高等代数 非齐次线性方程组解的结构
高等代数 非齐次线性方程组解的结构
非齐次线性方程组解的结构 第三章线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组解的结构
非齐次线性方程组解的结构 第三章 线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组解的结构
一、非齐次线性方程组解的性质 第三章线性方程组 非齐次线性方程组 a11x1+a12x2 +.ainxn =bi a21x1+a22x2+.+a2nxn=b2, (1) asix1+as2x2+.+asnxn =bs. 对应的齐次线性方程组 a11x1+a12x2+.+a1nxn=0, a21X1+a22X2+.+a2nXn=0, (2) as1x1+as2x2 +asnxn 0. 方程组(2)称为方程组(1)的导出组
一、非齐次线性方程组解的性质 第三章 线性方程组 非齐次线性方程组 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝟏 , 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝟐 , ⋯ ⋯ 𝒂𝒔𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒔𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒔𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝒔 . (1) 对应的齐次线性方程组 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝟎, 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝟎, ⋯ ⋯ 𝒂𝒔𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒔𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒔𝒏𝒙𝒏 = 𝟎. (2) 方程组(2)称为方程组(1)的导出组
一、非齐次线性方程组解的性质 第三章线性方程组 性质1方程组(1)的两个解的差是它的导出组(2)的一个解 X1 y1 证明 设 X2 和 y2 : 是方程组（①）的两个解，则 ailx1 ai2x2+.+ainxn =bi aiy1 ai2y2 +.ainyn bi (i=1,2,.,S 两式相减，得 ai(x1-y1)+ai2(x2-y2)+.+ain(Xn -yn)=0 (i=1,2,.,S) x1-y1 说明 X2-y2 : 是方程组(2)的一个解 Xn-yn
一、非齐次线性方程组解的性质 第三章 线性方程组 性质1 方程组(1)的两个解的差是它的导出组(2)的一个解. 证明 设 𝒙𝟏 𝒙𝟐 ⋮ 𝒙𝒏 和 𝒚𝟏 𝒚𝟐 ⋮ 𝒚𝒏 是方程组(1)的两个解，则 𝒂𝒊𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒊𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒊𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝒊 , 𝒂𝒊𝟏𝒚𝟏 + 𝒂𝒊𝟐𝒚𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒊𝒏𝒚𝒏 = 𝒃𝒊 (𝒊 = 𝟏,𝟐,⋯ , 𝒔) 两式相减，得 𝒂𝒊𝟏(𝒙𝟏 − 𝒚𝟏 ) + 𝒂𝒊𝟐(𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 ) + ⋯ + 𝒂𝒊𝒏(𝒙𝒏 − 𝒚𝒏) = 𝟎 (𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝒔) 说明 𝒙𝟏 − 𝒚𝟏 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 ⋮ 𝒙𝒏 − 𝒚𝒏 是方程组(2)的一个解
一、非齐次线性方程组解的性质 第三章线性方程组 性质1方程组(1)的两个解的差是它的导出组(2)的一个解 性质2 方程组(1)的一个解和它的导出组(2)的一个解的和还是方程组 ()的一个解
一、非齐次线性方程组解的性质 第三章 线性方程组 性质1 方程组(1)的两个解的差是它的导出组(2)的一个解. 性质2 方程组(1)的一个解和它的导出组(2)的一个解的和还是方程组 (1)的一个解
非齐次线性方程组解的结构 第三章线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组解的结构
非齐次线性方程组解的结构 第三章 线性方程组 一、非齐次线性方程组解的性质 二、非齐次线性方程组解的结构
二、非齐次线性方程组解的结构 第三章线性方程组 定理设Y0是非齐次线性方程组(1)的一个特解，则方程组(1)的任何 一个解y都可以表示成y=Y0+n,其中n是其导出组(2)的一个解 证明首先 Y=Yo+(Y-Yo), 令n=y-Y0,则n就是其导出组(2)的一个解，且y=Y0+n ·对于任一特解yo,当)取遍导出组的全部解时，Yo+n就给出了非 齐次线性方程组()的全部解
二、非齐次线性方程组解的结构 第三章 线性方程组 定理 设𝜸𝟎是非齐次线性方程组(1)的一个特解，则方程组(1)的任何 一个解𝜸都可以表示成𝜸 = 𝜸𝟎 + 𝜼，其中𝜼是其导出组(2)的一个解. 证明 首先 𝜸 = 𝜸𝟎 + 𝜸 − 𝜸𝟎 , 令𝜼 = 𝜸 − 𝜸𝟎，则𝜼就是其导出组(2)的一个解，且𝜸 = 𝜸𝟎 + 𝜼. • 对于任一特解𝜸𝟎，当𝜼取遍导出组的全部解时，𝜸𝟎 + 𝜼就给出了非 齐次线性方程组(1)的全部解
二、非齐次线性方程组解的结构 第三章线性方程组 设y0是非齐次线性方程组(1)的任一特解，1,2，.，1n-r是导出组 (2)的一个基础解系，则 Y=Yo kin1+k2n2 +kn-rnn-r (k1,k2,.,kn-r为任意数) 称为非齐次线性方程组(1)的通解
二、非齐次线性方程组解的结构 第三章 线性方程组 • 设𝜸𝟎是非齐次线性方程组(1)的任一特解，𝜼𝟏, 𝜼𝟐, ⋯ , 𝜼𝒏−𝒓是导出组 (2)的一个基础解系，则 𝜸 = 𝜸𝟎 + 𝒌𝟏𝜼𝟏 + 𝒌𝟐𝜼𝟐 + ⋯ 𝒌𝒏−𝒓𝜼𝒏−𝒓 𝒌𝟏, 𝒌𝟐, ⋯ , 𝒌𝒏−𝒓为任意数 称为非齐次线性方程组(1)的通解
二、非齐次线性方程组解的结构 第三章线性方程组 例求非齐次线性方程组 x1-2x2+X3-x4+X5=1, 2x1+x2-X3+2x4-3x5=2, 3x1-2x2-X3+X4-2x5=2, 2x1-5x2+x3-2x4+2x5=1, 的通解. 解对增广矩阵作初等行变换，化到行最简形 1-2 1 -1 1 1 A= 232 1 -1 -1 21 -5 1 -2 22 221
二、非齐次线性方程组解的结构 第三章 线性方程组 例 求非齐次线性方程组 𝒙𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 − 𝒙𝟒 + 𝒙𝟓 = 𝟏, 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟓 = 𝟐, 𝟑𝒙𝟏 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟓 = 𝟐, 𝟐𝒙𝟏 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟓 = 𝟏, 的通解. 解 对增广矩阵作初等行变换，化到行最简形 𝑨ഥ = 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 −𝟐 𝟏 −𝟐 −𝟓 𝟏 −𝟏 −𝟏 𝟏 −𝟏 𝟐 𝟏 −𝟐 𝟏 −𝟑 −𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏
二、非齐次线性方程组解的结构 第三章线性方程组 解对增广矩阵作初等行变换，化到行最简形 1 7 1 0 0 2 8 98 1 010 5 385 0 0 1 2 80 0 00 0 0/ 所以原方程组的一般解为 1 7 X1= 之x4天 X5, 8 X2 38 8 58 、ZxA+ + 2 Xs
二、非齐次线性方程组解的结构 第三章 线性方程组 解 对增广矩阵作初等行变换，化到行最简形 ⟶ 𝟏 𝟎 𝟎 − 𝟏 𝟐 − 𝟕 𝟖 𝟗 𝟖 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 − 𝟓 𝟖 𝟑 𝟖 𝟎 𝟎 𝟏 − 𝟏 𝟐 𝟓 𝟖 𝟓 𝟖 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 所以原方程组的一般解为 𝒙𝟏 = 𝟗 𝟖 + 𝟏 𝟐 𝒙𝟒 + 𝟕 𝟖 𝒙𝟓 , 𝒙𝟐 = 𝟑 𝟖 − 𝟏 𝟐 𝒙𝟒 + 𝟓 𝟖 𝒙𝟓 , 𝒙𝟑 = 𝟓 𝟖 + 𝟏 𝟐 𝒙𝟒 − 𝟓 𝟖 𝒙𝟓