要条件 是它的规范标准型为 。 T f x Ax = 推论3：实对称矩阵A为正定矩阵 A 0 。 用行列式来判别一个矩阵（或二次型）是否正定 也是一种常用的方法，设A为n阶对称矩阵，由A 的前k行k列元素构成的k阶行列式 ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 1,2, , . k k k k kk a a a a a a k n a a a = L L L M M M L 称为矩阵 的k阶顺序主子式 A a = ( ij) 反之不对
定理2：实二次型f=x'Ax为正定的充分必要条件 它的矩阵A的所有顺序主子式大于零。 例1：判别下列二次型的正定性 f=3x2+4xK2+4x2-4x2K3+5x3 2 二次型f的矩阵为A= 24 -2 是正定矩阵 0-2 5 矩阵的顺序主子式分别为 3 2 0 3=3>0, 21=8>0, 32 2 4 -2 =28>0. -2 5 故f是正定的
定理2：实二次型 为正定的充分必要条件 它的矩阵A的所有顺序主子式大于零。 T f x Ax = 例1： 判别下列二次型的正定性 2 2 2 1 1 2 2 2 3 3 f x x x x x x x = + + − + 3 4 4 4 5 . 二次型 f 的矩阵为 3 2 0 2 4 2 0 2 5 A = − − 矩阵的顺序主子式分别为 3 3 0, = 3 2 8 0, 2 4 = 3 2 0 2 4 2 28 0. 0 2 5 − = − 故 f 是正定的。 是正定矩阵
定义2：设f=x'Ax(A=A)为实二次型，如果对任 意n维列向量x≠O,都有f=x'Ax<0,则 称f=x「Ax为负定二次型，并称实对称矩阵 A为负定矩阵； 对任意n维列向量x,f=x'Ax≤0，则称 f=x「Ax为半负定二次型，并称实对称矩阵 A为半负定矩阵。 对任意n维列向量x≠O,f=x'Ax的值有时 为正，有时为负，则称f=xTAx为不定二次 型，并称实对称矩阵A为不定矩阵。 如： f(K,x2,L,xn)=-x-x子-L-x是负定的 fx,x2,L,xn)=-x-x-L-x是半负定的 f(K,x2,L,xn)=-x+x3+L+x日是不定的
定义2： ( ) T T 设 f x Ax A A = = 为实二次型，如果对任 意n维列向量 ，都有 ，则 称 为负定二次型，并称实对称矩阵 A为负定矩阵； x O 0 T f x Ax = T f x Ax = 0 T f x Ax = T f x Ax = 对任意n维列向量 x， ，则称 为半负定二次型，并称实对称矩阵 A为半负定矩阵。 对任意n维列向量 ， 的值有时 为正，有时为负，则称 为不定二次 型，并称实对称矩阵A为不定矩阵。 x O T f x Ax = T f x Ax = 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n f x x x x x x L L = − − − − 是负定的 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n r f x x x x x x L L = − − − − 是半负定的 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n f x x x x x x L L = − + + + 是不定的 如：
定理3：实二次型∫=xAx为负定的充分必要条件 它的矩阵A的所有奇数顺序主子式小于零，偶数阶 顺序主子式大于零。 如：A= -2 -1 2 是负定矩阵 4 2 -5 -5 -2 4 -5=-5<0, -2 -1 2 =-1<0. 4 2 -5 .对应的二次型： f=-5x7-x-5x3-4xx2+8xK3+4x23 为负定二次型
定理3：实二次型 为负定的充分必要条件 它的矩阵A的所有奇数顺序主子式小于零，偶数阶 顺序主子式大于零。 T f x Ax = 5 2 4 2 1 2 4 2 5 A − − = − − − 如： − = − 5 5 0, 5 2 1 0, 2 1 − − = − − 5 2 4 2 1 2 1 0. 4 2 5 − − − − = − − 是负定矩阵 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x 5 5 4 8 4 = − − − − + + 对应的二次型： 为负定二次型