山东理王大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 8.3 不变因子
8.3 不变因子
加求理工大 主要内容 。行列式因子 标准形的唯一性 。不变因子 ®几·矩阵可逆的条件
主要内容 行列式因子 标准形的唯一性 不变因子 - 矩阵可逆的条件
山东理子大家 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、行列式因子 在上一节，我们讨论了入·矩阵的标准形，其 主要结论是：任何入·矩阵都能化成标准形.但是 矩阵的标准形是否唯一呢？答案是肯定的，为了证 明难一性，要引入矩阵的行列式因子的概念
一、行列式因子 在上一节，我们讨论了 - 矩阵的标准形，其 主要结论是：任何 - 矩阵都能化成标准形. 但是 矩阵的标准形是否唯一呢？ 答案是肯定的. 为了证 明唯一性，要引入矩阵的行列式因子的概念
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定义1 设几-矩阵A()的秩为r,对于正整数k,1≤k≤， A()中必有非零的k级子式.A()中全部k级子式的首项 系数为1的最大公因式Dk()称为A()的k级行列式因子. 秩为T的几·矩阵，行列式因子一共有T个. 行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的. 定理1等价的九·矩阵具有相同的秩与各级行列式因子
定义1 设 𝜆-矩阵 𝐴(𝜆)的秩为 𝑟，对于正整数𝑘，1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑟 ， 𝐴(𝜆) 中必有非零的 𝑘 级子式. 𝐴(𝜆)中全部 𝑘 级子式的首项 系数为 1 的最大公因式𝐷𝑘 (𝜆) 称为 𝐴(𝜆) 的 𝑘 级行列式因子. • 秩为 𝑟 的 - 矩阵，行列式因子一共有 𝑟 个. 行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的. 定理1 等价的 - 矩阵具有相同的秩与各级行列式因子
山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、标准形的唯一性 1.标准形的行列式因子 设标准形为 vd1(2) d2(2) d,(2) (1) 0
二、标准形的唯一性 1. 标准形的行列式因子 设标准形为𝑑1 ( 𝜆 ) 𝑑 2 ( 𝜆 ) ⋱ 𝑑 𝑟 ( 𝜆 ) 0 ⋱ 0 (1)
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 其中d1(),d2(),.,d(2)是首项系数为1的多项式，且 d()d+1()(i=1,2,.,r-1).在这种形式的矩阵 中，如果一个飞级子式包会的行与到的标号不完全相同， 那么这个北级子式一定为零.因此，为了计算k级行到式 因子，只要看由i1,i2,.,ik行与i1,i2,.,k列 (1≤i1≤2≤.≤ik≤r)组成的k级子式就行了， 而这个k级子式等于d,(2)d,(2).d(2)
其中 𝑑1 𝜆 , 𝑑2 (𝜆), ⋯ , 𝑑𝑟 (𝜆) 是首项系数为 1 的多项式，且 在这种形式的矩阵 中，如果一个 𝑘 级子式包含的行与列的标号不完全相同， 那么这个 𝑘 级子式一定为零. 因此，为了计算𝑘 级行列式 因子，只要看由𝑖1 , 𝑖2 , ⋯ , 𝑖𝑘 行与 𝑖1 , 𝑖2 , ⋯ , 𝑖𝑘 列 (1 ≤ 𝑖1 ≤ 𝑖2 ≤ ⋯ ≤ 𝑖𝑘 ≤ 𝑟) 组成的 𝑘 级子式就行了， 而这个𝑘 级子式等于 𝑑𝑖 (𝜆) | 𝑑𝑖+1 (𝜆) ( 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑟 − 1 ) . 𝑑𝑖1 𝜆 𝑑𝑖2 𝜆 ⋯ 𝑑𝑖𝑘 (𝜆)
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 显然，这种k级子式的最大公因式就是 d1()d2().dk(2) 2.标准形的唯一性 定理2入·矩阵的标准形是唯一的
显然，这种 𝑘 级子式的最大公因式就是 2. 标准形的唯一性 定理2 - 矩阵的标准形是唯一的. 𝑑1 𝜆 𝑑2 𝜆 ⋯ 𝑑𝑘(𝜆)
山求濯工大深 三、不变因子 定义2 标准形的主对角线上非零元素 d1(2),d2(2),.,dr(2) 称为入·矩阵A()的不变因子. 定理3 两个入·矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的 行列式因子，或者，它们有相同的不变因子
三、不变因子 定义2 标准形的主对角线上非零元素 称为 𝜆 - 矩阵 𝐴(𝜆) 的不变因子. 定理3 两个 𝜆 - 矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的 行列式因子，或者，它们有相同的不变因子. 𝑑1 𝜆 , 𝑑2 𝜆 , ⋯ , 𝑑𝑟 (𝜆)
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 四、入·矩阵可逆的条件 由定理2的证明可以看出，在入-矩阵的行列式因子之问， 有关 Dk(⑦)|Dk+1()(k=1,2,.,r-1).(2) 因此在计算入·矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高阶 的行列式因子.这样，由(2)我们就大致有了低阶行列式因子 的范围了
四、 𝜆 - 矩阵可逆的条件 由定理2的证明可以看出，在 𝜆- 矩阵的行列式因子之间， 有关系 𝐷𝑘 (𝜆) | 𝐷𝑘+1 (𝜆) ( 𝑘 = 1, 2, ⋯ , 𝑟 − 1 ) . (2) 因此在计算 - 矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高阶 的行列式因子.这样，由 (2) 我们就大致有了低阶行列式因子 的范围了
山求濯工大深 设A()为一个n×n可逆矩阵，则|A(2)川=d,其中d 是一非零常数.这就是说，Dn()=1. 于是由(2)可知，Dk(2)=1(k=1,2,.,n),从而 dk()=1(k=1,2,.,n). 因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵E·反过来，与单位矩 阵等价的矩阵一定是可逆的，因为它的行列式是一个非零数， ·矩阵可逆的充分必要条件是它与单位矩阵等价
是一非零常数. 这就是说，𝐷𝑛 (𝜆) = 1 . 于是由 (2) 可知， 𝐷𝑘 (𝜆) = 1 ( 𝑘 = 1, 2, ⋯ , 𝑛 )，从而 𝑑𝑘 (𝜆) = 1 ( 𝑘 = 1, 2, . , 𝑛 ) . 因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵 𝐸 . 反过来 ,与单位矩 阵等价的矩阵一定是可逆的，因为它的行列式是一个非零数. • 矩阵可逆的充分必要条件是它与单位矩阵等价. 设 𝐴(𝜆) 为一个 𝑛 × 𝑛 可逆矩阵，则|𝐴(𝜆)| = 𝑑 ，其中 𝑑