归东理王大军 HANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 5.2标准形
5.2 标准形
G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 本节主要介绍化二次型为标准形的两种方法： 配方法 合同变换法
本节主要介绍化二次型为标准形的两种方法： 配方法 合同变换法
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理 数域P上任意一个二次型都可以经过一个非退化的线 性替换化为标准形，即平方和的形式。 矩阵语言的叔述： 定理数域P上任意一个对称矩阵都合同于一个对称矩阵
定理 数域𝑃上任意一个二次型都可以经过一个非退化的线 性替换化为标准形，即平方和的形式。 矩阵语言的叙述： 定理 数域𝑃上任意一个对称矩阵都合同于一个对称矩阵
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 倒1化二次型f(x1,x2,x3)=x子-4x1X2+2x1X3+4x2+2x3 为标准形，并求所作的非退化线性替换。 解
例1 化二次型𝑓 𝑥1 ,𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1 2 − 4𝑥1𝑥2 + 2𝑥1𝑥3 + 4𝑥2 2 + 2𝑥3 2 为标准形，并求所作的非退化线性替换。 解
山求程王大深 倒1化二次型f(x1,x2,X3)=x子-4x1x2+2x1x3+4x2+2x3 为标准形，并求所作的非退化线性替换。 解f(x1,x2,x3)=x子+(-4x2+2x3)x1+4x经+2x3 =(x1-2x2+x3)2-(-2x2+x3)2+4x3+2x3 =(x1-2x2+x3)2+4x2x3+x3 不含x1 对这一部分继续配方 =(x1-2x2+x3)2+(x3+2x2)2-4x3
例1 化二次型𝑓 𝑥1 ,𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1 2 − 4𝑥1𝑥2 + 2𝑥1𝑥3 + 4𝑥2 2 + 2𝑥3 2 为标准形，并求所作的非退化线性替换。 解 = 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 2 − −2𝑥2 + 𝑥3 2 + 4𝑥2 2 + 2𝑥3 2 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 ,𝑥3 = 𝑥1 2 + (−4𝑥2 + 2𝑥3 )𝑥1 + 4𝑥2 2 + 2𝑥3 2 = 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 不含𝑥1 2 + 4𝑥2𝑥3 + 𝑥3 2 对这一部分继续配方 = 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 2 + 𝑥3 + 2𝑥2 2 − 4𝑥2 2
G》 山东程子大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY f(x1,X2,x3)=(x1-2x2+x3)2+(x3+2x2)2-4x2 令 即 x1-2x2+x3=y1, x1=y1-y2+4y3, X3+2x2=y2, X2=y3, x2=y3: x3=y2-2y3 得 f(x1,x2,x3)=y7+y3-4y3 一一 配方法
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 2 + 𝑥3 + 2𝑥2 2 − 4𝑥2 2 令 ቐ 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1 , 𝑥3+2𝑥2 = 𝑦2 , 𝑥2 = 𝑦3 . 即 ቐ 𝑥1 = 𝑦1 − 𝑦2 + 4𝑦3 , 𝑥2 = 𝑦3 , 𝑥3 = 𝑦2 − 2𝑦3 . 得 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑦1 2 + 𝑦2 2 − 4𝑦3 2 ——配方法
山东理工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2 化二次型f(x1,x2,x3)=x1X2+x2x3+X3x1为标准形， 并求所作的非退化线性替换。 解令 x1=y1+y2, x2=y1-y2, x3=y3 f(x1,x2,x3)=(y1+y2)0y1-y2)+(y1-y2)y3+y30y1+y2) =y-y2+2y1y3
例2 化二次型𝑓 𝑥1 ,𝑥2 , 𝑥3 = 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥3𝑥1为标准形， 并求所作的非退化线性替换。 解 令 ቐ 𝑥1 = 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑥2 = 𝑦1 − 𝑦2 , 𝑥3 = 𝑦3 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑦1 + 𝑦2 𝑦1 − 𝑦2 + 𝑦1 − 𝑦2 𝑦3 + 𝑦3 (𝑦1 + 𝑦2 ) = 𝑦1 2 − 𝑦2 2 + 2𝑦1𝑦3
山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY f(x1,x2,x3)=y1-y吃+2y1y3 =(y1+y3)2-y3-y 令 即 y1+y3=Z1 y1=Z1-Z3, y2=Z2, y2=Z2 y3=Z3 y3=z3 得 f(x1,x2,x3)=z子-z3-z3
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑦1 2 − 𝑦2 2 + 2𝑦1𝑦3 = 𝑦1 + 𝑦3 2 − 𝑦3 2 − 𝑦2 2 令 ቐ 𝑦1 + 𝑦3 = 𝑧1 , 𝑦2 = 𝑧2 , 𝑦3 = 𝑧3 即 ቐ 𝑦1 = 𝑧1 − 𝑧3 , 𝑦2 = 𝑧2 , 𝑦3 = 𝑧3 得 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = 𝑧1 2 − 𝑧2 2 − 𝑧3 2
加求翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 所作非退化线性替换为 x1=y1+y2, X2 =y1-y2, X1=Z1+22-Z3, x3=y3 X2=Z1-Z2-Z3, X3=Z3: y1=Z1-23, y2=22 y3=Z3
ቐ 𝑥 1 = 𝑦 1 + 𝑦 2 , 𝑥 2 = 𝑦 1 − 𝑦 2 , 𝑥 3 = 𝑦 3 ቐ 𝑦 1 = 𝑧 1 − 𝑧 3 , 𝑦 2 = 𝑧 2 , 𝑦 3 = 𝑧 3 ቐ 𝑥 1 = 𝑧 1 + 𝑧 2 − 𝑧 3 , 𝑥 2 = 𝑧 1 − 𝑧 2 − 𝑧 3 , 𝑥 3 = 𝑧 3. 所作非退化线性替换为
山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理 数域P上任意一个二次型都可以经过一个非退化的线 性替换化为标准形，即平方和的形式。 证明 对变量的个数作数学归纳法 当n=1时，f(x1)=a11x好，己经是标准形了。 假设结论对n一1元二次型成立，现在看n元二次型 nn fx1,x2,.,xn)=∑c ijXiXj (aij aji) =1=1
证明 对变量的个数𝑛作数学归纳法 当𝑛 = 1时，𝑓 𝑥1 = 𝑎11𝑥1 2，已经是标准形了。 假设结论对𝑛 − 1元二次型成立，现在看𝑛元二次型 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 (𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖) 定理 数域𝑃上任意一个二次型都可以经过一个非退化的线 性替换化为标准形，即平方和的形式