山东理王大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 7.3 线性变换的矩阵
7.3 线性变换的矩阵
加素理工大 主要内容 线性变换、基与基的像 线性变换的矩阵 向量像的计算公式 线性变换在不同基下矩阵的关集 相似矩阵
主要内容 线性变换、基与基的像 线性变换的矩阵 向量像的计算公式 线性变换在不同基下矩阵的关系 相似矩阵
山求程2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、 线性变换、基与基的像 设V是数域P上n维线性空间，E1,e2,.,en是V的一组基， 空间V中任一向量可以被基e1,E2,.,en线性表出，即有 专=x181+X2e2+.+xnen (1) 设几是V上的线性变换，则 几ξ=X1几e1+X2几e2+.+XnEn (2) 上式表明，如果我们知道了基6,2，.，n的像，那么线 性空间中任意一个向量5的像也就知道了·
一、线性变换、基与基的像 设 𝑉 是数域 𝑃 上 𝑛 维线性空间，𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛是𝑉的一组基， 空间 𝑉 中任一向量 𝜉 可以被基 𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛线性表出，即有 𝜉 = 𝑥1𝜀1 + 𝑥2𝜀2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝜀𝑛 (1) 设𝒜是 𝑉上的线性变换，则 𝒜𝜉 = 𝑥1𝒜𝜀1 + 𝑥2𝒜𝜀2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝒜𝜀𝑛 (2) 上式表明，如果我们知道了基 1 , 2 , . , n 的像，那么线 性空间中任意一个向量 的像也就知道了
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 结论1 设1,2，.，n是线性空间V的一组基.如果线性变 换几与B在这组基上的作用相同，即 AEi BEi, i=1,2,.,n, 那么凡=B. ·结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上 的作用所决定.下面我们进一步指出，基向量的像却可 以是任意的
结论1 设 𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛是线性空间 𝑉 的一组基.如果线性变 换 𝒜 与 ℬ 在这组基上的作用相同，即 𝒜𝜀𝑖 = ℬ𝜀𝑖 , 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛 , 那么 𝒜 = ℬ . • 结论 1 的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上 的作用所决定. 下面我们进一步指出，基向量的像却可 以是任意的
山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 结论2 设E1,2,.,en是线性空间V的一组基.对于任意一 组向量1，Q2,.,Qn一定有一个线性变换几使 AEi=air i=1,2,.,n. (3) 定理1设1，E2,.,n是线性空间V的一组基，Q1,2,.,0n 是V中任意n个向量.存在唯一的线性变换A使 AEi ai, i=1,2,.,n
结论2 设 𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛是线性空间 V 的一组基. 对于任意一 组向量 𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ , 𝛼𝑛 一定有一个线性变换 𝒜 使 𝒜𝜀𝑖 = 𝛼𝑖 , 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛 . (3) 定理 1 设 𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛是线性空间𝑉的一组基，𝛼1 ,𝛼2 , ⋯ , 𝛼𝑛 是 𝑉 中任意 𝑛 个向量. 存在唯一的线性变换 𝒜 使 𝒜𝜀𝑖 = 𝛼𝑖 , 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、线性变换的矩阵 1.定义 定义1 设E1,E2.,en是数域P上n维线性空间V的一组基， 几是V中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： 几e1=a11e1+a21E2+.+an1e A82=a1281+a2282++an2En, 几en=a1n1+a2ne2+.+annEn
二、线性变换的矩阵 1. 定义 定义1 设 𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛是数域 𝑃 上 𝑛 维线性空间 𝑉 的一组基， 𝒜是 𝑉中的一个线性变换. 基向量的像可以被基线性表出： 𝒜𝜀1 = 𝑎11𝜀1 + 𝑎21𝜀2 + ⋯ + 𝑎𝑛1𝜀𝑛, 𝒜𝜀2 = 𝑎12𝜀1 + 𝑎22𝜀2 + ⋯ + 𝑎𝑛2𝜀𝑛, ⋯ ⋯ 𝒜𝜀𝑛 = 𝑎1𝑛𝜀1 + 𝑎2𝑛𝜀2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝜀𝑛
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 用矩阵来表示就是 cA(e1,e2,.,en)= (Ae1,Ae2,.,Aen)=(e1,e2,.,en)A (5) 其中 011 Q12 ain A= 021 022 02m ani an2 ann/ 矩阵A称为A在基E1,E2,.,en下的矩阵
用矩阵来表示就是 𝒜(𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛) = (𝒜𝜀1 , 𝒜𝜀2 , ⋯ , 𝒜𝜀𝑛)) = (𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛) 𝐴 其中 矩阵 𝐴 称为 𝒜 在基 𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛下的矩阵. (5) 𝐴 = 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1在P3中，求下到变换在基 e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),E3=(0,0,1) 下的矩阵. 1)A(x1,x2,x3)=(x1+x2,X2+x3,X3+X1) 2)A(x1,x2,x3)=(0,x1+x2+x3,0)
例1 在𝑃 3中，求下列变换在基 𝜀1 = 1,0,0 , 𝜀2 = 0,1,0 , 𝜀3 = (0,0,1) 下的矩阵. 1) 𝒜 𝑥1 , 𝑥2 ,𝑥3 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑥2 + 𝑥3 , 𝑥3 + 𝑥1 ) 2) 𝒜 𝑥1 , 𝑥2 ,𝑥3 = (0, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 , 0)
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2在P2×2中，定义线性变换 A=(&x X∈P2x2 求A在基E11,E12,E21,E22下的矩阵. 例3零变换0在任意一组基下的矩阵是零矩阵0； 单位变换￡在任意一组基下的矩阵是单位矩阵E; 数乘变换心在任意一组基下的矩阵是数量矩阵kE
例2 在𝑃 2×2中，定义线性变换 𝒜 𝑋 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑋, 𝑋 ∈ 𝑃 2×2 求 𝒜在基𝐸11, 𝐸12,𝐸21, 𝐸22下的矩阵. 例3 零变换𝒪 单位变换ℰ 数乘变换𝒦 在任意一组基下的矩阵是零矩阵𝑂; 在任意一组基下的矩阵是单位矩阵𝐸; 在任意一组基下的矩阵是数量矩阵𝑘𝐸;
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 由坐标的唯一性，取定一组基1，E2,.,en后，线性变换几 在这组基下的矩阵是唯难一的，设为A,即有 A(e1,e2,.,en)=(e1,e2,.,en)A 可以建立映射 0: L(V)pnxn A→A 结论2说明这个映射是满射，结论1说明这个映射是单射
• 由坐标的唯一性，取定一组基𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛后，线性变换𝒜 在这组基下的矩阵是唯一的，设为𝐴，即有 𝒜(𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛) = (𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛) 𝐴 可以建立映射 𝜎: 𝐿(𝑉) ⟶ 𝑃 𝑛×𝑛 𝒜 ↦ 𝐴 结论2说明这个映射是满射，结论1说明这个映射是单射