加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 6.8 线性空间的同构
6.8 线性空间的同构
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、 定义 定义1 数域P上两个线性空间V与V'称为同构的，如果 由V到V”有一个双射0，具有以下性质： 1)o(C+B)=o()+(B); 2)σ(ka)=ko(a), 其中，B是V中任意向量，k是P中任意数. 这样的映射0称为同构映射
一、定义 定义1 数域 𝑃 上两个线性空间 𝑉 与 𝑉 ′称为同构的，如果 由 𝑉 到 𝑉 ′有一个双射 𝜎 , 具有以下性质： 1) 𝜎 𝛼 + 𝛽 = 𝜎 𝛼 + 𝜎 𝛽 ; 2) 𝜎 𝑘𝛼 = 𝑘𝜎 𝛼 , 其中 𝛼, 𝛽是 𝑉 中任意向量，𝑘 是 𝑃 中任意数. 这样的映射 𝜎 称为同构映射
山求濯工大深 二、同构映射的性质 由定义可以看出，同构映射具有下列基本性质： 1.0(0)=0,0(-)=-0() 2.o(k11+k202+.+kcr) =k1o(1)+k20(2)+.+kro(ar):
二、同构映射的性质 由定义可以看出, 同构映射具有下列基本性质: 1. 𝜎 0 = 0, 𝜎 −𝛼 = −𝜎(𝛼) 2. 𝜎(𝑘1𝛼1 + 𝑘2𝛼2 + ⋯ + 𝑘𝑟𝛼𝑟 ) = 𝑘1𝜎(𝛼1 ) + 𝑘2𝜎(𝛼2 ) + ⋯ + 𝑘𝑟𝜎(𝛼𝑟 )
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3.V中向量组C1,C2,.,Cr线性相关的充分必要条件是， 它们的像σ(1)，σ(2)，.，σ(r)线性相关. ·同构的线性空间有相同的维数
3. 𝑉 中向量组 𝛼1 ,𝛼2 , ⋯ , 𝛼𝑟线性相关的充分必要条件是， 它们的像 𝜎 𝛼1 , 𝜎 𝛼2 , ⋯ ,𝜎(𝛼𝑟 )线性相关. • 同构的线性空间有相同的维数
加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 4.如果V1是V的一个线性子空问，那么，V1在o下的 像集合 o(V1)={o(a)|a∈V1} 是σ(V)的子空间，并且V1与0(V1)维数相同. 5.同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射. 。同构映射具有反身性、对称性和传递性
4. 如果 𝑉1 是𝑉的一个线性子空间，那么，𝑉1在 下的 像集合 𝜎(𝑉1 ) = { 𝜎(𝛼) | 𝛼 ∈ 𝑉1 } 是 𝜎(𝑉) 的子空间，并且𝑉1 与 𝜎 (𝑉1 ) 维数相同. 5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射. • 同构映射具有反身性、对称性和传递性
山求理2大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 数域P上任一个几维线性空间都与Pn同构
• 数域 𝑃 上任一个 𝑛 维线性空间都与 𝑃 𝑛 同构
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山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 四、，同构的充分必要条件 定理1数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条 件是它们有相同的维数. 定理说明了，维数是有限维线性空间的唯一本质特征
四、同构的充分必要条件 定理1 数域 𝑃 上两个有限维线性空间同构的充分必要条 件是它们有相同的维数. 定理说明了，维数是有限维线性空间的唯一本质特征
山求程王大￥ 例1P[x]3与P3同构，其同构映射为 0(a0+a1x+a2x2)=(a0,a1,a2). 例2设V是全体复数在实数域R上构成的线性空间， 则V与R2同构.其同构映射为 o(a +ib)=(a,b). 例3数域P上的空问P2×2与P4同构.其同构映射为 a(a q)=(abc.d)
例 1 𝑃[𝑥]3 与 𝑃3 同构，其同构映射为 𝜎( 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥 2 ) = (𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 ) . 例 2 设 𝑉 是全体复数在实数域 𝑅 上构成的线性空间， 则 𝑉 与 𝑅2 同构. 其同构映射为 𝜎 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) . 例 3 数域 𝑃 上的空间 𝑃22 与 𝑃 4同构.其同构映射为 𝜎( 𝑎 + 𝑖 𝑏 ) = ( 𝑎 , 𝑏 )
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