山东理工大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 62线性空间的定义 与简单性质
6.2 线性空间的定义 与简单性质
G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、引入 线性空间是线性代数最基本的概念之一.这一 节我们来介绍它的定义，并讨论它的一些最简单的 性质.线性空间也是我们碰到的第一个抽象的概念， 为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟 知的例子
一、引入 线性空间是线性代数最基本的概念之一. 这一 节我们来介绍它的定义，并讨论它的一些最简单的 性质. 线性空间也是我们碰到的第一个抽象的概念, 为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟 知的例子
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量. 向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以 与实数作数量乘法。并且这些运算满足一定的运算性质 我们知道，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量 的这两种运算来描述的
例 1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量. 向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以 与实数作数量乘法. 我们知道，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量 的这两种运算来描述的. 并且这些运算满足一定的运算性质
山东理王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2为了解线性方程组，我们讨论过以几元有序数组 (a1,a2,.,an)作为元素的n维向量空间. 对于它们，也有加法和数量乘法，那就是 (a1,a2,.,an)+(b1,b2,.,bn) =（a1+b1,a2+b2,.,an+bn), k(a1,a2,.,an)=(ka,ka2,.,kan)
例 2 为了解线性方程组，我们讨论过以 𝑛 元有序数组 (𝑎1 , 𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑛)作为元素的 𝑛 维向量空间. 对于它们，也有加法和数量乘法，那就是 𝑎1 , 𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑛 + ( 𝑏1 , 𝑏2 , . , 𝑏𝑛 ) = ( 𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , ⋯ , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ) , 𝑘 𝑎1 , 𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑛 = (𝑘𝑎1 , 𝑘𝑎2 , ⋯ , 𝑘𝑎𝑛)
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例3对于函数，也可以定义加法和函数与实数的 数量乘法， 譬如说，考虑全体定义在区问[a,b]上的连续函数. 我们知道，连续函数的和是连续函数，连续函数与 实数的数量乘积还是连续函数
例 3 对于函数，也可以定义加法和函数与实数的 数量乘法. 譬如说，考虑全体定义在区间[𝑎, 𝑏]上的连续函数. 我们知道，连续函数的和是连续函数，连续函数与 实数的数量乘积还是连续函数
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、定义 定义6设V是一个非空集合，P是一个数域.在集合V的 元素之问定义了一种代数运算，叫做加法：这就是说，给 出了一个法则，对于V中任意两个元素与B,在V中都 有难一的一个元素y与它们对应，称为与B的和，记为 Y=a+B
二、定义 定义 6 设 𝑉 是一个非空集合 , 𝑃 是一个数域.在集合 𝑉 的 元素之间定义了一种代数运算，叫做加法：这就是说，给 出了一个法则，对于 𝑉 中任意两个元素 与 ，在 𝑉中都 有唯一的一个元素 与它们对应，称为 与 的和，记为 = +
山东理工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量 乘法：这就是说，对于数域P中任一数k与V中任一元素0， 在V中都有唯一的一个元素6与它们对应，称为k与的数 量乘积，记作6=k,如果加法与数量乘法满足下述规则，那 么V称为数域P上的线性空间
在数域 𝑃 与集合 𝑉 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量 乘法：这就是说，对于数域 𝑃 中任一数 𝑘 与𝑉 中任一元素 ， 在 𝑉 中都有唯一的一个元素 与它们对应，称为 𝑘 与 的数 量乘积，记作𝛿 = 𝑘𝛼 . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那 么 𝑉 称为数域 𝑃 上的线性空间
G 山东理王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 加法满足下面四条规则： 1)a+B=B+a; 2)(a+B)+y=a+(B+y); 3)在V中有一个元素0，对于V中任一元素α都有 +0=0（具有这个性质的元素0称为V的零元素)； 4)对于V中每一个元素0，都有V中的元素B,使得 a+B=0(B称为a的负元素)
加法满足下面四条规则： 1) + = + ； 2) ( + ) + = + ( + )； 3) 在 𝑉 中有一个元素 0，对于 𝑉 中任一元素 都有 + 0 = (具有这个性质的元素 0 称为 𝑉 的零元素) ； 4) 对于 𝑉 中每一个元素 ，都有 𝑉 中的元素 ，使得 + = 0 ( 称为 的负元素)
加东翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 数量乘法满足下面两条规则： 5)1a=a; 6)k(la)=(kl)a. 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7)(k+l)a=ka+la; 8)k(a+B)=ka+kB
数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 = ； 6) 𝑘( 𝑙 ) = ( 𝑘𝑙 ) . 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) ( 𝑘 + 𝑙 ) = 𝑘 + 𝑙 ; 8) 𝑘( + ) = 𝑘 + 𝑘
山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上 的线性空间. 分量属于数域P的全体元数组构成数域P上的 一个线性空间，这个线性空间我们用P来表示. ·闭区间[，b]上全体连续函数构成R上线性空间，记 作C[a,b]
• 几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上 的线性空间. • 分量属于数域 𝑃 的全体 𝑛元数组构成数域 𝑃 上的 一个线性空间，这个线性空间我们用 𝑃𝑛 来表示. • 闭区间[𝑎, 𝑏]上全体连续函数构成ℝ上线性空间，记 作𝐶 𝑎, 𝑏