高等代数 线性相关性
高等代数 线性相关性
线性相关性 第三章线性方程组 例判定向量组1=(1，-1,2)，02=(0,3,1)，3=(3,0,7)是否线 性相关？ 解设k1a1+k2a2+k3a3=0,则 k1+3k3=0, -k1+3k2=0, 2k1+k2+7k3=0 方程组有非零解，取k1=3,k2=1,k3=-1,有 31+2-a3=0, 所以a1,02,a3线性相关
线性相关性 第三章 线性方程组 例 判定向量组𝜶𝟏 = 𝟏, −𝟏, 𝟐 ,𝜶𝟐 = 𝟎, 𝟑, 𝟏 , 𝜶𝟑 = (𝟑, 𝟎, 𝟕)是否线 性相关？ 解 设𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + 𝒌𝟑𝜶𝟑 = 𝟎，则 ቐ 𝒌𝟏 + 𝟑𝒌𝟑 = 𝟎, −𝒌𝟏 + 𝟑𝒌𝟐 = 𝟎, 𝟐𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 + 𝟕𝒌𝟑 = 𝟎 方程组有非零解，取𝒌𝟏 = 𝟑, 𝒌𝟐 = 𝟏, 𝒌𝟑 = −𝟏，有 𝟑𝜶𝟏 + 𝜶𝟐 − 𝜶𝟑 = 𝟎, 所以𝜶𝟏, 𝜶𝟐, 𝜶𝟑线性相关
线性相关性 第三章线性方程组 。一般地，讨论m个n维(m≤n)向量 a11 Q12 aim a21 a22 02m 1 ,02= .,Cm ani 0n2 anm 是否线性相关。 设k1C1+k22+.+kmm=0,即 a11k1+a12k2+.+a1mkm=0, a21k1+a22k2+.+a2mkm=0, (1) anik1+an2k2 +anmkm =0. >(1)有非零解=a1,a2,.,am线性相关； >(1)只有零解台c1,2,.,am线性无关； >当m>n时，a1,2,.,m必线性相关
线性相关性 第三章 线性方程组 • 一般地，讨论𝒎个𝒏维(𝒎 ≤ 𝒏)向量 𝜶𝟏 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 ⋮ 𝒂𝒏𝟏 , 𝜶𝟐 = 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋮ 𝒂𝒏𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒎 = 𝒂𝟏𝒎 𝒂𝟐𝒎 ⋮ 𝒂𝒏𝒎 是否线性相关. 设𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯+ 𝒌𝒎𝜶𝒎 = 𝟎，即 𝒂𝟏𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒎𝒌𝒎 = 𝟎, 𝒂𝟐𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒎𝒌𝒎 = 𝟎, ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝒏𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒎𝒌𝒎 = 𝟎. 𝟏 ➢ 𝟏 有非零解⟺ 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒎线性相关； ➢ 𝟏 只有零解⟺ 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒎线性无关； ➢ 当𝒎 > 𝒏时，𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒎必线性相关
线性相关性 第三章线性方程组 含有零向量的向量组必线性相关 台线性无关的向量组中必不含有零向量. ·如果一个向量组中有一个部分组线性相关，那么这个向量组必线性相关 台线性无关向量组的任意一个非空的部分组仍然线性无关。 证明 为了方便，不妨设向量组a1,Q2,.,C,的前r个向量线性相关， 则存在不全为零的数k1,k2,.,k使得 k1a1+k2a2+.+krar=0, 则显然有 k1a1+k2a2+.+kn,+0ar+1+.+0a3=0, 其中k1,k2,.,k,0,.,0仍然不全为零，从而a1,a2,.,a线性相关
线性相关性 第三章 线性方程组 • 含有零向量的向量组必线性相关 ⟺线性无关的向量组中必不含有零向量. • 如果一个向量组中有一个部分组线性相关，那么这个向量组必线性相关. ⟺线性无关向量组的任意一个非空的部分组仍然线性无关. 证明 为了方便，不妨设向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔的前𝒓个向量线性相关， 则存在不全为零的数𝒌𝟏 ,𝒌𝟐 , ⋯, 𝒌𝒓使得 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒓𝜶𝒓 = 𝟎, 则显然有 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒓𝜶𝒓 + 𝟎𝜶𝒓+𝟏 + ⋯ + 𝟎𝜶𝒔 = 𝟎, 其中𝒌𝟏 , 𝒌𝟐 , ⋯ , 𝒌𝒓 , 𝟎, ⋯ , 𝟎仍然不全为零，从而𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯, 𝜶𝒔线性相关
线性相关性 第三章线性方程组 n个n维向量 a1=(a11,a21,.,an1),a2=(a12,a22,.,an2),.,n=(a1ma2m.,am) 线性无关的充分必要条件是 a11a1 2.a1n 021a22 a2n ≠0. (1) an1 an2 ann 证明设k1a1+k2a2+.+knan=0,则 a11k1+a12k2+.+a1nkn=0, a21k1+a22k2+.+a2nkn=0, (2) anik+an2k2++annkn 0. c1,a2,.,c线性无关的充分必要条件是方程组(2)只有零解，而方程组(2)只有零解的充分必 要条件是系数行列式不等于零，即(1)式成立
线性相关性 第三章 线性方程组 ◆ 𝒏个𝒏维向量 𝜶𝟏 = (𝒂𝟏𝟏,𝒂𝟐𝟏,⋯ , 𝒂𝒏𝟏),𝜶𝟐 = (𝒂𝟏𝟐,𝒂𝟐𝟐,⋯ , 𝒂𝒏𝟐),⋯ ,𝜶𝒏 = (𝒂𝟏𝒏, 𝒂𝟐𝒏,⋯ , 𝒂𝒏𝒏) 线性无关的充分必要条件是 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 ⋮ 𝒂𝒏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋮ 𝒂𝒏𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟐𝒏 ⋮ 𝒂𝒏𝒏 ≠ 𝟎. (𝟏) 证明 设𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒏𝜶𝒏 = 𝟎，则 𝒂𝟏𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒌𝒏 = 𝟎, 𝒂𝟐𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒌𝒏 = 𝟎, ⋯⋯ 𝒂𝒏𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝒏𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒏𝒌𝒏 = 𝟎. (𝟐) 𝜶𝟏 ,𝜶𝟐 ,⋯ ,𝜶𝒏线性无关的充分必要条件是方程组(2)只有零解，而方程组(2)只有零解的充分必 要条件是系数行列式不等于零，即(1)式成立
线性相关性 第三章线性方程组 例判断向量组a1=(1,-2,4),2=(0,1,2),03=(-2,3,c)的线 性相关性。 解行列式 -2 01● 0=10+c -3 3 c 当10+c=0,即c=-10时，a1,02,a3线性相关；当c≠-10时， Q1,2,C3线性无关
线性相关性 第三章 线性方程组 例 判断向量组𝜶𝟏 = 𝟏, −𝟐, 𝟒 ,𝜶𝟐 = 𝟎, 𝟏, 𝟐 , 𝜶𝟑 = −𝟐, 𝟑, 𝒄 的线 性相关性. 解 行列式 𝟏 −𝟐 𝟒 𝟎 𝟏 𝟐 −𝟑 𝟑 𝒄 = 𝟏𝟎 + 𝒄, 当𝟏𝟎 + 𝒄 = 𝟎，即𝒄 = −𝟏𝟎时，𝜶𝟏, 𝜶𝟐, 𝜶𝟑线性相关；当𝒄 ≠ −𝟏𝟎时， 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, 𝜶𝟑线性无关
线性相关性 第三章线性方程组 如果向量组 a11 a12 ais a22 a2s 01= d21 ,02= ，.,0s= ani an2 ans 线性无关，则它们的延伸组 a11 a12 ais a21 d22 azs B1= ,B2= ,.,Bs= ani an2 ans an+1,1/ an+1,2/ an+1,s/ 也线性无关
线性相关性 第三章 线性方程组 ◆ 如果向量组 𝜶𝟏 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 ⋮ 𝒂𝒏𝟏 , 𝜶𝟐 = 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋮ 𝒂𝒏𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔 = 𝒂𝟏𝒔 𝒂𝟐𝒔 ⋮ 𝒂𝒏𝒔 线性无关，则它们的延伸组 𝜷𝟏 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 ⋮ 𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒏+𝟏,𝟏 , 𝜷𝟐 = 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋮ 𝒂𝒏𝟐 𝒂𝒏+𝟏,𝟐 , ⋯ ,𝜷𝒔 = 𝒂𝟏𝒔 𝒂𝟐𝒔 ⋮ 𝒂𝒏𝒔 𝒂𝒏+𝟏,𝒔 也线性无关
线性相关性 第三章线性方程组 证明i 设k1B1+k2B2+.+ksBs=0,则 a11k1+a12k2+.+a1sks=0,1 a21k1+a22k2+.+a2sks=0, (1) F〔2) anik1+an2k2++ansks =0,] an+1,1k1+an+1,2k2+.+an+1,sks=0. 方程组(2)的向量表达式为 k11+k22+.+ksas=0 方程组(1)的解一定是方程组(2)的解，从而如果方程组(2)只有零解，则方程组(1) 也只有零解，（否则，如果方程组(1）有非零解，则方程组（②）也有非零解)，于是 a1,a2,.,Q,线性无关→方程组(2)只有零解→方程组(1)只有零解 →B1,B2,.,B线性无关
线性相关性 第三章 线性方程组 证明 设𝒌𝟏𝜷𝟏 + 𝒌𝟐𝜷𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒔𝜷𝒔 = 𝟎，则 𝟏 𝒂𝟏𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒔𝒌𝒔 = 𝟎, 𝒂𝟐𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒔𝒌𝒔 = 𝟎, ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝒏𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒔𝒌𝒔 = 𝟎, 𝒂𝒏+𝟏,𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝒏+𝟏,𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏+𝟏,𝒔𝒌𝒔 = 𝟎. 方程组(2)的向量表达式为 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒔𝜶𝒔 = 𝟎 方程组(1)的解一定是方程组(2)的解，从而如果方程组(2)只有零解，则方程组(1) 也只有零解，(否则，如果方程组(1)有非零解，则方程组(2)也有非零解)，于是 𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔线性无关⟹ 方程组(2)只有零解⟹ 方程组(1)只有零解 ⟹ 𝜷𝟏 , 𝜷𝟐 , ⋯ ,𝜷𝒔线性无关 2
线性相关性 第三章线性方程组 定理 如果向量组a1,a2,.,线性无关，而a1,Q2,.,a,B线性相关，则向量B 可以由向量组1,42，.，a线性表示，且表示法唯一. 证明先证β可以由a1,Q2,.,a线性表示.因为1，a2,.,a,B线性相关，所以存 在不全为零的数k1,k2,.,kg,k使得 k1a1+k2a2+.+ksas+kβ=0， 如果k=0,则k1,k2,.,k不全为零，且上式成为 k1a1+k202+.+ka3=0, 从而a1,a2,.,a,线性相关，与条件矛盾！所以k≠0，因此有 k1-元2一.-k9 即B可以由a1,2,.,C线性表示
线性相关性 第三章 线性方程组 定理 如果向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔线性无关，而𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒔 , 𝜷线性相关，则向量𝜷 可以由向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔线性表示，且表示法唯一. 证明 先证𝜷可以由𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔线性表示.因为𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔 ,𝜷线性相关，所以存 在不全为零的数𝒌𝟏 , 𝒌𝟐 ,⋯ , 𝒌𝒔 ,𝒌使得 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒔𝜶𝒔 + 𝒌𝜷 = 𝟎, 如果𝒌 = 𝟎，则𝒌𝟏 , 𝒌𝟐 ,⋯ , 𝒌𝒔不全为零，且上式成为 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒔𝜶𝒔 = 𝟎, 从而𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔线性相关，与条件矛盾！所以𝒌 ≠ 𝟎，因此有 𝜷 = − 𝒌𝟏 𝒌 𝜶𝟏 − 𝒌𝟐 𝒌 𝜶𝟐 − ⋯ − 𝒌𝒔 𝒌 𝜶𝒔 , 即𝜷可以由𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔线性表示
线性相关性 第三章线性方程组 定理如果向量组a1,Q2,.,a,线性无关，而a1Q2,.,C,B线性相关，则向量B 可以由向量组1，Q2,.,Q心，线性表示，且表示法唯一. 证明再证唯一性.设 B=111+2a2+.+1sas, B=u11+202+.+sCs 两式相减得 (21-1)a1+(22-2)a2+.+(2s-4s)a=0. 因为a1,a2,.,4,线性无关，所以 1-u1=2-2=.=s-Ls=0, 即入1=山1,2=2，.，3=4故表示法唯一
线性相关性 第三章 线性方程组 定理 如果向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔线性无关，而𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒔 , 𝜷线性相关，则向量𝜷 可以由向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔线性表示，且表示法唯一. 证明 再证唯一性.设 𝜷 = 𝝀𝟏𝜶𝟏 + 𝝀𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝝀𝒔𝜶𝒔 , 𝜷 = 𝝁𝟏𝜶𝟏 + 𝝁𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝝁𝒔𝜶𝒔 . 两式相减得 𝝀𝟏 − 𝝁𝟏 𝜶𝟏 + 𝝀𝟐 − 𝝁𝟐 𝜶𝟐 + ⋯ + 𝝀𝒔 − 𝝁𝒔 𝜶𝒔 = 𝟎. 因为𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔线性无关，所以 𝝀𝟏 − 𝝁𝟏 = 𝝀𝟐 − 𝝁𝟐 = ⋯ = 𝝀𝒔 − 𝝁𝒔 = 𝟎, 即𝝀𝟏 = 𝝁𝟏 , 𝝀𝟐 = 𝝁𝟐 , ⋯ , 𝝀𝒔 = 𝝁𝒔 .故表示法唯一