山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 9.6 实对称矩阵的标准形
9.6 实对称矩阵的标准形
加求理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 。实对称矩阵的性质 。主要结论 。正交矩阵的求法 。正交的线性替换
主要内容 实对称矩阵的性质 主要结论 正交矩阵的求法 正交的线性替换
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、实对称矩阵的性质 引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值都是实数
一 、实对称矩阵的性质 引理 1 设 𝐴 是实对称矩阵，则 𝐴 的特征值都是实数
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 设A是实对称矩阵，在几维欧氏空间Rn上定义一个线 性变换凡： cA=Aa,a∈Rn 则几在标准正交基 10 e1= 2= 李 0:0 下的矩阵就是A·
• 设𝐴是实对称矩阵 ，在 𝑛 维欧氏空间 𝑅𝑛 上定义一个线 性变换 𝒜: 则 𝒜 在标准正交基 𝒜𝛼 = 𝐴𝛼, 𝛼 ∈ 𝑅 𝑛 下的矩阵就是 𝐴 . 𝜀1 = 1 0 ⋮ 0 , 𝜀2 = 0 1 ⋮ 0 , ⋯ , 𝜀𝑛 = 0 ⋮ 0 1
山东理子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 引理2设A是实对称矩阵，几的定义如上，则对任意的 ,B∈Rn,有 (Aa,β)=(a,Aβ)， (1) 或 BT(Aa)=aTAB. 定义1 欧氏空间中满足等式(1)的线性变换称为对称变换 ·对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵
引理 2 设 𝐴 是实对称矩阵，𝒜 的定义如上，则对任意的 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅 𝑛 , 有 (𝒜𝛼, 𝛽) = (𝛼, 𝒜𝛽) ， (1) 或 𝛽 𝑇 (𝐴𝛼) = 𝛼 𝑇𝐴𝛽 . 定义1 欧氏空间中满足等式(1)的线性变换称为对称变换. • 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵
加求翟王大 引理3设几是对称变换，V1是A-子空间，则V也是 凡-子空间
引理 3 设 𝒜 是对称变换，𝑉1 是 𝒜 - 子空间，则 𝑉1 ⊥也是 𝒜 - 子空间
山东理王大溪 引理4设A是实对称矩阵，则Rn中属于A的不同特征值 的特征向量必正交
引理 4 设 𝐴 是实对称矩阵，则 𝑅𝑛 中属于 𝐴 的不同特征值 的特征向量必正交
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、主要结论 定理1对于任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个几级 正交矩阵T,使TTAT成对角形
二、主要结论 定理1 对于任意一个 𝑛 级实对称矩阵 𝐴，都存在一个 𝑛 级 正交矩阵 𝑇 ，使 𝑇𝑇𝐴𝑇 成对角形
G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 三、正交矩阵的求法 求正交矩阵T的问题就相当于在Rm中求一组由A的特征向量 构成的标准正交基.求正交矩阵T的步骤如下： 1、求出A的特征值.设入1,2，.几，是A的全部不同的特征值。 2、对于每个几：，求出属于它的线性无关的特征向量，将其 正交单位化，得到属于几的正交单位的特征向量，记为 门1，门i2,.,门ik
三、正交矩阵的求法 求正交矩阵 𝑇 的问题就相当于在𝑅𝑛中求一组由 𝐴 的特征向量 构成的标准正交基. 求正交矩阵 𝑇 的步骤如下： 1、求出 𝐴 的特征值. 设 𝜆1 , 𝜆2 , ⋯ 𝜆𝑟是 𝐴的全部不同的特征值. 2、对于每个𝜆𝑖 ，求出属于它的线性无关的特征向量，将其 正交单位化，得到属于𝜆𝑖的正交单位的特征向量，记为 𝜂𝑖1, 𝜂𝑖2, ⋯ , 𝜂𝑖𝑘𝑖
加求翟王大 3、由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量线性无关 因此门11，.，门1k1.,门r1,.,门rk,还是正交单位向量组， 且k1+k2+.+k,=n 4、将门11，.，1k1.,r,.,门rk,写成列向量构成的矩阵T 即为所求正交矩阵
因此 𝜂11, ⋯ , 𝜂1𝑘1 , ⋯ , 𝜂𝑟1, ⋯ , 𝜂𝑟𝑘𝑟 还是正交单位向量组， 3、由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量线性无关. 且𝑘1 + 𝑘2 + ⋯ + 𝑘𝑟 = 𝑛. 4、将𝜂11, ⋯ , 𝜂1𝑘1 , ⋯ , 𝜂𝑟1, ⋯ , 𝜂𝑟𝑘𝑟写成列向量构成的矩阵 𝑇 即为所求正交矩阵