高等代数 线性相关性
高等代数 线性相关性
线性相关性 第三章线性方程组 三维几何空间： ·,可以表示空间中任何一个向量， a=xi+yj+zk 将空间中的向量与代数中的点(x,y,z)建立一一对应关系 ·,线性无关
线性相关性 第三章 线性方程组 三维几何空间： • 𝒊, 𝒋, 𝒌可以表示空间中任何一个向量， 𝜶 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌 将空间中的向量与代数中的点(𝒙, 𝒚, 𝒛)建立一一对应关系 • 𝒊, 𝒋, 𝒌线性无关
线性相关性 第三章线性方程组 定义若向量组a1,Q2,.,a的一个部分组a22.,Q,满足： (1)22,a,线性无关； (2)1,2,.,0a,中每一个向量都可以由部分组a242.,线性表示， 则称此部分组α12，a12.,a,是原向量组的一个极大线性无关组. ·线性无关性是为了保证极大线性无关组中没有多余的向量. 如果1212，a,线性相关的话，不妨设，可以由a12,2,-1线性表示， 那么1,2，.，就可以由更少的向量C2C2.,-1线性表示
线性相关性 第三章 线性方程组 定义 若向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒔的一个部分组𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒊𝒓满足： （1）𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒊𝒓线性无关； （2）𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔中每一个向量都可以由部分组𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒊𝒓线性表示， 则称此部分组𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒊𝒓是原向量组的一个极大线性无关组. • 线性无关性是为了保证极大线性无关组中没有多余的向量. 如果𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒊𝒓线性相关的话，不妨设𝜶𝒊𝒓可以由𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒊𝒓−𝟏线性表示， 那么𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔就可以由更少的向量𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒊𝒓−𝟏线性表示
线性相关性 第三章线性方程组 定义 若向量组a41,2,.,a的-个部分组a1212.,0,满足： (1)12,2.,a,线性无关； (2)Q1,2,.,中每一个向量都可以由部分组Q2,2.,线性表示， 则称此部分组a122.,4,是原向量组的一个极大线性无关组. ·线性无关性是为了保证极大线性无关组中没有多余的向量. ”(2)'从1,2，.，a3的其余向量中（如果还有的话）再添加一个向量，所得部分 组a2a2.,线性相关.(2)'台(2) “=”如果a2a2.,a,a线性相关，而a2,2.,线性无关，所以g 一定可以由a2,a2.,线性表示，由j的任意性可证
线性相关性 第三章 线性方程组 定义 若向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒔的一个部分组𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒊𝒓满足： （1）𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒊𝒓线性无关； （2）𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔中每一个向量都可以由部分组𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒊𝒓线性表示， 则称此部分组𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒊𝒓是原向量组的一个极大线性无关组. • 线性无关性是为了保证极大线性无关组中没有多余的向量. • (𝟐) ′从𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒔的其余向量中(如果还有的话)再添加一个向量，所得部分 组𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒊𝒓 , 𝜶𝒋线性相关. (𝟐) ′⟺ (𝟐) “⟸”如果𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒊𝒓 , 𝜶𝒋线性相关，而𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒊𝒓线性无关，所以𝜶𝒋 一定可以由𝜶𝒊𝟐 , 𝜶𝒊𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒊𝒓线性表示，由𝒋的任意性可证
线性相关性 第三章线性方程组 ·一个线性无关向量组的极大线性无关组就是它本身. 例求α1=(1,0,0)，2=(0,1,0)，a3=(1,2,0)的一个极大线性无关组. 解 1,02线性无关，3=a1+2a2,a1a2是一个极大线性无关组； 同理，C1,3和a2,a3也是向量组的极大线性无关组. ·一个向量组的极大线性无关组可以是不唯一的 ·一个向量组和它的任意一个极大线性无关组等价。 ·同一个向量组的两个极大线性无关组等价：
线性相关性 第三章 线性方程组 • 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是它本身. 例 求𝜶𝟏 = 𝟏, 𝟎, 𝟎 ,𝜶𝟐 = 𝟎, 𝟏, 𝟎 ,𝜶𝟑 = (𝟏, 𝟐, 𝟎)的一个极大线性无关组. 解 𝜶𝟏 , 𝜶𝟐线性无关，𝜶𝟑 = 𝜶𝟏 + 𝟐𝜶𝟐，𝜶𝟏 , 𝜶𝟐是一个极大线性无关组； 同理，𝜶𝟏 ,𝜶𝟑和𝜶𝟐 , 𝜶𝟑也是向量组的极大线性无关组. • 一个向量组的极大线性无关组可以是不唯一的. • 一个向量组和它的任意一个极大线性无关组等价. • 同一个向量组的两个极大线性无关组等价
线性相关性 第三章线性方程组 定理如果向量组a1,a2,.,心可以由向量组B1,B2,.,B线性表示，且s>t, 则向量组1,2，·，a线性相关.（以少表多，多者线性相关). 证明设 1=a11B1+a12B2+.+a1tft a2=a21B1+a22 B2++aztB s=as1B1+as2β2+.+astBu 记向量组 Y1=(ai1a2,.,ait),i=1,2,.,S 由于s>t,Y1Y2,.,Y线性相关，因此存在不全为零的数k1,k2,.,ks,使得 k1Y1+k2Y2+.+ksYs=0
线性相关性 第三章 线性方程组 定理 如果向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔可以由向量组𝜷𝟏 ,𝜷𝟐 , ⋯ , 𝜷𝒕线性表示，且𝒔 > 𝒕， 则向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒔线性相关.（以少表多，多者线性相关）. 证明 设 𝜶𝟏＝𝒂𝟏𝟏𝜷𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝜷𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒕𝜷𝒕 , 𝜶𝟐＝𝒂𝟐𝟏𝜷𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝜷𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒕𝜷𝒕 , ⋯ ⋯ ⋯ 𝜶𝒔 ＝𝒂𝒔𝟏𝜷𝟏 + 𝒂𝒔𝟐 𝜷𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒔𝒕𝜷𝒕 , 记向量组 𝜸𝒊 = 𝒂𝒊𝟏 , 𝒂𝒊𝟐 , ⋯ , 𝒂𝒊𝒕 , 𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝒔 由于𝒔 > 𝒕，𝜸𝟏 , 𝜸𝟐 , ⋯ , 𝜸𝒔线性相关，因此存在不全为零的数𝒌𝟏 , 𝒌𝟐 ,⋯ , 𝒌𝒔，使得 𝒌𝟏𝜸𝟏 + 𝒌𝟐𝜸𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒔𝜸𝒔 = 𝟎
线性相关性 第三章线性方程组 定理如果向量组a1,a2,.,0心可以由向量组B1,B2,.,B线性表示，且s>t, 则向量组α1，a2,.,线性相关.（以少表多，多者线性相关） 证明即 a11k1+a21k2+.+as1kg=0, a12k1+a22k2+.+as2ks=0, aitk1+azk2 ++astks =0. 于是k1a1+k22+.+kss =k1(a11B1+a12B2+.+a1tBt)+k2(a21B1+a22β2+.+a2tβt) +.+ks(as1B1+as2B2+.+astβt) =(a11k1+a21k2+.+as1ks)B1+.+(a1tk1+a2tk2+.+astks)Bt =0. 1,2,.,a线性相关
线性相关性 第三章 线性方程组 定理 如果向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔可以由向量组𝜷𝟏 ,𝜷𝟐 , ⋯ , 𝜷𝒕线性表示，且𝒔 > 𝒕， 则向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒔线性相关.（以少表多，多者线性相关）. 证明 即 𝒂𝟏𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝟐𝟏𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒔𝟏𝒌𝒔 = 𝟎, 𝒂𝟏𝟐𝒌𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒔𝟐𝒌𝒔 = 𝟎, ⋯ ⋯ 𝒂𝟏𝒕𝒌𝟏 + 𝒂𝟐𝒕𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒔𝒕𝒌𝒔 = 𝟎. 于是 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒔𝜶𝒔 = 𝒌𝟏 𝒂𝟏𝟏𝜷𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 𝜷𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒕𝜷𝒕 + 𝒌𝟐 𝒂𝟐𝟏𝜷𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 𝜷𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒕𝜷𝒕 + ⋯ + 𝒌𝒔 (𝒂𝒔𝟏𝜷𝟏 + 𝒂𝒔𝟐 𝜷𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒔𝒕𝜷𝒕 ) = 𝒂𝟏𝟏𝒌𝟏 + 𝒂𝟐𝟏𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒔𝟏𝒌𝒔 𝜷𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒕𝒌𝟏 + 𝒂𝟐𝒕𝒌𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒔𝒕𝒌𝒔 𝜷𝒕 = 𝟎. 𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔线性相关
线性相关性 第三章线性方程组 定理如果向量组a1,Q2,.,C心3可以由向量组B1,B2,.,B线性表示，且s>t, 则向量组a1,2,.,a,线性相关.（以少表多，多者线性相关）. 推论1（逆否命题）如果向量组1,2，.，a可以由向量组B1,B2,.,B线性表示， 且a1a2,.,a,线性无关，则s≤t 推论2m个n(m>n)维向量必线性相关. 特别地，n+1个n维向量必线性相关。 推论3两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量. 证明 设向量组a1,Q2,a,与B1,B2,.,B等价，且都线性无关，由推论1， s≤t,且t≤S,所以s=t
线性相关性 第三章 线性方程组 定理 如果向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔可以由向量组𝜷𝟏 ,𝜷𝟐 , ⋯ , 𝜷𝒕线性表示，且𝒔 > 𝒕， 则向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒔线性相关.（以少表多，多者线性相关）. 推论1(逆否命题) 如果向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔可以由向量组𝜷𝟏 , 𝜷𝟐 ,⋯ , 𝜷𝒕线性表示， 且𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒔线性无关，则𝒔 ≤ 𝒕. 推论2 𝒎个𝒏(𝒎 > 𝒏)维向量必线性相关. 特别地，𝒏 + 𝟏个𝒏维向量必线性相关. 推论3 两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量． 证明 设向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒔与𝜷𝟏 ,𝜷𝟐 , ⋯ , 𝜷𝒕等价，且都线性无关，由推论1， 𝒔 ≤ 𝒕，且𝒕 ≤ 𝒔，所以𝒔 = 𝒕
线性相关性 第三章线性方程组 定理 一个向量组的任何两个极大线性无关向量组一定含有相同个数的向量 定义向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩， ·向量组1a2,.,C的秩为r,记作R{a1,2,.,a}=r ·向量组a1,a2,.,C,线性无关→R{a12,.,ag}=S. 向量组a1,a2,.,线性相关←台R{a1,2,.,a}<S
线性相关性 第三章 线性方程组 定理 一个向量组的任何两个极大线性无关向量组一定含有相同个数的向量． 定义 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. • 向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯, 𝜶𝒔的秩为𝒓，记作𝑹 𝜶𝟏 ,𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔 = 𝒓. • 向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔线性无关⟺𝑹 𝜶𝟏 ,𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔 = 𝒔. 向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔线性相关⟺𝑹 𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒔 < 𝒔
线性相关性 第三章线性方程组 定理 等价的向量组必有相同的秩， 证明设向量组a1,a2,.,a,与B1,B2,.,B等价，它们的秩分别为r1和r2, 不妨设它们的极大线性无关组分别为α1，a2,.,ar,和B1,B2,B2,则 1,2,.,0与1，C2,.,1等价，B1,B2,.,B与β1，B2,.,B2等价， 由等价的对称性和传递性，a1,a2,.,ar,与B1,B2,.,B,等价，且都线 性无关，所以r1=T2 ·定理的逆命题不成立 例如a1=(1,0)和a2=(0,1),都是秩为1的向量组，但显然不能互相线性表 示所以是不等价的
线性相关性 第三章 线性方程组 定理 等价的向量组必有相同的秩. 证明 设向量组𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 ,⋯ , 𝜶𝒔与𝜷𝟏 ,𝜷𝟐 , ⋯ , 𝜷𝒕等价，它们的秩分别为𝒓𝟏和𝒓𝟐， 不妨设它们的极大线性无关组分别为𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ ,𝜶𝒓𝟏和𝜷𝟏 ,𝜷𝟐 , ⋯ ,𝜷𝒓𝟐，则 𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒔与𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒓𝟏等价，𝜷𝟏 ,𝜷𝟐 , ⋯ , 𝜷𝒕与𝜷𝟏 , 𝜷𝟐 ,⋯ , 𝜷𝒓𝟐等价， 由等价的对称性和传递性，𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , ⋯ , 𝜶𝒓𝟏与𝜷𝟏 , 𝜷𝟐 ,⋯ , 𝜷𝒓𝟐等价，且都线 性无关，所以𝒓𝟏 = 𝒓𝟐 . • 定理的逆命题不成立. 例如 𝜶𝟏 = 𝟏, 𝟎 和𝜶𝟐 = 𝟎, 𝟏 ，都是秩为１的向量组，但显然不能互相线性表 示所以是不等价的．