山求濯工大深 6.8 线性空间的同构
6.8 线性空间的同构
山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、引入 设e1,e2,.,en是线性空间V的一组基，那么对Ha∈V,都有 a=X1e1+X2e2+.+xne 坐标(x1,x2,.,xn)∈Pn是唯一的.因此可以建立映射： 册→ B(招.中 这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间 V到Pn的一个双射
一、引入 ᵰ:ᵰ⟶ᵰᵰ 这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间 ᵰ↦(ᵰ1,ᵰ2, ⋯ ᵰ,ᵰ) 因此可以建立映射：
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 设 a=x1e1+X2e2+.+Xnen: B=y181 +y282++ynEn. 即向量，B的坐标分别是(x1,x2,.,xn),(y1,y2,.,) 那么a+阝=(x1+y1)e1+(x2+y2)2+.+(xn+yn)en, ka kx181+kx282+.+kxnEn. 于是向量a+B,k心的坐标分别是 (里+安+.日月 =(x1,x2,.,xn)+(y1,y2,.,yn) (kx1,kx2,.,kxn)=k(x1,x2,.,xn)
设 那么 (ᵰ1 + ᵰ1,ᵰ2 + ᵰ2,⋯ ,ᵰᵰ+ ᵰᵰ)
山东理王大家 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以 归结为它们坐标的运算.因而线性空间V的讨论也就可以归 结为Pn的讨论 册→色 B(.月 B→(y1,y2,.,yn) a+B→(x1,x2,.,xn)+(y1,y2,.,yn) kC→k(x1,x2,.,xn)
以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以 归结为它们坐标的运算. ᵰ:ᵰ⟶ᵰᵰ ᵰ↦(ᵰ1,ᵰ2, ⋯ ,ᵰᵰ)
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、定义 定义1数域P上两个线性空间V与V'称为同构的，如果 由V到V'有一个双射o,具有以下性质： 1)(a+β)=o(a)+o(β)； 2)o(k)=ko(a). 其中，B是V中任意向量，k是P中任意数 这样的映射σ称为同构映射， ·数域P上任一个维线性空间都与Pn同构
二、定义
G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 三、同构映射的性质 由定义可以看出，同构映射具有下列基本性质 1.σ(0)=0,0(-a)=-() 2.o(k11+k22+.+k,r) =k10(a1)+k2o(2)+.+kro(Cr). 3.V中向量组心1，心2，.，Cr线性相关的充分必要条件是， 它们的像0(a1),0(a2),.,0(r)线性相关. ·同构的线性空间有相同的维数
三、同构映射的性质 由定义可以看出, 同构映射具有下列基本性质 : • 同构的线性空间有相同的维数
加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 4.如果V1是V的一个线性子空问，那么.，V1在0下的 像集合 佃={E} 是σ(V)的子空问，并且V1与o(V1)维数相同. 5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射， 。同构映射具有反身性、对称性和传递性
ᵰ(ᵰ1) = { ᵰ(ᵰ) | ᵰ∈ ᵰ1 } 5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射. • 同构映射具有反身性、对称性和传递性
山东理子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 四、同构的充分必要条件 定理1数域P上两个有限维线性空问同构的充分必要条 件是它们有相同的维数. 在线性空间的抽象讨论中，我们并没有考虑线性空间的 元素是什么，也没有考虑其中运算是怎样定义的，而只涉及 线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来， 同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了， 维数是有限维线性空间的唯一本质特征
四、同构的充分必要条件 件是它们有相同的维数. 在线性空间的抽象讨论中，我们并没有考虑线性空间的 元素是什么，也没有考虑其中运算是怎样定义的，而只涉及 线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来， 同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理 12 说明了， 维数是有限维线性空间的唯一本质特征
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 特别地，每一数域P上几维线性空问都与元数 组所成的空间P同构，而同构的空间有相同的性质.由 此可知，我们以前所得到的关于元数组的一些结论， 在一般的线性空间中也是成立的，而不必要一一重新证 明
归求理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1P[x]3与P3同构，其同构映射为 (a0+a1x+a2x2)=(a0,a1,a2). 例2设V是全体复数在实数域R上构成的线性空问， 则V与R2同构.其同构映射为 o(a ib)=(a,b). 例3数域P上的空间P2×2与P4同构.其同构映射为
其同构映射为