归东理子大名 SHANDONG UNTVERSITY OF TECHNOLOGY *9.8 酉空间介绍
* 9.8 酉空间介绍
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、定义 定义1设V是复数域上的线性空间，在V上定义了一个 二元复函数，称为内积，记作(，B),它具有以下性质： 1)(a,B)=(B,),这里(B,)是(B,)的共轭复数： 2)(k,B)=k(a,B): 3)(a+B,Y)=(,Y)+(B,Y); 4)(c,a)是非负实数，且(a,a)=0当且仅当a=0
一、定义
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 这里心，B,Y是V中任意的向量，k为任意复数，这样的 线性空间称为酉空间. 例在线性空间C”中，对向量 a=(a1,a2,.,an),阝=(b1,b2,.,bn), 定义内积为 (a,β)=a1b1+a2b2+.+anbn 这样Cn就成为一个酉空间
线性空间称为酉空间. 定义内积为
山东理王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、酉空间中的重要结论 首先由内积的定义可得到 1)(a,kβ)=k(a,B) 2)(a,β+y)=(a,β)+(a,Y). 和欧氏空间一样，因为(，)≥0，故可定义向量的长度， 3)V(,)叫做向量a的长度，记为la
二、酉空间中的重要结论 首先由内积的定义可得到
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 4) 柯西一布湿柯夫斯基不等式仍然成立，即对任意 鹪量u,B有 (4≤p, 当且仅当《，B线性相关时，等号成立 注意：酉空问中的内积(，β)一般是复数，故向量之间 不易定义夹角，但我们仍引入 5)向量，B,当（心，）=0时称为正交或互相垂直·
4) 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对任意 的 |(ᵯ,)| ≤ |ᵯ| |ᵯ|， 不易定义夹角，但我们仍引入
山东理工大深 在几维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基， 并且关于标准正交基也有下述一些重要性质： 6)任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化， 并扩充成为一组标准正交基 7)对n级复数矩阵A,用A表示以A的元素的共轭复数 作元素的矩阵.如果A满足ATA=AAT=E,则称A为 酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1·
并且关于标准正交基也有下述一些重要性质： 6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化， 并扩充成为一组标准正交基. 作元素的矩阵. 酉矩阵. 它的行列式的绝对值等于1
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵. 类似于欧氏空问的正交变换和对称矩阵，可以引进酉空间 的酉变换和埃尔米特矩阵.它们也分别具有正交变换和对 称矩阵的一些重要性质，我们把它列举在下面： 8)酉空间V的线性变换A,如果满足 (力=（力， 就称为V的一个酉变换. ·酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵
• 两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵. 类似于欧氏空间的正交变换和对称矩阵，可以引进酉空间 的酉变换和埃尔米特矩阵. 它们也分别具有正交变换和对 称矩阵的一些重要性质，我们把它列举在下面： (ᵯ,) = (ᵯ,)， • 酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 9)如果矩阵A满足 AT=A 则称为埃尔米特(Hermite)矩阵.在酉空间Cn中令 X1 =A X2 Xn Xn 则 (AQ,B)=(C,AB),A也是对称变换
则称为埃尔米特(Hermite)矩阵
山求覆2大？ SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 10)V是酉空间，V1是子空间，V士是V1的正交补，则 V=V⊕V. 设V是对称变换的不变子空问，则V什也是不变子空问. 11) 埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同特征值 的特征向量必正交 12)若A是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵C,使 C-1AC CTAC 是对角形矩阵
11) 埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同特征值 的特征向量必正交. 是对角形矩阵
山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 13)设A是埃尔米特矩阵，二次齐次函数 nn f0x,2,x)=∑∑9 jxix=XTAX i=1j=1 叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C,当X=CY时 f(x1,x2,.,xn)=d1y1y1+d2y2y2+.+dnyny
叫做埃尔米特二次型