《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-2 方阵的特征值与特征向量

第五章相似矩阵与二次型 第二节 方阵的特征值与特征向量

第五章 相似矩阵与二次型 第二节 方阵的特征值与特征向量

第五章相似矩阵与二次型 方阵的特征值与特征向量的概念 1、定义5.2.1 设A是n阶矩阵，若存在实数2和非零向量x, 使得Ax=x成立，则称数2为方阵A的特征值， 非零向量x称为A的对应于特征值2的特征向量. 4[日}2=20

第五章 相似矩阵与二次型 5.2.1 , . A n x Ax x A x A     = 设 是 阶矩阵,若存在实数 和非零向量 使 成立，则称数 为方 1、定 得 阵 的 非零向量 称为 的对应于特征值 特征值， 的特征向量 义 一、方阵的特征值与特征向量的概念 3 1 1 2, 1 3 1 A x      − = = =         −

第五章相似矩阵与二次型 说明：一个特征向量只能属于一个特征值， 但是一个特征值可以有多个特征向量； 4[日=2x-0

第五章 相似矩阵与二次型 3 1 1 2, 1 3 1 A x      − = = =         −

第五章相似矩阵与二次型 2、求特征值与特征向量的步骤： 1.计算方阵A的特征多项式A-2E; 2.解A-E=0求出的值，即求特征值； 3.对每一个见，求方程组 (A-2E)x=O的所有非零解

第五章 相似矩阵与二次型 2. 0 , 解 A E − =   求出 的值 即求特征值； 3. , ( ) A E O x  − =  对每一个 求方程组 的所有非零解 2、求特征值与特征向量的步骤： 1.计算方阵A A E 的特征多项式 −  ；

第五章相似矩阵与二次型 -1 例1求矩阵A= 的特征值和特征向量 -13 解：A的特征多项式为 4-=33 =(4-兄)(2-九) 三A的特征值为2=2，入2=4 再求特征向量（解(A-孔E)X=O) 对九1=2， 4儿

第五章 相似矩阵与二次型    − − − − − = 1 3 3 1 A E 3 1 1 1 3 A   − =     − 例 求矩阵 的特征值和特征向量 = (4 − )(2 − ) 1 2  = = A的特征值为  2, 4 2, 对1 = 再求特征向量( ) 解( ) A E X O − =  1 2 3 2 1 ( 2 ) 1 3 2 x A E x x   − −   − =      − −   解：A的特征多项式为 1 2 1 1 =0 1 1 x x   −   =      −  

第五章相似矩阵与二次型 →基础解系：p=(1,)', ∴乃，=(1,1)'为属于特征值2的一个特征向量， 其全部特征向量为kp1(k≠0)； 同理可求属于22=4的一个特征向量为p2=(-1,1)', 其全部特征向量为仰(k≠0).（解(A-兄E)X=O)

第五章 相似矩阵与二次型 2 2 同理可求属于 = = − 4 ( 1 1) , 的一个特征向量为 p ，  2 其全部特征向量为 kp k( 0).  0 ; 其全部特征向量为kp1 （k  ） 1  = 基础解系: (1 1) p ，  ， 1  = p (1, 1) 2 , 为属于特征值 的一个特征向量 ( ) 解( ) A E X O − = 

第五章相似矩阵与二次型 例2求矩阵A= -4 3 的特征值和特征向量， 0 2 解 A的特征多项式为 -1-兄 1 0 A-元E= -4 3-2 0 =(2-2)1-2)2, 1 02-元 所以A的特征值为元1=2，九2=3=1

第五章 相似矩阵与二次型 1 1 0 2 . 4 3 0 1 0 2 A   −   = −       例 求矩阵 的特征值和特征向量 解 2 1 1 0 4 3 0 (2 )(1 ) , 1 0 2 A A E       − − − = − − = − − − 的特征多项式为 2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 = 3 =

第五章相似矩阵与二次型 当21=2时，解方程(A-2E)x=0.由 -3 10 0 0 A-2E= -4 0 0 1 0 1 0 0 0 00 0 得基础解系P1= 0 1 所以仰，(k≠0)是对应于2=2的全部特征值

第五章 相似矩阵与二次型 3 1 0 1 0 0 2 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 A E ,     −     − = → −             1 0 , 0 1 p     =       得基础解系 1 1 所以kp k( 0) 2 .  = 是对应于 的全部特征值 当1 = 2时,解方程(A − 2E)x = 0.由

第五章相似矩阵与二次型 当12=23=1时，解方程(A-E)=0.由 -2 1 0 1 01 A-E= -4 2 0 0 1 2 1 0 1 0 00 -1 得基础解系 2= -2 所以仰，(k≠0)是对应于，=人=1的全部特征值

第五章 相似矩阵与二次型 2 1 2 , 1 p   −   = −       得基础解系 2 2 3 所以kp k( 0) 1 .  = = 是对应于  的全部特征值 当2 = 3 = 1时,解方程(A − E)x = 0.由 2 1 0 1 0 1 4 2 0 0 1 2 , 1 0 1 0 0 0 A E     −     − = → −            

第五章相似矩阵与二次型 -21 1 例3求方阵A= 0 2 0 的特征值和特征向量 -4 13 解A的特征多项式为 -2-九 1 A-九E= 0 2-2. 0 -4 13- =-(2+1)(九-2)}， 解得4的特征值为2=-1，人2=2=2

第五章 相似矩阵与二次型 解 2 1 1 0 2 0 4 1 3 A A E     − − − = − − − 的特征多项式为 ( 1)( 2) , 2 = −  +  − 1 2 3 解得A的特征值为   = − = = 1, 2. 2 1 1 3 0 2 0 4 1 3 A   −   =       − 例 求方阵 的特征值和特征向量