高等代数 线性方程组解的判定
高等代数 线性方程组解的判定
线性方程组解的判定 第三章线性方程组 定理线性方程组 a11x1+a12x2 ++ainxn bi a21x1+a22x2+.+a2nxn=b2, (1) as1x1+as2x2+.+asnxn bs 有解的充分必要条件是它的系数矩阵A和增广矩阵A有相同的秩！ 证明将方程组(1)的增广矩阵的列向量分别记为a心1Q2,.,B,则()可以表 示为 k1a1+k2a2+.+kncn=B. 从而方程组(1)有解的充分必要条件为B可以由a1,a2,.,an线性表示
线性方程组解的判定 第三章 线性方程组 定理 线性方程组 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝟏 , 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝟐 , ⋯ ⋯ 𝒂𝒔𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒔𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒔𝒏𝒙𝒏 = 𝒃𝒔 （1） 有解的充分必要条件是它的系数矩阵𝑨和增广矩阵𝑨ഥ有相同的秩. 证明 将方程组(1)的增广矩阵的列向量分别记为𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒏, 𝜷，则(1)可以表 示为 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒏𝜶𝒏 = 𝜷. 从而方程组(1)有解的充分必要条件为𝜷可以由𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒏线性表示
线性方程组解的判定 第三章线性方程组 证明必要性如果方程组(1)有解，则向量B可以由a1,Q2,.,Qn线性表示. 由此向量组a1,a2,.,0n与向量组a1,a42,.,a,B等价，因而有相同的秩.而这 两个向量组分别是矩阵A和A的列向量组，因此R(A)=R(④， 充分性设R(A)=R(A=T,则R{a1,a2,.,an}=R{a1,2,.,}=r 不妨设1，Q2,.,ar是1，Q2,.,an的一个极大线性无关组，显然a1,2,a, 也是向量组a1,2,.,n,B的一个极大线性无关组，从而向量组c1a2,.,Qn 与向量组a1a2,.,aB等价，B可以由a1,a2,.,an线性表示，因此方程组(1) 有解
线性方程组解的判定 第三章 线性方程组 证明 必要性 如果方程组(1)有解，则向量𝜷可以由𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒏线性表示. 由此向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒏与向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒏,𝜷等价，因而有相同的秩.而这 两个向量组分别是矩阵𝑨和𝑨ഥ的列向量组，因此𝑹 𝑨 = 𝑹 𝑨 . 充分性 设𝑹 𝑨 = 𝑹 𝑨 = 𝒓，则𝑹{𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒏}= 𝑹{𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒏, 𝜷} = 𝒓. 不妨设𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒓是𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒏的一个极大线性无关组，显然𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒓 也是向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒏, 𝜷的一个极大线性无关组，从而向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒏 与向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒏, 𝜷等价，𝜷可以由𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒏线性表示，因此方程组(1) 有解
线性方程组解的判定 第三章线性方程组 方程组(1)无解→R(A)≠R(A; 方程组(1)有唯一解台R(A)=R(A=n; 方程组(1)有无穷解台R(A)=R(A<n. ·对齐次线性方程组，系数矩阵与增广矩阵的秩一定相等，所有肯 定有解，那么， 当且仅当R(A)=n时，方程组只有零解； 当且仅当R(A)<n时，方程组有非零解
线性方程组解的判定 第三章 线性方程组 • 方程组(1)无解⟺ 𝑹 𝑨 ≠ 𝑹 𝑨 ； 方程组(1)有唯一解⟺ 𝑹 𝑨 = 𝑹 𝑨 = 𝒏; 方程组(1)有无穷解⟺ 𝑹 𝑨 = 𝑹 𝑨 < 𝒏. • 对齐次线性方程组，系数矩阵与增广矩阵的秩一定相等，所有肯 定有解，那么， 当且仅当𝑹 𝑨 = 𝒏时，方程组只有零解； 当且仅当𝑹 𝑨 < 𝒏时，方程组有非零解
线性方程组解的判定 第三章线性方程组 例判断当取何值时，方程组 1x1+X2+x3=1, x1+1x2+X3=λ， x1+x2+1x3=12 无解？有唯一解？有无穷解？ 解法一对方程组的增广矩阵作初等行变换 λ111 1 1λ2 A= 1 → 1 1λ 1 12 1 11 1 1 2 → 0 λ-1 1-λ 1-2 01-λ1-12 1-3/
线性方程组解的判定 第三章 线性方程组 例 判断当𝝀取何值时，方程组 ൞ 𝝀𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟏, 𝒙𝟏 + 𝝀𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝝀, 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝝀𝒙𝟑 = 𝝀 𝟐 . 无解？有唯一解？有无穷解？ 解法一 对方程组的增广矩阵作初等行变换 𝑨ഥ = 𝝀 𝟏 𝟏 𝟏 𝝀 𝟏 𝟏 𝟏 𝝀 𝟏 𝝀 𝝀 𝟐 ⟶ 𝟏 𝟏 𝝀 𝟏 𝝀 𝟏 𝝀 𝟏 𝟏 𝝀 𝟐 𝝀 𝟏 ⟶ 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝝀 − 𝟏 𝟏 − 𝝀 𝝀 𝟏 − 𝝀 𝟏 − 𝝀 𝟐 𝝀 𝟐 𝝀 − 𝝀 𝟐 𝟏 − 𝝀 𝟑
线性方程组解的判定 第三章线性方程组 解法一对方程组的增广矩阵作初等行变换 11 λ 12 A→ 0λ-1 1-λ 1-12 00 (1-1)(2+2)(2-1)2+1)2 (1)当(2-1)(2+2)=0，而(1-1)(2+1)2≠0，即1=-2时， R(A)=2,R(A=3,所以方程组无解； (2)当(1-1)(2+2)≠0，即1≠1且1≠-2时，R(A)=R(A=3 方程组有唯一解； (3)当(2-1)(2+2)=0，且(2-1)(1+1)2=0，即1=1时， R(A)=R(A=1<3,方程组有无穷解
线性方程组解的判定 第三章 线性方程组 解法一 对方程组的增广矩阵作初等行变换 𝑨ഥ ⟶ 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝝀 − 𝟏 𝟎 𝝀 𝟏 − 𝝀 (𝝀 − 𝟏)(𝝀 + 𝟐) 𝝀 𝟐 𝝀 − 𝝀 𝟐 (𝝀 − 𝟏)(𝝀 + 𝟏) 𝟐 (1)当 𝝀 − 𝟏 𝝀 + 𝟐 = 𝟎，而(𝝀 − 𝟏)(𝝀 + 𝟏) 𝟐 ≠ 𝟎，即𝝀 = −𝟐时， 𝑹 𝑨 = 𝟐，𝑹 𝑨 = 𝟑，所以方程组无解； (2)当 𝝀 − 𝟏 𝝀 + 𝟐 ≠ 𝟎，即𝝀 ≠ 𝟏且𝝀 ≠ −𝟐时，𝑹 𝑨 = 𝑹 𝑨 = 𝟑 方程组有唯一解； (3)当 𝝀 − 𝟏 𝝀 + 𝟐 = 𝟎，且(𝝀 − 𝟏)(𝝀 + 𝟏) 𝟐 = 𝟎 ，即𝝀 = 𝟏时， 𝑹 𝑨 = 𝑹 𝑨 = 𝟏 < 𝟑，方程组有无穷解
线性方程组解的判定 第三章线性方程组 例判断当取何值时，方程组 1x1+x2+X3=1, x1+入x2+X3=λ， x1+x2+1x3=λ2. 无解？有唯一解？有无穷解？ 解法二由克拉默法则，当系数行列式 λ11 元1=(+2)-1)2≠0 11λ 时，即2≠一2且入≠1时，方程组有唯一解
线性方程组解的判定 第三章 线性方程组 例 判断当𝝀取何值时，方程组 ൞ 𝝀𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟏, 𝒙𝟏 + 𝝀𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝝀, 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝝀𝒙𝟑 = 𝝀 𝟐 . 无解？有唯一解？有无穷解？ 解法二 由克拉默法则，当系数行列式 𝝀 𝟏 𝟏 𝟏 𝝀 𝟏 𝟏 𝟏 𝝀 = (𝝀 + 𝟐)(𝝀 − 𝟏) 𝟐≠ 𝟎 时，即𝝀 ≠ −𝟐且𝝀 ≠ 𝟏时，方程组有唯一解
线性方程组解的判定 第三章线性方程组 解法二 当2=-2时， 1 100 1 -2 4內 -2 -2 → -3 3 -6 1 -2 4 0 0 3 方程组无解； 当2=1时， 1 A= 方程组有无穷解；
线性方程组解的判定 第三章 线性方程组 解法二 当𝝀 = −𝟐时， 𝑨ഥ = −𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 −𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 −𝟐 𝟏 −𝟐 𝟒 ⟶ 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 −𝟑 𝟎 −𝟐 𝟑 𝟎 𝟒 −𝟔 𝟑 ， 方程组无解； 当𝝀 = 𝟏时， 𝑨ഥ = 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ⟶ 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 ， 方程组有无穷解；
线性方程组解的判定 第三章线性方程组 。 解法一适用于所有的方程组，但是只能对增广矩阵做初等行变换， 这个过程比较难，而且最终的分情况讨论也不容易掌握，容易漏掉 一些情况或者对某些情况重复讨论
线性方程组解的判定 第三章 线性方程组 • 解法一适用于所有的方程组，但是只能对增广矩阵做初等行变换， 这个过程比较难，而且最终的分情况讨论也不容易掌握，容易漏掉 一些情况或者对某些情况重复讨论
线性方程组解的判定 第三章线性方程组 ·解法二比较容易掌握，计算行列式可以做行变换也可以做列变换， 一般来说行列式不等于零已经包含了绝大多数情况，等于零的情况 只有有限个，分情况讨论很方便，而且此时的增广矩阵已经是数字 矩阵，比较容易化简.但是这种方法依赖于克拉默法则，有很大的 局限性，当方程的个数与未知量的个数不相等，或者系数行列式的 取值与参数无关时，这种方法就不适用了
线性方程组解的判定 第三章 线性方程组 • 解法二比较容易掌握，计算行列式可以做行变换也可以做列变换， 一般来说行列式不等于零已经包含了绝大多数情况，等于零的情况 只有有限个，分情况讨论很方便，而且此时的增广矩阵已经是数字 矩阵，比较容易化简.但是这种方法依赖于克拉默法则，有很大的 局限性，当方程的个数与未知量的个数不相等，或者系数行列式的 取值与参数无关时，这种方法就不适用了