高等代数 线性相关性
高等代数 线性相关性
一、线性表示的定义 第三章线性方程组 三维几何空间中： 若B与a共线，a≠0，则B=ka. 称a和B线性相关， 若B与C1,Qa2共面，且a1,a2不共线，那么 B=k1a1+k2a2 (k1,k2是数) 称α1，C2,B线性相关
第三章 线性方程组 三维几何空间中： 若𝜷与𝜶共线，𝜶 ≠ 𝟎，则𝜷 = 𝒌𝜶. 称𝜶和𝜷线性相关. 若𝜷与𝜶𝟏, 𝜶𝟐共面，且𝜶𝟏,𝜶𝟐不共线，那么 𝜷 = 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 (𝒌𝟏,𝒌𝟐是数) 称𝜶𝟏,𝜶𝟐, 𝜷线性相关 一、线性表示的定义
线性相关性 第三章线性方程组 定义如果向量组a142,.,a(s≥2)中有一个向量可以由其余向 量线性表示，那么向量组a1,a2,.,Q,称为线性相关的.如果向量组 Q1,Q2,.,中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，则称向 量组1,02，.，C线性无关. 例如(1)a1=(2,-1,3,1),a2=(3,-2,5,4),3=(4,-2,6,2) a3=2a1 1,2,a3线性相关。 (2)1=(1,0),e2=(0,1)线性无关
第三章 线性方程组 定义 如果向量组𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔 (𝒔 ≥ 𝟐)中有一个向量可以由其余向 量线性表示，那么向量组𝜶𝟏,𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔称为线性相关的. 如果向量组 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，则称向 量组𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔线性无关. 例如(1) 𝜶𝟏 = 𝟐, −𝟏, 𝟑, 𝟏 , 𝜶𝟐 = 𝟑, −𝟐, 𝟓, 𝟒 , 𝜶𝟑 = 𝟒, −𝟐, 𝟔,𝟐 𝜶𝟑 = 𝟐𝜶𝟏, 𝜶𝟏,𝜶𝟐, 𝜶𝟑线性相关. (2) 𝜺𝟏 = 𝟏, 𝟎 , 𝜺𝟐 = (𝟎, 𝟏)线性无关. 线性相关性
线性相关性 第三章线性方程组 。规定，一个向量线性相关，即a=0. 一个向量a线性无关，即a卡0. 两个向量a=(a1va2,.,an),B=(b1,b2,.,bn)线性相关的充分必要条件 是它们的对应分量成比例. 证明若，β线性相关，则必有一个向量可以由另一个向量线性表示， 不妨设a=kB,即 (a1,a2,.,an)=k(b1b2,.,bn)=(kb1,kb2,.,kbn), a1=kb:(i=1,2,.,n). an 反之亦成立
第三章 线性方程组 • 规定，一个向量𝜶线性相关，即𝜶 = 𝟎. 一个向量𝜶线性无关，即𝜶 ≠ 𝟎. • 两个向量𝜶 = 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , ⋯ , 𝒂𝒏 ，𝜷 = (𝒃𝟏 ,𝒃𝟐 , ⋯ , 𝒃𝒏)线性相关的充分必要条件 是它们的对应分量成比例. 证明 若𝜶,𝜷线性相关，则必有一个向量可以由另一个向量线性表示， 不妨设𝜶 = 𝒌𝜷，即 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , ⋯ ,𝒂𝒏 = 𝒌 𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , ⋯ , 𝒃𝒏 = 𝒌𝒃𝟏 ,𝒌𝒃𝟐 , ⋯ , 𝒌𝒃𝒏 , 𝒂𝒊 = 𝒌𝒃𝒊 𝒊 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝒏 . 𝒂𝟏 𝒃𝟏 = 𝒂𝟐 𝒃𝟐 = ⋯ = 𝒂𝒏 𝒃𝒏 . 反之亦成立. 线性相关性
线性相关性 第三章线性方程组 ”几何意义： 两个向量α，B线性相关台心，B共线； 三个向量a,B,y线性相关台心，B,Y共面
第三章 线性方程组 • 几何意义： 两个向量𝜶, 𝜷线性相关⇔ 𝜶,𝜷共线； 三个向量𝜶, 𝜷,𝜸线性相关⇔ 𝜶, 𝜷, 𝜸共面. 线性相关性
线性相关性 第三章线性方程组 定理 向量组Q1,Q2.,043(S≥1)线性相关的充分必要条件是存在一 组不全为零的数k1,k2,.,k3,使 k11+k2a2+.+k30s=0. 证明当s=1时，若a1线性相关，即a1=0,于是对任意k1≠0有 k11=k10=0. 反之，若果k1a1=0,而k1≠0，必有a1=0,即a1线性相关
第三章 线性方程组 定理 向量组𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔 (𝒔 ≥ 𝟏)线性相关的充分必要条件是存在一 组不全为零的数𝒌𝟏,𝒌𝟐, ⋯ , 𝒌𝒔，使 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒔𝜶𝒔 = 𝟎. 证明 当𝒔 = 𝟏时，若𝜶𝟏线性相关，即𝜶𝟏 = 𝟎，于是对任意𝒌𝟏 ≠ 𝟎有 𝒌𝟏𝜶𝟏 = 𝒌𝟏𝟎 = 𝟎. 反之，若果𝒌𝟏𝜶𝟏 = 𝟎，而𝒌𝟏 ≠ 𝟎，必有𝜶𝟏 = 𝟎，即𝜶𝟏线性相关. 线性相关性
线性相关性 第三章线性方程组 定理向量组a41,α2，.，a,(s≥1)线性相关的充分必要条件是存在一 组不全为零的数k1,k2,.,ks,使 k11+k2a2+.+kss=0. 证明以下证明s≥2的情况. 必要性设1,2，.，a3线性相关，则有一个向量可以由其余向量线 性表示.不妨设a可以由a1,a2,.,ag-1线性表示，即 as=l1a1+l202+.+Ls-10s-1, L11+l22+.+Lg-1-1-s=0, 于是存在不全为零的数k1=l1,.,k-1=ls-1,k,=-1≠0，使 k11+k202+.+kss=0
第三章 线性方程组 定理 向量组𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔 (𝒔 ≥ 𝟏)线性相关的充分必要条件是存在一 组不全为零的数𝒌𝟏,𝒌𝟐, ⋯ , 𝒌𝒔，使 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒔𝜶𝒔 = 𝟎. 证明 以下证明𝒔 ≥ 𝟐的情况. 必要性 设𝜶𝟏,𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔线性相关，则有一个向量可以由其余向量线 性表示.不妨设𝜶𝒔可以由𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔−𝟏线性表示，即 𝜶𝒔 = 𝒍𝟏𝜶𝟏 + 𝒍𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒍𝒔−𝟏𝜶𝒔−𝟏, 𝒍𝟏𝜶𝟏 + 𝒍𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒍𝒔−𝟏𝜶𝒔−𝟏 − 𝜶𝒔 = 𝟎, 于是存在不全为零的数𝒌𝟏 = 𝒍𝟏, ⋯ , 𝒌𝒔−𝟏 = 𝒍𝒔−𝟏, 𝒌𝒔 = −𝟏 ≠ 𝟎，使 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒔𝜶𝒔 = 𝟎. 线性相关性
线性相关性 第三章线性方程组 定理向量组α1，α2，.，Q3(S≥1)线性相关的充分必要条件是存在一 组不全为零的数k1,k2,.,k,使 k1a1+k2a2+.+kss=0. 证明以下证明s≥2的情况. 充分性设存在不全为零的数k1,k2,.,k,使得 kia1+k2a2 +.ksas =0, 不妨设k≠0，则有 as=ks ks-Las-1 ks 即C可以由a1,2,.,4-1线性表示，1,2，.，线性相关
第三章 线性方程组 定理 向量组𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔 (𝒔 ≥ 𝟏)线性相关的充分必要条件是存在一 组不全为零的数𝒌𝟏,𝒌𝟐, ⋯ , 𝒌𝒔，使 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒔𝜶𝒔 = 𝟎. 证明 以下证明𝒔 ≥ 𝟐的情况. 充分性 设存在不全为零的数𝒌𝟏,𝒌𝟐, ⋯ , 𝒌𝒔使得 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒔𝜶𝒔 = 𝟎， 不妨设𝒌𝒔 ≠ 𝟎，则有 𝜶𝒔 = − 𝒌𝟏 𝒌𝒔 𝜶𝟏 − 𝒌𝟐 𝒌𝒔 𝜶𝟐 − ⋯ − 𝒌𝒔−𝟏 𝒌𝒔 𝜶𝒔−𝟏, 即𝜶𝒔可以由𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔−𝟏线性表示，𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔线性相关. 线性相关性
线性相关性 第三章线性方程组 定理 向量组a1,2,.,4线性无关的充分必要条件是等式 k11+k202+.+k3as=0 成立仅当k1=k2=.=k3=0. 。n维单位向量组e1,e2,.,en线性无关. 证明设k1e1+k2e2+.+knen=0,则 (k1,k2,.,kn)=0, 于是k1=k2=.=kn=0.故e1,e2,.,en线性无关
第三章 线性方程组 定理 向量组𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔线性无关的充分必要条件是等式 𝒌𝟏𝜶𝟏 + 𝒌𝟐𝜶𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒔𝜶𝒔 = 𝟎 成立仅当𝒌𝟏 = 𝒌𝟐 = ⋯ = 𝒌𝒔 =0. • 𝒏维单位向量组𝜺𝟏, 𝜺𝟐, ⋯ , 𝜺𝒏线性无关. 证明 设𝒌𝟏𝜺𝟏 + 𝒌𝟐𝜺𝟐 + ⋯ + 𝒌𝒏𝜺𝒏 = 𝟎，则 𝒌𝟏, 𝒌𝟐, ⋯ , 𝒌𝒏 = 𝟎, 于是𝒌𝟏 = 𝒌𝟐 = ⋯ = 𝒌𝒏 =0. 故𝜺𝟏, 𝜺𝟐, ⋯ , 𝜺𝒏线性无关. 线性相关性
线性相关性 第三章 线性方程组 例如果1,02,03线性无关，证明a1+a2,a2+03,03+a心1也线性 无关 证明设k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a1)=0,即 (k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=0. 因为C1,a2,03线性无关，所以 k1+k3=0, k1+k2=0, k2+k3=0. 解得k1=k2=k3=0,所以a1+02,2+03,03+a1线性无关
线性相关性 第三章 线性方程组 例 如果𝜶𝟏, 𝜶𝟐, 𝜶𝟑线性无关，证明𝜶𝟏 + 𝜶𝟐, 𝜶𝟐 + 𝜶𝟑, 𝜶𝟑 + 𝜶𝟏也线性 无关. 证明 设𝒌𝟏(𝜶𝟏 + 𝜶𝟐) + 𝒌𝟐(𝜶𝟐 + 𝜶𝟑) + 𝒌𝟑(𝜶𝟑 + 𝜶𝟏) = 𝟎，即 𝒌𝟏 + 𝒌𝟑 𝜶𝟏 + 𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 𝜶𝟐 + 𝒌𝟐 + 𝒌𝟑 𝜶𝟑 = 𝟎. 因为𝜶𝟏, 𝜶𝟐, 𝜶𝟑线性无关，所以 ቐ 𝒌𝟏 + 𝒌𝟑 = 𝟎, 𝒌𝟏 + 𝒌𝟐 = 𝟎, 𝒌𝟐 + 𝒌𝟑 = 𝟎. 解得𝒌𝟏 = 𝒌𝟐 = 𝒌𝟑 =0，所以𝜶𝟏 + 𝜶𝟐, 𝜶𝟐 + 𝜶𝟑, 𝜶𝟑 + 𝜶𝟏线性无关