三导丛书 高等代数 (北大·第三版) 导教·导学·导考 徐仲陆全张凯院 编 吕全义陈芳袁志杰 西北工业大学出版社
三导丛书 高 等 代 数 (北大·第三版) 导 教 · 导 学 · 导 考 徐 仲 陆 全 张凯院 吕全义 陈 芳 袁志杰 编 西北工业大学出版社
【内容简介们本书通过简明的理论介绍与方法总结，以及对大量有代表性的典型 例题进行分析、求解和评注，揭示了高等代数的解题方法与技巧。另外，书中给出了北大 筒等代数（第三版）教材中各章习题及补充题的解答；书末附录中提供了四套（四个学 期)考试真题及解答。编写本书的目的在于帮助读者把握教学、学习和考试要求，巩固和 加深对基本概念的理解，增强运算能力，提高分析问题、解决问题和应试能力。 本书可作为大学生学习高等代数课程的指导书，可供报考硕士研究生的读者以及有 关教师及科技工作者参考。 图书在版编目(CP)数据 高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考/徐仲等编.一西安： 西北工业大学出版社，20043 ISBN7-5612-1741-2 I.高.Ⅱ.徐.Ⅲ.高等代数-高等学校-教学参考资料 V.o15 中国版本图书馆CIP数据核字(2004)第008299号 出版发行：西北工业大学出版社 通信地址：西安市友谊西路127号邮编：710072电话：029-88493844 网 址：www .nwpup com 印刷者：陕西向阳印务有限公司 开 本：850mm×1168mmV32 印 张：19375 字 数：704千字 版 次：2004年3月第1版 2004年3月第1次印刷 印 数：1~8000册 名 价：2400元
【内容简介】 本 书通过 简明的 理 论 介 绍与 方 法 总 结 , 以 及 对 大 量有 代 表 性 的典 型 例题进 行分析 、求 解和 评注 , 揭 示了高 等代 数 的 解 题 方法 与 技 巧。 另 外 , 书 中 给 出 了北 大 《高 等代数》(第 三版 )教材 中 各章 习 题 及 补 充 题 的 解 答; 书 末 附录 中 提 供 了 四 套 ( 四 个 学 期) 考试真 题及 解答。 编写 本书的 目的 在于 帮 助读 者 把 握 教学 、学 习 和 考试 要 求 , 巩固 和 加深对 基本 概念的 理解 , 增 强运算 能力 , 提 高分析 问题 、解 决问题 和应 试能力 。 本 书可作 为大 学生学 习高 等代数 课程 的 指导 书 , 可 供 报考 硕 士 研 究生 的 读 者 以及 有 关教师 及科 技工作 者参考 。 图书在版编目(CIP)数据 高等代数(北大·第三版) 导教·导学·导考/ 徐仲等编 . —西安: 西北工业大学出版社,2004 .3 ISBN 7 5612 1741 2 Ⅰ . 高. Ⅱ . 徐. Ⅲ . 高等代数 高等学校 教学参考资料 Ⅳ . O15 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2004) 第 008299 号 出版发行 : 西北工业大学出版社 通信地址 : 西安市友谊西路 127 号 邮编 :710072 电话 :029 88493844 网 址 : www .nwpup .com 印 刷 者 : 陕西向阳印务有限公司 开 本 : 850 mm×1168 mm 1/ 32 印 张 : 19 .375 字 数 : 704 千字 版 次 : 2004 年 3 月第 1 版 2004 年 3 月第 1 次印刷 印 数 : 1～8000 册 定 价 : 24 .00 元
前 言 高等代数是数学专业的一门主干基础课程，它对 学生的抽象思维能力、逻辑推理能力的培养，以及后 继课程的学习起着非常重要的作用。但是，学生在学 习这门课程时普遍感到抽象，抓不住概念的实质，解 题更感困难，总结不出一般的思考方法。为帮助学生 消化课堂讲授的内容，加深对基础概念、基本理论的 理解，提高解题的技能与技巧，我们根据长期从事高 等代数教学的经验，编写了本书。 本书依照北京大学数学系几何与代数教研室编 《高等代数（第三版）的自然章编排，每章由以下六 部分内容组成。 一、内容提要一将相应章节的内容进行了简明 扼要的叙述、归纳和总结，部分内容列表直观地进行 了说明，特别是给出了一些主要计算方法的描述，以 加深读者对基本概念、公式、定理等重点内容的理解 和正确应用。 二、知识网络图一以框图的方式概括了本章的 知识结构，体系完整，一目了然。 三、重点、难点解读一对本章的知识重点与难 点进行了总结归纳
前 言 高等代数是数学专业的一门主干基础课程, 它对 学生的抽象思维能力、逻辑推理能力的培养, 以及后 继课程的学习起着非常重要的作用。但是, 学生在学 习这门课程时普遍感到抽象, 抓不住概念的实质, 解 题更感困难, 总结不出一般的思考方法。为帮助学生 消化课堂讲授的内容, 加深对基础概念、基本理论的 理解, 提高解题的技能与技巧, 我们根据长期从事高 等代数教学的经验, 编写了本书。 本书依照北京大学数学系几何与代数教研室编 《高等代数》 ( 第三版) 的自然章编排, 每章由以下六 部分内容组成。 一、内容提要———将相应章节的内容进行了简明 扼要的叙述、归纳和总结, 部分内容列表直观地进行 了说明, 特别是给出了一些主要计算方法的描述, 以 加深读者对基本概念、公式、定理等重点内容的理解 和正确应用。 二、知识网络图———以框图的方式概括了本章的 知识结构, 体系完整, 一目了然。 三、重点、难点解读———对本章的知识重点与难 点进行了总结归纳
2 高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考 四、典型例题解析一精选了高等代数中具有代表性的部分典 型例题，通过对典型例题的解题分析，归纳出高等代数中一些问题 的解决方法和技巧，使读者可以举一反三、触类旁通。对于那些需 要了解更多典型题的读者，可参阅作者编写的《理、工科线性代数 常见题型解析及模拟题（西北工业大学出版社，2002）一书，其 中按专题对大量典型题进行了分类求解，并给出了全部习题的简要 解答或分析过程。 五、课后习题全解一给出了《高等代数)》（北大·第三版） 各章习题及补充题的全部解答。由于高等代数中解题方法的多样 性，对于具有多种解法或答案的习题，一般只给出一种解法或 答案。 六、学习效果检测题及答案一根据教学内容精选了适量的检 测题，并附有答案和部分提示。读者可以通过这些测试题进一步掌 握解题要领，巩固和加深对基本概念的理解，增强解题的能力，检 验自己对所学知识的掌握程度。 为了帮助读者了解并适应课程考试，书末附录中提供了四套 (四个学期)考试真题及解答。 本书由徐仲、陆全主编，参加编写的还有张凯院、吕全义、陈 芳、袁志杰等。 由于作者水平所限，对于书中的不妥或疏漏之处，敬请读者 指正。 编者 2003年12月
四、典型例题解析———精选了高等代数中具有代表性的部分典 型例题, 通过对典型例题的解题分析, 归纳出高等代数中一些问题 的解决方法和技巧, 使读者可以举一反三、触类旁通。对于那些需 要了解更多典型题的读者, 可参阅作者编写的 《理、工科线性代数 常见题型解析及模拟题》 (西北工业大学出版社, 2002 ) 一书, 其 中按专题对大量典型题进行了分类求解, 并给出了全部习题的简要 解答或分析过程。 五、课后习题全解———给出了 《高等代数》 ( 北大·第三版) 各章习题及补充题的全部解答。由于高等代数中解题方法的多样 性, 对于具 有多种 解法或 答案 的习题, 一 般只给 出一 种解法 或 答案。 六、学习效果检测题及答案———根据教学内容精选了适量的检 测题, 并附有答案和部分提示。读者可以通过这些测试题进一步掌 握解题要领, 巩固和加深对基本概念的理解, 增强解题的能力, 检 验自己对所学知识的掌握程度。 为了帮助读者了解并适应课程考试, 书末附录中提供了四套 (四个学期) 考试真题及解答。 本书由徐仲、陆全主编, 参加编写的还有张凯院、吕全义、陈 芳、袁志杰等。 由于作者水平所限, 对于书中的不妥或疏漏之处, 敬请读者 指正。 编 者 2003 年 12 月 2 高 等代数 (北 大·第 三版 ) 导教 ·导学 ·导 考
目 录 第1章多项式.1 一、内容提要.1 二、知识网络图.15 三、重点、难点解读.16 四、典型例题解析 .16 五、课后习题全解.35 (一)第一章习题.35 (二)第一章补充题.61 六、学习效果检测题及答案.75 (一）检测题.75 (二)检测题答案.78 第2章行列式.83 一、内容提要.83 二、知识网络图.90 三、重点、难点解读.90 四、典型例题解析.91 五、课后习题全解. . 9 (一)第二章习题
目 录 第 1 章 多项式. 1 一、内容提要 . 1 二、知识网络图 . 15 三、重点、难点解读 . 16 四、典型例题解析 . 16 五、课后习题全解 . 35 ( 一) 第一章习题 . 35 ( 二) 第一章补充题 . 61 六、学习效果检测题及答案 . 75 ( 一) 检测题 . 75 ( 二) 检测题答案 . 78 第 2 章 行列式 . 83 一、内容提要 . 83 二、知识网络图 . 90 三、重点、难点解读 . 90 四、典型例题解析 . 91 五、课后习题全解 . 99 ( 一) 第二章习题 . 99 I
高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考 (二)第二章补充题.117 六、学习效果检测题及答案.127 (一）检测题. 127 (二)检测题答案.129 第3章线性方程组.13引 一、内容提要.131 二、知识网络图.141 三、重点、难点解读.141 四、典型例题解析.142 五、课后习题全解.159 (一）第三章习题. 159 (二)第三章补充题.185 六、学习效果检测题及答案.195 (一）检测题.195 (二)检测题答案.198 第4章矩阵.20 一、内容提要.201 二、知识网络图 211 三、重点、难点解读.212 四、典型例题解析.212 五、课后习题全解.224 (一)第四章习题.224 (二)第四章补充题. 252 六、学习效果检测题及答案.259 (一)检测题.259 (二)检测题答案.262
( 二) 第二章补充题 . 117 六、学习效果检测题及答案 . 127 ( 一) 检测题. 127 ( 二) 检测题答案. 129 第 3 章 线性方程组. 131 一、内容提要 . 131 二、知识网络图 . 141 三、重点、难点解读 . 141 四、典型例题解析 . 142 五、课后习题全解 . 159 ( 一) 第三章习题 . 159 ( 二) 第三章补充题 . 185 六、学习效果检测题及答案 . 195 ( 一) 检测题. 195 ( 二) 检测题答案. 198 第 4 章 矩阵. 201 一、内容提要 . 201 二、知识网络图 . 211 三、重点、难点解读 . 212 四、典型例题解析 . 212 五、课后习题全解 . 224 ( 一) 第四章习题 . 224 ( 二) 第四章补充题 . 252 六、学习效果检测题及答案 . 259 ( 一) 检测题. 259 ( 二) 检测题答案. 262 Ⅱ 高 等代数 (北 大·第 三版 ) 导教 ·导学 ·导 考
录 第5章二次型.268 一、内容提要.268 二、知识网络图.274 三、重点、难点解读.274 四、典型例题解析 275 五、课后习题全解.284 (一)第五章习题.284 (二)第五章补充题.302 六、学习效果检测题及答案.319 (一)检测题. 319 (二)检测题答案.320 第6章线性空间. 323 一、内容提要.323 二、知识网络图 331 三、重点、难点解读.332 四、典型例题解析.332 五、课后习题全解.346 （一）第六章习题.346 (二)第六章补充题. 362 六、学习效果检测题及答案.366 (一）检测题.366 (二)检测题答案.368 第7章线性变换. .376 一、内容提要.376 二、知识网络图.387
第 5 章 二次型. 268 一、内容提要 . 268 二、知识网络图 . 274 三、重点、难点解读 . 274 四、典型例题解析 . 275 五、课后习题全解 . 284 ( 一) 第五章习题 . 284 ( 二) 第五章补充题 . 302 六、学习效果检测题及答案 . 319 ( 一) 检测题. 319 ( 二) 检测题答案. 320 第 6 章 线性空间. 323 一、内容提要 . 323 二、知识网络图 . 331 三、重点、难点解读 . 332 四、典型例题解析 . 332 五、课后习题全解 . 346 ( 一) 第六章习题 . 346 ( 二) 第六章补充题 . 362 六、学习效果检测题及答案 . 366 ( 一) 检测题. 366 ( 二) 检测题答案. 368 第 7 章 线性变换. 376 一、内容提要 . 376 二、知识网络图 . 387 目 录 Ⅲ
高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考 三、重点、难点解读.387 四、典型例题解析.388 五、课后习题全解. 408 (一)第七章习题.408 (二)第七章补充题.433 六、学习效果检测题及答案.438 (一)检测题.438 (二)检测题答案. 442 第8章入一矩阵.45引 一、内容提要.451 二、知识网络图.458 三、重点、难点解读.458 四、典型例题解析.459 五、课后习题全解.472 (一）第八章习题.472 (二)第八章补充题.485 六、学习效果检测题及答案.486 (一）检测题.486 (二)检测题答案.488 第9章欧几里得空间.493 一、内容提要.493 二、知识网络图.501 三、重点、难点解读. 501 四、典型例题解析.502 五、课后习题全解.520 (一）第九章习题.520
三、重点、难点解读 . 387 四、典型例题解析 . 388 五、课后习题全解 . 408 ( 一) 第七章习题 . 408 ( 二) 第七章补充题 . 433 六、学习效果检测题及答案 . 438 ( 一) 检测题. 438 ( 二) 检测题答案. 442 第 8 章 λ 矩阵 . 451 一、内容提要 . 451 二、知识网络图 . 458 三、重点、难点解读 . 458 四、典型例题解析 . 459 五、课后习题全解 . 472 ( 一) 第八章习题 . 472 ( 二) 第八章补充题 . 485 六、学习效果检测题及答案 . 486 ( 一) 检测题. 486 ( 二) 检测题答案. 488 第 9 章 欧几里得空间. 493 一、内容提要 . 493 二、知识网络图 . 501 三、重点、难点解读 . 501 四、典型例题解析 . 502 五、课后习题全解 . 520 ( 一) 第九章习题 . 520 Ⅳ 高 等代数 (北 大·第 三版 ) 导教 ·导学 ·导 考
录 (二)第九章补充题.538 六、学习效果检测题及答案.544 (一)检测题.544 (二)检测题答案. .546 第10章双线性函数与辛空间.555 一、内容提要.555 二、知识网络图.561 三、重点、难点解读. 561 四、典型例题解析.561 五、课后习题全解.570 (一)第十章习题.570 六、学习效果检测题及答案.584 (一）检测题.584 (二)检测题答案.586 附录高等代数考试真题及解答.589 一、考试真题.589 A卷(I).589 A卷（Ⅱ）.59列 B卷(I）.592 B卷（）. 594 二、考试真题解答.595 A卷(I)解答.595 A卷()解答.599 B卷(I）解答.602 B卷（Ⅱ)解答.605
( 二) 第九章补充题 . 538 六、学习效果检测题及答案 . 544 ( 一) 检测题. 544 ( 二) 检测题答案. 546 第 10 章 双线性函数与辛空间 . 555 一、内容提要 . 555 二、知识网络图 . 561 三、重点、难点解读 . 561 四、典型例题解析 . 561 五、课后习题全解 . 570 ( 一) 第十章习题 . 570 六、学习效果检测题及答案 . 584 ( 一) 检测题. 584 ( 二) 检测题答案. 586 附录 高等代数考试真题及解答. 589 一、考试真题. 589 A 卷 (Ⅰ ) . 589 A 卷 (Ⅱ ) . 591 B 卷 (Ⅰ) . 592 B 卷 (Ⅱ) . 594 二、考试真题解答. 595 A 卷 (Ⅰ ) 解答 . 595 A 卷 (Ⅱ ) 解答 . 599 B 卷 (Ⅰ) 解答 . 602 B 卷 (Ⅱ) 解答 . 605 目 录 Ⅴ
第1章多项式 多项式理论是高等代数的重要内容之一虽然它在整个高等代数课程中是 一个相对独立而自成体系的部分，但却为高等代数所讲述的基本内容提供了理 论依据多项式理论中的一些重要定理和方法，在进一步学习数学理论和解决 实际问题时常要用到在中学阶段，对多项式的讨论主要着重于多项式的运算， 很少涉及多项式的其他理论因此，在学习本章时，要正确地掌握概念，学会严 谨地推导和计算 一、内容提要 1.数域 (1)设P是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果P中任意两个数的 和、差、积、商（除数不为零）仍是P中的数，则称P为一个数域 (2)定理任何数域都包含有理数域Q在有理数域Q与实数域R之间存 在无穷多个数域；在实数域R与复数域C之间不存在其他的数域， 2.一元多项式的概念和运算 (1)形式表达式 f(x)=anx”+a1x1+.+ax+a 称为数域P上文字x的一元多项式，其中，a,.,a,∈P,n是非负整数当 a≠0时，称多项式f八x)的次数为n,记为(f八x)=n(或deg(f(x)=n), 并称ax”为f(x)的首项，a为f八x)的首项系数.ax‘称为f(x)的i次项，a称 为八x)的i次项系数当=.=a=0,m≠0时，称多项式f八x)为零次 多项式，即(f(x)=0;当m=.==m=0时，称f(x)为零多项式，零 多项式是惟一不定义次数的多项式. (2)多项式可以进行加、减、乘运算，并有与整数相类似的性质
第 1 章 多 项 式 多项式理论是高等代数的重要内容之一 .虽然它在整个高等代数课程中是 一个相对独立而自成体系的部分, 但却为高等代数所讲述的基本内容提供了理 论依据 .多项式理论中的一些重要定理和方法 , 在进一步学习数学理论和解决 实际问题时常要用到 .在中学阶段 ,对多项式的讨论主要着重于多项式的运算 , 很少涉及多项式的其他理论 .因此 , 在学习本章时 , 要正确地掌握概念 , 学会严 谨地推导和计算 . 一、内 容 提 要 1. 数域 ( 1) 设 P是至少含有两个数 ( 或包含 0与 1) 的数集, 如果 P中任意两个数的 和、差、积、商( 除数不为零) 仍是 P 中的数 , 则称 P 为一个数域 . ( 2) 定理 任何数域都包含有理数域 Q .在有理数域 Q 与实数域 R 之间存 在无穷多个数域 ; 在实数域 R 与复数域 C 之间不存在其他的数域 . 2. 一元多项式的概念和运算 ( 1) 形式表达式 f ( x ) = an x n + an- 1 x n- 1 + . + a1 x + a0 称为数域 P 上文字 x 的一元多项式 , 其中 a0 , a1 , . , an ∈ P, n是非负整数 .当 an ≠ 0 时, 称多项式 f( x) 的次数为 n, 记为 ( f ( x ) ) = n( 或 deg( f ( x ) ) = n) , 并称 an x n 为 f ( x ) 的首项 , an 为 f ( x) 的首项系数 .ai x i 称为 f ( x) 的 i次项 , ai 称 为 f( x) 的 i 次项系数 .当 an = . = a1 = 0, a0 ≠ 0 时 ,称多项式 f( x) 为零次 多项式, 即 ( f ( x ) ) = 0 ;当 an = . = a1 = a0 = 0 时 , 称 f ( x ) 为零多项式, 零 多项式是惟一不定义次数的多项式 . ( 2) 多项式可以进行加、减、乘运算 ,并有与整数相类似的性质