山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 7.1 线性变换的定义
7.1 线性变换的定义
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 引倒 平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面 围绕坐标原点按逆时针方向旋转日角的变换，用R日表示. Re(a)=a' Re(B)=B' y ka' Ro(a+B)=a'+B'=Ro(a)+Ro(B) a'+B' Re(ka)=ka'=kRe(a) a+B ka
引例 平面上的向量构成实数域上的二维线性空间. 围绕坐标原点按逆时针方向旋转 角的变换，用 ℛ𝜃表示. 𝑜 𝑥 𝑦 𝛼 𝛼 ′ 𝛽 𝛽 ′ 𝛼 + 𝛽 𝛼 ′ + 𝛽 ′ 把平面 𝑘𝛼 𝑘𝛼′ ℛ𝜃 𝛼 = 𝛼 ′ ℛ𝜃 𝛽 = 𝛽 ′ ℛ𝜃 𝛼 + 𝛽 = 𝛼 ′ + 𝛽 ′ ℛ𝜃 𝑘𝛼 = 𝑘𝛼 ′ = 𝑘ℛ𝜃 𝛼 = ℛ𝜃 𝛼 + ℛ𝜃 𝛽
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、定义 定义1 线性空问V的一个变换凡称为线性变换，如果 对于V中任意的元素，B和数域P中任意数k，都有 A(a+B)=A(a)+A(B), A(ka)=kA(a). ·线性变换保持向量的加法与数量乘法. ·以后我们一般用花体拉丁字母凡，B,C,.代表V的变换， 几(a)或A代表元素在变换几下的像
二、定义 定义1 线性空间 𝑉 的一个变换 𝒜 称为线性变换，如果 对于 𝑉 中任意的元素 , 和数域 𝑃 中任意数 𝑘 ，都有 𝒜 𝛼 + 𝛽 = 𝒜 𝛼 + 𝒜(𝛽) , 𝒜(𝑘𝛼) = 𝑘𝒜(𝛼) . • 以后我们一般用花体拉丁字母𝒜, ℬ, 𝒞, ⋯代表𝑉 的变换， 𝒜(𝛼)或 𝒜𝛼代表元素 𝛼 在变换 𝒜 下的像. • 线性变换保持向量的加法与数量乘法
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 三、举例 例1线性空问V中的恒等变换或称单位变换￡，即 E(a)=a (a∈V), 以及零变换0，即 0(a)=0 (a∈V 都是线性变换
例1 线性空间 𝑉 中的恒等变换或称单位变换ℰ，即 ℰ(𝛼) = 𝛼 (𝛼 ∈ 𝑉) , 以及零变换𝒪，即 𝒪(𝛼) = 0 (𝛼 ∈ 𝑉) 都是线性变换. 三、举例
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2设V是数域P上的线性空间，k是P中某个数， 定义V的变换如下： x:a→ka,E∈V. 这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换， 显然，当k=1时，C就是恒等变换， 当k=0时，C就是零变换
例2 设 𝑉 是数域 𝑃 上的线性空间，𝑘 是 𝑃 中某个数， 定义 𝑉 的变换如下： 𝒦: 𝛼 ↦ 𝑘𝛼 , 𝛼 ∈ 𝑉 . 这是一个线性变换，称为由数 𝑘 决定的数乘变换. 显然，当 𝑘 = 1 时，𝒦就是恒等变换， 当 𝑘 = 0 时， 𝒦就是零变换
加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例3在线性空问P[x]或者P[x]m中，求微商是一个 线性变换.这个变换通常用D代表，即 D(f(x)=f'(x). 例4在线性空间C[a,b]中，变换 3f(x)=∫f(t)dt 是一线性变换
例3 在线性空间 𝑃[ 𝑥 ] 或者 𝑃[ 𝑥 ]𝑛 中，求微商是一个 线性变换.这个变换通常用𝒟代表，即 𝒟 (𝑓(𝑥)) = 𝑓 ′ (𝑥) . 例4 在线性空间𝐶[ 𝑎 , 𝑏 ]中，变换 是一线性变换. �� = ((��)��)ℐ 𝑥 𝑓 𝑡 d𝑡
G 山东理子大家 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例5取定矩阵A∈Pnxn,定义Pn上的变换： A(a)=Aa,Ha∈Pn 证明：几是线性变换
例5 取定矩阵𝐴 ∈ 𝑃 𝑛×𝑛 ，定义𝑃 𝑛上的变换： 𝒜 𝛼 = 𝐴𝛼, ∀𝛼 ∈ 𝑃 𝑛 证明：𝒜是线性变换
山求程王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例6 引例中平面的旋转变换R日 cos0 sin0 cos@ y a'=(x',y) 即Rg(a)=Aa. a=(x,y) 2 由例5Rg是线性变换. 0 同样地，空间中绕轴的旋转 也是一个线性变换
例6 引例中平面的旋转变换ℛ𝜃 𝑂 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑦 = ( 𝑥 , 𝑦 ) = ( 𝑥 , 𝑦 ) 𝑥 ′ 𝑦 ′ = cos 𝜃 − sin 𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑥 𝑦 即 ℛ𝜃 𝛼 = 𝐴𝛼. 由例5 ℛ𝜃是线性变换. 同样地，空间中绕轴的旋转 也是一个线性变换
G 山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例7 设是几何空间中一固定的非零向量，把每个向 量了变到它在心上的内射影的变换也是一个线性变换， 以几。表示，用公式表示就是 la()= (a,) (a,) na() a 这里(，)，(，)表示 0 内积
例7 设 𝛼 是几何空间中一固定的非零向量，把每个向 量 𝜁变到它在 𝛼 上的内射影的变换也是一个线性变换， 这里 (𝛼,𝜁) , (𝛼,𝛼)表示 内积. 𝑥 𝑜 𝑦 以 𝑧 𝛼 表示，用公式表示就是 Π𝛼(𝜁) 𝜁 Π𝛼 𝜁 = (𝛼, 𝜁) (𝛼, 𝛼) 𝛼
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例8 镜象变换：P2中每个向量关于过原点的直线L相对称 的变换，记为T,即 Va=OAE R2, T(a)=a'=OB (其中A、B对称于直线L) A L 也是R2上的线性变换. ⊙ 求镜象变换 B
例8 镜象变换：𝑅2 中每个向量关于过原点的直线 𝐿 相对称 的变换，记为𝒯，即 𝒯 𝛼 = 𝛼 ′ = 𝑂𝐵 (其中 𝐴、𝐵对称于直线 𝐿) 也是 𝑅2上的线性变换. 𝑂 𝑥 𝑦 𝐴 𝐵 𝐶 𝐿 下面先来求镜象变换 T , 然后再证明它是线 性变换. 设直线 L 的某个方向的单位向量为 (如图7-3 所示)，则 O x y A B C L 图 7 - 3 OC = ( , ) , 其中 ( , ) 为向量 与 的内积，于是 = + AB = + 2AC = + 2( OC - ) = - + 2 ( , ) . ∀𝛼 = 𝑂𝐴 ∈ 𝑅2