山求理工大买 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 6.3 维数·基与坐标
6.3 维数 • 基与坐标
加东翟2大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 ●线性相关与线性无关 线性空间的维与基
主要内容 线性相关与线性无关 线性空间的维与基
山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1 证明 p1(x)=1+x,p2(x)=1-x,p3(x)=x+x2 线性无关. 证明 设 k1p1(x)+k2p2(x)+k3p3(x)=0, 即k1(1+x)+k2(1-x)+k3(x+x2)=0, 也即(k1+k2)+(k1-k2+k3)x+k3x2=0, 于是k1+k2=0;k1-k2+k3=0;k3=0, 从而得k1=k2=k3=0
例 1 证明 线性无关. 证明 设 𝑘1 𝑝1 (𝑥) + 𝑘2 𝑝2 (𝑥) + 𝑘3 𝑝3 (𝑥) = 0 , 即 𝑘1 ( 1 + 𝑥 ) + 𝑘2 ( 1 − 𝑥 ) + 𝑘3 ( 𝑥 + 𝑥 2 ) = 0 , 也即 ( 𝑘1 + 𝑘2 ) + ( 𝑘1 − 𝑘2 + 𝑘3 ) 𝑥 + 𝑘3 𝑥 2 = 0 , 于是 𝑘1 + 𝑘2 = 0； 𝑘1 − 𝑘2 + 𝑘3 = 0； 𝑘3 = 0 . 从而得 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘3 = 0 . 𝑝1 𝑥 = 1 + 𝑥, 𝑝2 𝑥 = 1 − 𝑥, 𝑝3 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 2
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、线性空间的维数与基 1.线性空间的维数 1)引入包 2)定义1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量， 但是没有更多数目的线性无关的向量，那么，V就称为维 的.记作dimV=n. 如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就 称为无限维的. 例如
二、线性空间的维数与基 1. 线性空间的维数 我们知道，对于几何空间中的向量，线性无 关的向量最多是 3 个，而任意 4 个向量都是线性相 关的. 对于 n 元数组所成的向量空间，有 n 个线性 无关的向量，而任意 n + 1 个向量都是线性相关的. 在一个线性空间中，究竟最多能有几个线性无关的 向量，显然是线性空间的一个重要属性. 为此，我们 1) 引入 2) 定义 1 如果在线性空间 𝑉 中有 𝑛 个线性无关的向量， 但是没有更多数目的线性无关的向量，那么 𝑉 就称为𝑛 维 的.记作dim 𝑉 = 𝑛. 如果在 𝑉 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么 𝑉 就 称为无限维的. 例如 几何空间中向量所成的线性空间是三维的； n 元数组所成的空间是 n 维的； 由所有实系数多项式所成的实线性空间是无 限维的，因为对于任意的 n , 都有 n 个线性无关的 向量 1 , x , . , x n - 1
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2.线性空间的基 定义2在n维线性空间V中，n个线性无关的向量， 2,.,G称为V的一组基.设是V中任一向量，于是 6,.,G,&线性相关，因此a可以被基6,2，.， Gn线性表出： u=a1+a282+.+ann, 其中系数a1a2,.,an是被向量a和基6,2，.，m唯 确定的，这组数就称为在基6,2，.，Gn下的坐标，记 为（a1a2,.,an)
2. 线性空间的基 定义 2 在 𝑛 维线性空间 𝑉 中， 𝑛 个线性无关的向量 1 , 2 , . , 𝑛 称为 𝑉 的一组基. 1 , 2 , . , 𝑛 , 线性相关，因此 可以被基 1 , 2 , . , 𝑛线性表出： = 𝑎11 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 , 其中系数 𝑎1 , 𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑛 是被向量 和基 1 , 2 , . , 𝑛唯一 确定的，这组数就称为 在基 1 , 2 , . , 𝑛下的坐标，记 为 ( 𝑎1 , 𝑎2 , ⋯ , 𝑎𝑛 ) . 设 是𝑉 中任一向量，于是
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3.维数与基的关系 定理1如果在线性空问V中有几个线性无关的向量 必1,2，.，且V中任一向量都可以用它们线性表出 那么V是n维的，而4，Q2,.,就是V的一组基. 证明 因为必，2，.，是线性无关的，所以V的维数 至少是n.为了证明V是n维的，只须证V中任意n+1 个向量必定线性相关
3. 维数与基的关系 定理 1 如果在线性空间 𝑉 中有 𝑛 个线性无关的向量 1 , 2 , ⋯ , 𝑛 ，且𝑉中任一向量都可以用它们线性表出， 那么 𝑉 是 𝑛 维的，而 1 , 2 , ⋯ , 𝑛就是 𝑉 的一组基. 证明 因为 1 , 2 , ⋯ , 𝑛 是线性无关的，所以 𝑉 的维数 至少是 𝑛 . 为了证明 𝑉 是 𝑛 维的，只须证 𝑉 中任意 𝑛 + 1 个向量必定线性相关
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3.维数与基的关华 定理1如果在线性空间V中有几个线性无关的向量 1,2,.,且V中任一向量都可以用它们线性表出 那么V是n维的，而，2，.，gn就是V的一组基. 证明 设B1,B2,.,Bn+1是V中任意n+1个向量， 它们可以用山1,2，.，线性表出.从而阝1，阝2，.，阝n+1线 性相关
3. 维数与基的关系 定理 1 如果在线性空间 𝑉 中有 𝑛 个线性无关的向量 1 , 2 , ⋯ , 𝑛 ，且𝑉中任一向量都可以用它们线性表出， 那么 𝑉 是 𝑛 维的，而 1 , 2 , ⋯ , 𝑛就是 𝑉 的一组基. 证明 设 𝛽1 ,𝛽2 , ⋯ , 𝛽𝑛+1 是 𝑉 中任意 𝑛 + 1 个向量， 它们可以用1 , 2 , ⋯ , 𝑛线性表出. 从而 𝛽1 ,𝛽2 , ⋯ , 𝛽𝑛+1线 性相关
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2在线性空间P[x]n中， 1,X,.,xn-1 是n个线性无关的向量，而且每一个次数小于几的数域P 上的多项式都可被它们线性表出，所以P[x]n是n维的， 而1，x,.,x肌-1就是它的基.在这组基下，多项式 f(x)=a0+a1x+.+an-1xn-1的坐标就是宅的系数 (a0,a1,.,an-1)
例 2 在线性空间 𝑃[ 𝑥 ]𝑛 中， 1 , 𝑥 , . , 𝑥 𝑛−1 是 𝑛 个线性无关的向量，而且每一个次数小于𝑛 的数域 𝑃 上的多项式都可被它们线性表出， 而 1 , 𝑥 , . , 𝑥 𝑛−1就是它的基. 所以𝑃[ 𝑥 ]𝑛 是 𝑛 维的， 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥 𝑛−1的坐标就是它的系数 ( 𝑎0 , 𝑎1 , ⋯ , 𝑎𝑛−1 ) . 在这组基下，多项式
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 如果在V中取另外一组基 e=1,克=(x-a),.,h=(x-a)m-1 那么按泰勒展开公式 a-品c-aa fx)=f(@)+f(a)(@ 因此，f(x)在基1，克，.，下的坐标是 fn-1(a) f(a,f'(a.,n-1
如果在 𝑉 中取另外一组基 那么按泰勒展开公式 因此， 𝑓 (𝑥) 在基𝜀1 ′ , 𝜀2 ′ , ⋯ , 𝜀𝑛 ′ 下的坐标是 𝜀1 ′ = 1, 𝜀2 ′ = 𝑥 − 𝑎 , ⋯ , 𝜀𝑛 ′ = 𝑥 − 𝑎 𝑛−1 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 ′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 + ⋯ + 𝑓 𝑛−1 𝑎 𝑛 − 1 ! 𝑥 − 𝑎 𝑛−1 𝑓 𝑎 , 𝑓 ′ 𝑎 , ⋯ , 𝑓 𝑛−1 𝑎 𝑛 − 1 !
加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例3在n维空间Pn中，显然 81=(1,0,.,0), 2=(0,1,.,0), en=(0,.,0,1) 是一组基.对每一个向量a=（a1,a2,.,an),都有 c=a161+a282+.+anGn· 所以(a1,a2,.,an)就是向量a在这组基下的坐标
例 3 在 𝑛 维空间 𝑃 𝑛 中，显然 是一组基. 对每一个向量 = ( 𝑎1 , 𝑎2 , . , 𝑎𝑛), 都有 = 𝑎11 + 𝑎22 + . + 𝑎𝑛𝑛 . 所以( 𝑎1 , 𝑎2 , . , 𝑎𝑛)就是向量 在这组基下的坐标. 𝜀1 = 1,0, ⋯ , 0 , 𝜀2 = 0,1, ⋯ , 0 , ⋯ 𝜀𝑛 = (0, ⋯ , 0,1)