高等代数 矩阵的秩
高等代数 矩阵的秩
矩阵的秩 第三章线性方程组 (一)矩阵的秩及其计算 (二)向量组的秩及其极大线性无关组的计算
矩阵的秩 第三章 线性方程组 （一）矩阵的秩及其计算 （二）向量组的秩及其极大线性无关组的计算
矩阵的秩 第三章线性方程组 (一)矩阵的秩及其计算 一、矩阵秩的定义 二、矩阵秩的等价命题 三、矩阵秩的计算
矩阵的秩 第三章 线性方程组 一、矩阵秩的定义 二、矩阵秩的等价命题 三、矩阵秩的计算 （一）矩阵的秩及其计算
一、 矩阵秩的定义 第三章线性方程组 011 a12 . ain 01 a21 2 A= a22 a2n 行向量组 as1 as2 asn as B1 B1 βn 列向量组 定义矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩；列向量组的秩称为 矩阵A的列秩」
一、矩阵秩的定义 第三章 线性方程组 𝑨 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟏 ⋮ 𝒂𝒔𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐 ⋮ 𝒂𝒔𝟐 ⋯ ⋯ ⋯ 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝟐𝒏 ⋮ 𝒂𝒔𝒏 𝜶𝟏 𝜶𝟐 ⋮ 𝜶𝒔 行向量组 𝜷𝟏 𝜷𝟏 ⋯ 𝜷𝒏 列向量组 定义 矩阵𝑨的行向量组的秩称为矩阵𝑨的行秩；列向量组的秩称为 矩阵𝑨的列秩
一、矩阵秩的定义 第三章线性方程组 1 1 3 1 例求矩阵A= 02 2 4 0 00 5 的行秩和列秩 0 0 0 解 将矩阵A的行向量组和列向量组分别记作C1,a2,03,4和B1,B2,B3,B4 因为行列式 1 1 1 0 2 4 ≠0 1005 所以它的行向量组线性无关，从而1，a2,Q3也线性无关，而ac1,a2,3,a4 线性相关，所以a,1,2,a3是矩阵A的行向量组的一个极大线性无关组，因此矩 阵A的行秩为3.同样可求得矩阵A的列秩也是3
一、矩阵秩的定义 第三章 线性方程组 例 求矩阵𝑨 = 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟎 𝟎 𝟑 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏 𝟒 𝟓 𝟎 的行秩和列秩. 解 将矩阵𝑨的行向量组和列向量组分别记作𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , 𝜶𝟑 , 𝜶𝟒和𝜷𝟏 , 𝜷𝟐 ,𝜷𝟑 ,𝜷𝟒 因为行列式 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟐 𝟒 𝟎 𝟎 𝟓 ≠ 𝟎 所以它的行向量组线性无关，从而𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , 𝜶𝟑也线性无关，而𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 , 𝜶𝟑 , 𝜶𝟒 线性相关，所以𝜶𝟏 , 𝜶𝟐 ,𝜶𝟑是矩阵𝑨的行向量组的一个极大线性无关组，因此矩 阵𝑨的行秩为3.同样可求得矩阵𝑨的列秩也是3
一、矩阵秩的定义 第三章线性方程组 引理如果齐次线性方程组 a11x1+a12X2+.+a1nxn=0, a21x1+a22X2+.+a2nxn=0, (1) as1x1+as2x2 ++asnxn =0 的系数矩阵A=(a)sxn的行秩r<n,那么它有非零解
一、矩阵秩的定义 第三章 线性方程组 引理 如果齐次线性方程组 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝟎, 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝟎, ⋯ ⋯ 𝒂𝒔𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒔𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒔𝒏𝒙𝒏 = 𝟎 （1） 的系数矩阵𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝒔×𝒏的行秩𝒓 < 𝒏，那么它有非零解
一、矩阵秩的定义 第三章线性方程组 证明记A的行向量组为α1，a2,.,因为它的秩为r,所以极大 线性无关组包含r个向量，不妨设前r个向量1,2，.，心，是它的一 个极大无关组，则向量组a1,a2,.,a,.a与Q1,2.,a等价， 从而方程组(1)和方程组 a11x1+a12x2+.+a1nxn=0, a21X1+a22x2+.+a2nxn=0, (2) arix1+ar2x2 +arnxn =0 同解，而方程组(2)有非零解，所以方程组(1)也有非零解
一、矩阵秩的定义 第三章 线性方程组 证明 记𝑨的行向量组为𝜶𝟏,𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔，因为它的秩为𝒓，所以极大 线性无关组包含𝒓个向量，不妨设前𝒓个向量𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒓是它的一 个极大无关组，则向量组𝜶𝟏,𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒓 , ⋯ 𝜶𝒔与𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒓等价， 从而方程组(1)和方程组 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝟎, 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝟎, ⋯ ⋯ 𝒂𝒓𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒓𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒓𝒏𝒙𝒏 = 𝟎 （2） 同解，而方程组(2)有非零解，所以方程组(1)也有非零解
一、矩阵秩的定义 第三章线性方程组 定理 矩阵的行秩与列秩相等 定义矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩 ·矩阵A的秩为r,记作R(A)=r. 如果A是s×n矩阵，则0≤R(A)≤min{s,n. ·R(A)=0的充分必要条件是A=0.(所有元素都是0的矩阵) 如果A是n×n矩阵，且R(A)=n,则称A是满秩的. R(A)=n台A的行（列）向量组线性无关台|A≠0. R(A)<n台A的行（列向量组线性相关台|A=0
一、矩阵秩的定义 第三章 线性方程组 定理 矩阵的行秩与列秩相等. 定义 矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩. • 矩阵𝑨的秩为𝒓，记作𝑹 𝑨 = 𝒓. • 如果𝑨是𝒔 × 𝒏矩阵，则𝟎 ≤ 𝑹(𝑨) ≤ min{𝒔, 𝒏}. • 𝑹 𝑨 = 𝟎的充分必要条件是𝑨 = 𝟎. (所有元素都是0的矩阵) • 如果𝑨是𝒏 × 𝒏矩阵，且𝑹 𝑨 = 𝒏，则称𝑨是满秩的. 𝑹 𝑨 = 𝒏 ⟺ 𝑨的行(列)向量组线性无关⟺ 𝑨 ≠ 𝟎. 𝑹 𝑨 < 𝒏 ⟺ 𝑨的行(列)向量组线性相关⟺ 𝑨 = 𝟎
一、矩阵秩的定义 第三章线性方程组 定理齐次线性方程组 a11x1+a12x2+.+a1nxn=0, a21x1+a22x2+.+a2nxn=0, (1) anix1+an2x2 +.annxn =O 有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵A的行列式A=0. 证明必要性是克拉默法则的推论 充分性|A=0,则R(A)<n,由引理，方程组(1)有非零解
一、矩阵秩的定义 第三章 线性方程组 定理 齐次线性方程组 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝟎, 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝟎, ⋯ ⋯ 𝒂𝒏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒏𝒙𝒏 = 𝟎 （1） 有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵𝑨的行列式 𝑨 = 𝟎. 证明 必要性是克拉默法则的推论. 充分性 𝑨 = 𝟎，则𝑹 𝑨 < 𝒏，由引理，方程组(1)有非零解
一、为 矩阵秩的定义 第三章线性方程组 一、矩阵秩的定义 二、矩阵秩的等价命题 三、矩阵秩的计算
一、矩阵秩的定义 第三章 线性方程组 一、矩阵秩的定义 二、矩阵秩的等价命题 三、矩阵秩的计算