第二章矩阵与向量 §2.1消元法与矩阵的初等变换 §2.2向量及其线性运算 §2.3向量组的线性相关性 §2.4矩阵的秩
第二章 矩阵与向量 §2.1消元法与矩阵的初等变换 §2.2向量及其线性运算 §2.3向量组的线性相关性 §2.4矩阵的秩
§2.1消元法与矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、矩阵的几种等价形式
§2.1 消元法与矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、矩阵的几种等价形式
一、消元法解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程. 引例求解线性方程组 2x1-X2+2x3=4 x1+X2+2x3=1 (1) 4x1+x2+4x3=2 解： X1+2+2x3=1 (1) ①←→② {2x1-x2+2x3=4 (2) 4x1+x2+4x3=2
引例 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 4 2 1 (1) 4 4 2 x x x x x x x x x − + = + + = + + = 1 2 (1) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 4 (2) 4 4 2 x x x x x x x x x + + = − + = + + = 解：
X1+X2+2x3=1 -2①+2) -3x2-2x3=2 (3) -4①+3 +3x2-4x3=-2 x1+x2+2x3=1 -②+③ -3x2-2x3=2 (4) -2x3=-4 X1+X2 =-3 -③+② ③+① -3x2 =6 (5) -2X3=-4
- 2 + 3 1 2 3 2 3 3 2 1 3 2 2 (4) 2 4 x x x x x x + + = − − = − = − - 3 + 2 3 + 1 1 2 2 3 3 3 6 (5) 2 4 x x x x + = − − = − = − 1 2 3 2 3 2 3 2 1 3 2 2 (3) 3 4 2 x x x x x x x + + = − − = + − = − -2 1 + 2 -4 1 + 3
1②+① 火1=-1 1 ② X2=-2 1 ③ 2 七3=2 说明： 1.在上述变换过程中，始终把方程组看作一个整 体变形，用到下面的三种形式的变换，分别为 (1)交换方程次序； (2)以不等于0的数乘某个方程； (3)一个方程加上另一个方程的倍
2 1 3 2 1 + 3 1 3 − 1 2 − 1 2 3 1 2 2 x x x = − = − = 说明： 1. 在上述变换过程中，始终把方程组看作一个整 体变形，用到下面的三种形式的变换，分别为 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍．
以上三种变换叫做方程组的初等变换.于是，加减 消元法解线性方程组就是用初等变换来化简方程组. 2.上述三种变换都是可逆的. 若(AD(B,则(B)(A 若(A)①×k(B,则(B)D÷k(4)店 若A④+k0(B,则(BO(A). 由于三种变换都是可逆的，保证变换前后的方程 组是同解方程组
2.上述三种变换都是可逆的． 由于三种变换都是可逆的，保证变换前后的方程 组是同解方程组． i j 若(A) (B), 则(B) (A); i j + k 若(A) (B), i j 若(A) (B), i k 则(B) (A); i k 则(B) (A). − k j i 以上三种变换叫做方程组的初等变换.于是,加减 消元法解线性方程组就是用初等变换来化简方程组
3.因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数 和常数进行运算，未知量并未参与运算，因此在线性 方程组中将未知数省略后，引入下面概念 定义2.1.1由m×n个数(i=1,2,.,mj=1,2,n) 排成的m行n列的数表 012 A= 21 (L22 (m2 mn
3. 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数 和常数进行运算，未知量并未参与运算,因此在线性 方程组中将未知数省略后，引入下面概念 由 mn 个数 m n a (i m j n) ij 定义 = 1,2, , ; = 1,2, , 2.1.1 排成的 行 列的数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a =
称为m×n矩阵.简称mxn阵. 说明： (I)a,为A的第行第列元素 (2)a,是实数，A为实矩阵，a是复数，A为复矩阵。 (3)与行列式的区别 (4矩晔记为A=An=(a)nn=a,) (⑤)矩阵的行数和列数相等时，称矩阵A为方阵 例如 [ 是一个2×4实矩阵
(3)与行列式的区别 (1)ai j为A的第i行第j列元素 (2)ai j是实数, A为实矩阵,ai j是复数, A为复矩阵。 称为 mn 矩阵.简称 mn 阵. 说明： (4) ( ) ( ). i j m n A = Am n = ai j = a 矩阵记为 (5)矩阵的行数和列数相等时,称矩阵A为方阵. 例如 1 0 3 5 9 6 4 3 − 是一个 24 实矩阵
13 62i 2 2 2 是一个3阶方阵 2 22 例如，一般元线性方程组 411七1+412X2+.+01nXn=b1 21X1+422x2+.+42mXn=b2 (8) 0●e●●●●●0●●0●●0●●0●e●●●0●●000●0●0●●●0●●●00 amx1+am2x2++amnxn=bm
13 6 2 2 2 2 2 2 2 i 是一个3 阶方阵. 例如，一般n元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 . . (8) . . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + =
的未知量的系数可以用矩阵A=(a,)mxm 来表示， 此时称A为方程组的系数矩阵 411412 13 022 023 A= a21 a2n a431432a33 方程组的系数和常数项可以用一个m×(n+1)矩阵 1112 b J= 02122 A2n Am2
此时称A为方程组的系数矩阵. ( ) 的未知量的系数可以用矩阵 A a = ij m n 来表示， = n n n a a a a a a a a a a a a A 3 1 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 方程组的系数和常数项可以用一个 m n + ( 1) 矩阵 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b =