归东理2大 SHANDONG UNTVERSITY OF TECHNOLOGY 6.4 基变换与坐标变换
6.4 基变换与坐标变换
G》 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、基变换 在n维线性空间中，任意n个线性无关的向量都可以 作为线性空间的基，即空间的基不唯一.对不同的基，同 一个向量的坐标一般是不同的. 在这一节中，我们要研究的问题是，随着基的改变， 向量的坐标是怎样变化的
一、基变换 在 𝑛 维线性空间中，任意 𝑛 个线性无关的向量都可以 作为线性空间的基，即空间的基不唯一. 对不同的基，同 一个向量的坐标一般是不同的. 在这一节中，我们要研究的问题是，随着基的改变， 向量的坐标是怎样变化的
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 1.定义 定义1 设e1,E2,.,en与e1,e2,.,7是n维线性空间V 中两组基，它们的关系是 8f a1181+a2182++an1En, 82=a1281+a2282++an2En, (1) En ainE1+azn82+.+annEn 称(1)为基变换公式
1. 定义 定义1 设 𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛 与 𝜀1 ′ , 𝜀2 ′ , ⋯ , 𝜀𝑛 ′ 是 𝑛 维线性空间 𝑉 中两组基，它们的关系是 称 (1) 为基变换公式. 𝜀1 ′ = 𝑎11𝜀1 + 𝑎21𝜀2 + ⋯ + 𝑎𝑛1𝜀𝑛, 𝜀2 ′ = 𝑎12𝜀1 + 𝑎22𝜀2 + ⋯ + 𝑎𝑛2𝜀𝑛, ⋯ ⋯ 𝜀𝑛 ′ = 𝑎1𝑛𝜀1 + 𝑎2𝑛𝜀2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝜀𝑛 (1)
山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2.基变换公式的矩阵形式 为了写起来方便，我们引入一种形式的写法把基写成 一个1×n矩阵，于是(1)可写成如下矩阵形式： 011 Q12 01n (e1,2,.,7)=(e1,e2,.,en) 021 022 02n ani an2 ann
2. 基变换公式的矩阵形式 为了写起来方便，我们引入一种形式的写法.把基写成 一个 1 𝑛 矩阵，于是 (1) 可写成如下矩阵形式： 𝜀1 ′ , 𝜀2 ′ , ⋯ , 𝜀𝑛 ′ = (𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛) 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛
加求翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 矩阵 011 Q12 . ain a21 a22 02n ani an2 ann 称为由基E1,2,.,n到12，.，7过渡矩阵. 由于1，克，.，e是线性无关的，所以过渡矩阵A 的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵A是可逆的，注意
矩阵 称为由基 𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛 到 𝜀1 ′ , 𝜀2 ′ , ⋯ , 𝜀𝑛 ′ 过渡矩阵. 由于𝜀1 ′ , 𝜀2 ′ , ⋯ , 𝜀𝑛 ′ 是线性无关的，所以过渡矩阵 𝐴 的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵 𝐴 是可逆的. 注意 : 1) 基变换公式的矩阵形式是“形式的” . 因为 在这里把向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义. 不过在这个特殊的情况下，这种约定的用法是不会 出毛病的. 2) 过渡矩阵 A 的第 j 列 (a1j , a2j , . , anj), 就是第二组基向量 j 在第一组 1 , 2 , . , n 下的 坐标. 𝑎11 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1在P3中求基e1=(1,0,0),E2=(0,1,0),e3=(0,0,1)到 基门1=(1,2,3)，η2=(0,1，-1)，门3=(2,3,1)的过渡矩阵. 反之，由基门1,1门2，门2到基1,2，E3的过渡矩阵呢？
例1 在𝑃 3中求基𝜀1 = 1,0,0 , 𝜀2 = 0,1,0 , 𝜀3 = (0,0,1)到 基𝜂1 = 1,2,3 , 𝜂2 = 0,1, −1 , 𝜂3 = (2,3,1)的过渡矩阵. 反之，由基 𝜂1 , 𝜂2 , 𝜂2 到基 𝜀1 , 𝜀2 , 𝜀3 的过渡矩阵呢？
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3.运算规律 设1,2，.，n和阝1，B2,.,Bn是V中两个向量组， A=(a),B=(bi)是两个n阶矩阵，则 1)(a1,2,.,an)A)B=(a1,a2,.,an)(AB) 2）(a1,2,.,n)A+(a1,c2,.,n)B=(a1,2,.,n)(A+B); 3)(a1,a2,.,an)A+(B1,B2,.,Bn)A =(a1+阝1,2+B2,.,an+fn)A
3. 运算规律 设 𝛼1 ,𝛼2 , ⋯ , 𝛼𝑛 和 𝛽1 ,𝛽2 , ⋯ , 𝛽𝑛 是 𝑉 中两个向量组， 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ,𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) 是两个 𝑛阶矩阵，则 1) 𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ , 𝛼𝑛 𝐴 𝐵 = (𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ , 𝛼𝑛)(𝐴𝐵) 2) 𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ ,𝛼𝑛 𝐴 + 𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ , 𝛼𝑛 𝐵 = 𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ , 𝛼𝑛 (𝐴 + 𝐵) ； 3) 𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ ,𝛼𝑛 𝐴 + 𝛽1 , 𝛽2 , ⋯ , 𝛽𝑛 𝐴 = 𝛼1 + 𝛽1 , 𝛼2 + 𝛽2 , ⋯ , 𝛼𝑛 + 𝛽𝑛 𝐴
G 山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、坐标变换公式 定理2 设Vn中的元素，在基e1,e2,.,en下的坐标 为(x1,x2,xn)T,在基1,2，.，7下的坐标为(x1,x2,.,x)T. 若两个基满足关系式()，则有坐标变换公式 X1 X1 =A 或 =A-1 (2) Xn
定理2 设 𝑉𝑛 中的元素 𝜉 , 在基 𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛下的坐标 为 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 𝑇 , 在基 𝜀1 ′ , 𝜀2 ′ , ⋯ , 𝜀𝑛 ′ 下的坐标为 𝑥1 ′ , 𝑥2 ′ ,⋯ , 𝑥𝑛 ′ 𝑇 . 若两个基满足关系式 (1) , 则有坐标变换公式 二、坐标变换公式 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑛 = 𝐴 𝑥1 ′ 𝑥2 ′ ⋮ 𝑥𝑛 ′ 或 𝑥1 ′ 𝑥2 ′ ⋮ 𝑥𝑛 ′ = 𝐴 −1 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑛 (2)
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2 在P3中，求由基81,2，E3到基门1，门2，门2的过渡 矩阵，并求向量在基门1，η2,2下的坐标.其中 81=(1,1,-2), 71=(1,1,1), e2=(1,-1,1), 72=(1,2,3), 3=(2,3,-1) 73=(2,0,1)
例2 在 P 3 中，求由基 𝜀1 , 𝜀2 , 𝜀3 到基 𝜂1 , 𝜂2 , 𝜂2的过渡 矩阵,并求向量 𝜉在基𝜂1 , 𝜂2 , 𝜂2下的坐标. 其中 𝜀1 = 1,1, −2 , 𝜀2 = 1, −1,1 , 𝜀3 = (2,3, −1) ൞ 𝜂1 = 1,1,1 , 𝜂2 = 1,2,3 , 𝜂3 = (2,0,1)
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