归东程子大深 HANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 6.1 集合·映射
6.1 集合·映射
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、映射 1.映射的定义 定义1设M,M'是非空集，所谓集合M到集合M'的一个映射 就是指一个法则O,它使M中每一个元素a都有M'中一个确 定的元素a'与之对应.记为 o(a)=a',或o:a→a'. a'称为a在映射o下的像，而a称为a'在映射o下的一个原像
二、映射 1. 映射的定义 定义1 设𝑀, 𝑀′是非空集，所谓集合𝑀到集合𝑀′的一个映射 就是指一个法则 ，它使𝑀中每一个元素𝑎都有𝑀′中一个确 定的元素𝑎 ′与之对应. 记为 𝜎 𝑎 = 𝑎 ′ ，或 ： 𝑎 → 𝑎 ′ . 𝑎 ′ 称为 𝑎 在映射 下的像，而𝑎称为 𝑎 ′在映射 下的一个原像
加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ·M到M自身的映射，有时也称为M到自身的变换 ·集合M到集合M'的两个映射0和T,如果对M的每一个元素a 都有σ(a)=t(a),则称它们相等，记作0=t. 2.映射的例子 例1M是全体整数的集合，M'是全体偶数的集合，定义 o(n)=2m,n∈M. 这是M到M'的一个映射
• 𝑀到 𝑀自身的映射，有时也称为𝑀到自身的变换 2. 映射的例子 例 1 𝑀是全体整数的集合，𝑀′是全体偶数的集合，定义 (𝑛) = 2𝑛，𝑛 ∈ 𝑀. 这是𝑀到𝑀′的一个映射. • 集合𝑀到集合𝑀′的两个映射𝜎和𝜏，如果对𝑀的每一个元素𝑎 都有𝜎 𝑎 = 𝜏(𝑎)，则称它们相等，记作𝜎 = 𝜏
山求程2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2M是数域P上全体n阶矩阵的集合，定义 O1(A)=|A,A∈M. 这是M到P的一个映射. 例3M是数域P上全体阶矩阵的集合，定义 2(a)=aE,a∈P. E是n阶单位矩阵，这是P到M的一个映射
例 2 𝑀是数域𝑃上全体𝑛阶矩阵的集合，定义 𝜎1 𝐴 = 𝐴 ，𝐴 ∈ 𝑀. 这是 𝑀 到𝑃的一个映射. 例 3 𝑀是数域𝑃上全体𝑛阶矩阵的集合，定义 𝜎2 𝑎 = 𝑎𝐸，𝑎 ∈ 𝑃. 𝐸是 𝑛阶单位矩阵，这是𝑃到𝑀的一个映射
加东翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例4对于f(x)EP[x],定义 o(f(x)=f(x)'. 这是P[x]到自身的一个映射. 例5设M,M'是两个非空的集合，a0是M'中一个固定的元素， 定义 o(a)=ao,a∈M. 即o把M中的每个元素都映射到ao,这是M到M'的一个映射
例 4 对于𝑓(𝑥) ∈ 𝑃[𝑥]，定义 𝜎 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 ′ . 这是 𝑃[𝑥]到自身的一个映射. 例 5 设 𝑀, 𝑀′ 是两个非空的集合， 𝑎0 是𝑀′ 中一个固定的元素， 定义 𝜎 𝑎 = 𝑎0，𝑎 ∈ 𝑀. 即𝜎把𝑀中的每个元素都映射到𝑎0，这是𝑀到𝑀′的一个映射
山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例6设M是一集合，定义 o(a)=a,a∈M. 即σ把每个元素映到它自身，称为集合M的恒等映射或 单位映射，记为1M· 例7任意一个定义在全体实数上的函数 y=f(x) 都是实数集合到自身的映射.因此，函数可以认为是映射 的一个特殊情形
例 6 设𝑀是一集合，定义 𝜎 𝑎 = 𝑎 ，𝑎 ∈ 𝑀 . 即𝜎把每个元素映到它自身，称为集合 𝑀 的恒等映射或 单位映射，记为1𝑀 . 例 7 任意一个定义在全体实数上的函数 𝑦 = 𝑓 (𝑥) 都是实数集合到自身的映射. 因此，函数可以认为是映射 的一个特殊情形
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3.映射的乘积 1)定义 定义3 设O、T分别是集合M到M'和M'到M"的两个映射 乘积T0定义为 (to)(a)=t(o(a),a∈M 即相继施行O和T的结果，T0是M到M”的一个映射
3. 映射的乘积 1) 定义 定义3 设𝜎、𝜏 分别是集合 𝑀到𝑀′和 𝑀′到𝑀′′的两个映射 乘积𝜏𝜎定义为 即相继施行𝜎和𝜏的结果， 𝜏𝜎 是𝑀到𝑀′′的一个映射. 𝜏𝜎 𝑎 = 𝜏(𝜎 𝑎 )，𝑎 ∈ 𝑀
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例如，前面例2和例3☐中映射的乘积0102就是把 每个n阶矩阵A映到数量矩阵AE,它是全体n阶矩阵的 集合到自身的一个映射 ·对于集合M到M'的任一映射O,显然有 1M'0=01M=0
例如，前面 例 2 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合， 定义 1 (A) = | A | ，A M . 这是 M 到 P 的一个映射. 例 3 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合， 定义 2 (a) = aE ，a P . E 是 n 级单位矩阵，这是 P 到 M 的一个映射. 例 2 和例 3 中映射的乘积 12就是把 每个 𝑛 阶矩阵 𝐴 映到数量矩阵 |𝐴|𝐸，它是全体 𝑛 阶矩阵的 集合到自身的一个映射. • 对于集合𝑀到𝑀′的任一映射 ，显然有 1𝑀′𝜎 = 𝜎1𝑀 = 𝜎
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2) 运算规律 ·映射的乘法满足结合律. 设O、t、p分别是集合M到M,M'到M",M"到M",则 p(to）=(0t)o
2) 运算规律 • 映射的乘法满足结合律. 设 、 、 分别是集合 𝑀到𝑀′ ，𝑀′到𝑀′′ ，𝑀′′到𝑀′′′ ，则 ( ) = ( )
G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2)运算规律 ·映射的乘法不满足交换律， 例如设f(x)=sinx,g(x)=x+1,则 g(f(x))=sinx +1; f(g(x))=sin(x 1). 故gf≠fg
• 映射的乘法不满足交换律， 例如 设 𝑓 (𝑥) = sin 𝑥 , 𝑔 (𝑥) = 𝑥 + 1 , 则 𝑔 ( 𝑓 (𝑥) ) = sin 𝑥 + 1 ； 𝑓 ( 𝑔 (𝑥) ) = sin(𝑥 + 1) . 故 𝑔 𝑓 ≠ 𝑓 𝑔 . 2) 运算规律