也东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY §5.3唯一性 二次型标准形的唯一性讨论 在复数域上进一步讨论二次型的标准形 在实数域上进一步讨论二次型的标准形
§5.3 唯一性 二次型标准形的唯一性讨论 在复数域上进一步讨论二次型的标准形 在实数域上进一步讨论二次型的标准形
归东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、二次型的秩 定理1任意二次型f(x1,x2,.,xn)=XTAX都可以经过非退化线性替换 X=CY 变成标准形 2 2 2 d1y1"+d2y2+.+dnyn 定理2 对于任意的对称矩阵A,总存在可逆矩阵C,使得 CTAC=D- 因为C是可逆矩阵，所以 R(A)=R(CTAC)=R(D)=d1,d2,.,dn中不为零的数的个数 结论 标准形中系数不为零的平方项的个数是由R(A)唯一确定的，与所 作非退化线性替换无关，称A的秩为二次型的秩
一、二次型的秩 因为𝐶是可逆矩阵，所以 标准形中系数不为零的平方项的个数是由𝑅 𝐴 唯一确定的，与所 作非退化线性替换无关，称𝐴的秩为二次型的秩。 任意二次型𝑓 𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑋 𝑇𝐴𝑋都可以经过非退化线性替换 𝑋 = 𝐶𝑌 变成标准形 定理1 𝑑1𝑦1 2 + 𝑑2𝑦2 2 + ⋯ + 𝑑𝑛𝑦𝑛 2 𝑅 𝐴 = 𝑅 𝐶 𝑇𝐴𝐶 = 𝑅 𝐷 = 𝑑1, 𝑑2, ⋯ , 𝑑𝑛中不为零的数的个数 结论 对于任意的对称矩阵𝐴，总存在可逆矩阵𝐶，使得 𝐶 𝑇𝐴𝐶 = 𝐷 = 𝑑1 𝑑2 ⋱ 𝑑𝑛 定理2
也东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、在复数域上进一步讨论二次型的标准形 在复数域上，任意二次型f(x1,x2,Xn)=XTAX都可经过非退化线性替换 X=CY 变为标准形 d12+d222++dpy2,d≠0，i=12,r 2 2 (1) 中T令R(A), 1 y1=1 -Z1 1 y2=- =Z2 d (2) 。 1 yr= =Zr vd yr+1=Zr+1 。 yn =Zn (1) 2 2 2 卖为 Z1+22 +.+zr (3)
二、在复数域上进一步讨论二次型的标准形 在复数域上，任意二次型𝑓 𝑥1, 𝑥2, ⋯, 𝑥𝑛 = 𝑋 𝑇𝐴𝑋都可经过非退化线性替换 𝑋 = 𝐶𝑌 变为标准形 𝑑1𝑦1 2 + 𝑑2𝑦2 2 + ⋯ + 𝑑𝑟𝑦𝑟 2 , 𝑑𝑖≠ 0, 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑟. (1) 其中𝑟 = 𝑅(𝐴). 𝑦1 = 1 𝑑1 𝑧1 𝑦2 = 1 𝑑2 𝑧2 ⋯ ⋯ 𝑦𝑟 = 1 𝑑𝑟 𝑧𝑟 𝑦𝑟+1 = 𝑧𝑟+1 ⋯ ⋯ 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛 1 变为 𝑧1 2 + 𝑧2 2 + ⋯ + 𝑧𝑟 2 (2) 令 (3)
归东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY (3)称为复二次型f(x1,X2,.,xn)的规范形. 例1 已知复二次型f(x1X2,X3,X4)经过非退化线性替换化为标准形： 2y12+3y22-4y32 令 1 y1= 21 V2 1 y2= Z2 3 1 y3= Z3 V-4 y4=Z4 则二次型可化成规范形： 2 2 Z1 Z3
3 称为复二次型𝑓 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 的规范形. 𝑦1 = 1 2 𝑧1 𝑦2 = 1 3 𝑧2 𝑦3 = 1 −4 𝑧3 𝑦4 = 𝑧4 𝑧1 2 + 𝑧2 2 + 𝑧3 2 例1 已知复二次型𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 经过非退化线性替换化为标准形: 2𝑦1 2 + 3𝑦2 2 − 4𝑦3 2 令 则二次型可化成规范形：
也东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2 复二次型f(X1,X2,x3,x4)经过非退化线性替换化为标准形因 -3y12+5y22-2y42 1 y1=1 Z1 -3 1 y2= Z2 √5 1 y4= Z3 √-2 y3=Z4 则二次型化为规范形： 2 12 23
𝑦1 = 1 −3 𝑧1 𝑦2 = 1 5 𝑧2 𝑦4 = 1 −2 𝑧3 𝑦3 = 𝑧4 𝑧1 2 + 𝑧2 2 + 𝑧3 2 例2 复二次型𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 经过非退化线性替换化为标准形: −3𝑦1 2 + 5𝑦2 2 − 2𝑦4 2 令 则二次型化为规范形：
也东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 思考：复二次型的规范形是不是唯一的？ 结论 复二次型的规范形是唯一的，由二次型的秩决定， (1) 定理3 任意复二次型经过非退化的线性替换可以变为规范形， 并且规范形是唯一的. 例3 2 复二次型fx1,x2,x3)=x12+2x22+4x32-2x1x2+4x2x3 的规范形为 解 -1 1 -1 1 -1 2 24 00 1 0 1 2 4 0 0 0 则 R(A)=2 所求规范形为 2 21+z2
任意复二次型经过非退化的线性替换可以变为规范形， 并且规范形是唯一的. 思考：复二次型的规范形是不是唯一的？ 复二次型的规范形是唯一的，由二次型的秩决定. 𝐴 = 1 −1 0 −1 2 2 0 2 4 ՜ 1 0 0 −1 1 2 0 2 4 ՜ 1 0 0 −1 1 0 0 2 0 则 𝑧1 2 + 𝑧 2 . 结论 定理3 复二次型𝑓 𝑥1, 𝑥2,𝑥3 = 𝑥1 2 + 2𝑥2 2 + 4𝑥3 2 − 2𝑥1𝑥2 + 4𝑥2𝑥3 的规范形为 例3 解 𝑅 𝐴 = 2 所求规范形为 (1)
也东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY (2)定理51)任一复对称矩阵A都合同于形为 的对角矩阵，其中1的个数等于R(A). 3 两个n阶复对称矩阵A,B合同台R(A)=R(B) (4) 若把合同作为分类的依据，所有的几阶复对称矩阵可分为n+1类
定理5 1）任一复对称矩阵𝐴都合同于形为 1 ⋱ 1 0 ⋱ 0 的对角矩阵，其中1的个数等于𝑅 𝐴 . (2) (3) 两个𝑛阶复对称矩阵𝐴, 𝐵合同֞ 𝑅 𝐴 = 𝑅(𝐵) (4) 若把合同作为分类的依据，所有的𝑛阶复对称矩阵可分为𝑛 + 1类
归东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 三、在实数域上进一步讨论二次型的标准形 在实数域上，任意二次型f(x1,x2,.,xn)=XTAX都可经过非退化线性替换 X=CY 变成标准形 dy2+.+d%2-dp+1o12-d,y2d>0,i=12., 2 其中r(4R(A) 令 1 y1=- Z1 d 1 y2=斤 Z2 d2 (5) ”*。·。 1 yr=- Zr dr yr+1=Zr+1 0”** (4) yn =Zn 2 2 2 变为 z1+.十Z)-znt1.-Zr (6
三、在实数域上进一步讨论二次型的标准形 在实数域上，任意二次型𝑓 𝑥1, 𝑥2, ⋯, 𝑥𝑛 = 𝑋 𝑇𝐴𝑋都可经过非退化线性替换 𝑋 = 𝐶𝑌 变成标准形 𝑦1 = 1 𝑑1 𝑧1 𝑦2 = 1 𝑑2 𝑧2 ⋯ ⋯ 𝑦𝑟 = 1 𝑑𝑟 𝑧𝑟 𝑦𝑟+1 = 𝑧𝑟+1 ⋯ ⋯ 𝑦𝑛 = 𝑧𝑛 4 变为 𝑧1 2 + ⋯ + 𝑧𝑝 2 − 𝑧𝑝+1 2 ⋯ − 𝑧𝑟 2 (5) 𝑑1𝑦1 2 + ⋯ + 𝑑𝑝𝑦𝑝 2 − 𝑑𝑝+1𝑦𝑝+1 2 − ⋯ − 𝑑𝑟𝑦𝑟 2 , 𝑑𝑖> 0, 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑟. 其中 (4) 𝑟 = 𝑅(𝐴). 令 (6)
山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY (6)称为实二次型f(x1,x2,.,Xn)的规范形. 例4 己知实二次型f(X1,x2,x3,x4)经过非退化线性替换化为标准形： 3y12+6y22-2y32-y42 令 y1= 1 y2= 62 1 y3= 2多 y4=Z4 则二次型化成规范形： 2 2 2 21+22-Z3-24
令 𝑦1 = 1 3 𝑧1 𝑦2 = 1 6 𝑧2 𝑦3 = 1 2 𝑧3 𝑦4 = 𝑧4 则二次型化成规范形： 6 称为实二次型𝑓 𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 的规范形. 例4 已知实二次型𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 经过非退化线性替换化为标准形: 3𝑦1 2 + 6𝑦2 2 − 2𝑦3 2 − 𝑦4 2 𝑧1 2 + 𝑧2 2 − 𝑧3 2 − 𝑧4 2
归东程子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例5 己知实二次型f(x1,x2,X3,x4,x5)经过非退化线性替换化为标准形： 3y12-2y22+3y32-5y42 耳 1 y1= 1 3 1 y3= Z2 3 1 y2=1 Z3 2 1 y4= y5=Z5 则二次型化成规范形： 2 2 +Z2 -Z3 ZA
令 𝑦1 = 1 3 𝑧1 𝑦3 = 1 3 𝑧2 𝑦2 = 1 2 𝑧3 𝑦4 = 1 5 𝑧4 𝑦5 = 𝑧5 𝑧1 2 + 𝑧2 2 − 𝑧3 2 − 𝑧4 2 例5 已知实二次型𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4,𝑥5 经过非退化线性替换化为标准形: 3𝑦1 2 − 2𝑦2 2 + 3𝑦3 2 − 5𝑦4 2 则二次型化成规范形：