山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 9.3 同 构
9.3 同 构
山求濯工大深 一、同构的定义 定义1实数域R上欧氏空问V与V'称为同构的，如果由 V到V”有一个双射0，满足 1)σ(a+B)=o(a)+o(β) 2)o(ka)=ko(a) 3)(o(),o(β)=(a,β)， 这里，B∈V,k∈R,这样的映射O称为V到V'的同构映射
一、同构的定义
山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 如果O是欧氏空间V到V'的一个同构映射，那么.0也 是V到V”作为线性空问的同构映射. 因此，同构的欧氏空间必有相同的维数 ·设V是一个几维欧氏空间，在V中取一组标准正交基 2.日 在这组基下，V中每个向量心都可表示为 a=X1e1+X2e2+.+xnen
因此，同构的欧氏空间必有相同的维数. ᵰ1,ᵰ2, ⋯ ,ᵰᵰ
山求覆2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 令 G(a)=(x1,X2,.,xn)∈Rn. 我们知道，这是V到R”的一个双射，并且适合定义中条件 1),2).又因为1，E2,.,En是标准正交基，因此对 B=y1e1+y2E2+.+ynen,o(β)=(y,y2,.,yn) (a,β)=x1y1+x2y2+.+xnyn=(o(x),o(β) 因而0是V到Rn的一个同构映射. ·每个n维的欧氏空间都与R”同构
1)，2)
山东理子大家 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、 同构的性质 性质同构作为欧氏空间之间的关系具有以下性质： 1)反身性V与V自身同构，且其同构映射为恒等映射； 2)对称性设V1与V2同构，V1到V2的同拘映射为0， 则V2与V1同构，且V2到V1的同构映射为σ-1； 3)传递性设V1与V2同构，V2与V3同构，V1到V2和 V2到V3的同构映射分别为O1,02,则V1与V3同构，且 V1到V3的同构映射为0201·
二、同构的性质 性质 同构作为欧氏空间之间的关系具有以下性质：
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理1 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的 维数相同. 这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它 的维数决定
定理1 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的 维数相同. 这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它 的维数决定