加东翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 6.5 线性子空间
6.5 线性子空间
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 定义 非空子集构成子空间的条件 向量组生成的子空间
主要内容 定义 非空子集构成子空间的条件 向量组生成的子空间
加求翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、定义 例1P[x]和P[x]n都是数域P上的线性空间，而P[x]n三P[x], P[x]n称为P[x]子空间. 定义1数域P上线性空间V的一个非空子集合W称为V 的一个线性子空间（或简称子空间），如果W对于V中所定 义的加法和数量乘法两种运算也构成数域P上的线性空间
一、定义 定义1 数域 𝑃 上线性空间 𝑉 的一个非空子集合𝑊 称为 𝑉 的一个线性子空间(或简称子空间)，如果 𝑊 对于 𝑉 中所定 义的加法和数量乘法两种运算也构成数域 𝑃 上的线性空间. 例1 𝑃[𝑥]和𝑃 𝑥 𝑛都是数域𝑃上的线性空间，而𝑃 𝑥 𝑛 ⊆ 𝑃 𝑥 , 𝑃 𝑥 𝑛称为 𝑃[𝑥]子空间
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、非空子集构成子空间的条件 设W是V的子集合.因为V是线性空问.所以对于原 有的运算，W中的向量满足线性空问定义中的八条规则 中的规则1)，2)，5)，6)，7)，8)是显然的. 为了使W自身构成一线性空间，主要的条件是要求W 对于V中原来运算的封闭性，以及规则3)与4)成立.即
二、非空子集构成子空间的条件 设 𝑊 是 𝑉 的子集合. 因为 𝑉 是线性空间. 所以对于原 有的运算，𝑊 中的向量满足线性空间定义中的 1) + = + ；2) ( + ) + = + ( + )； 3) 在 V 中有一个元素 0，对于 V 中任一元素 都有 + 0 = 线性空间定义中的八条规则 4) 对于 V 中每一个元素 ，都有 V 中的元素 ，使得 + = 0 ( 称为 的负元素) . 5) 1 = ； 6) k( l ) = ( kl ) . 7) ( k + l ) = k + l ; 8) k( + ) = k + k . 中的规则 1) , 2) , 5) , 6) , 7) ,8)是显然的. 为了使 𝑊自身构成一线性空间，主要的条件是要求 𝑊 对于 𝑉 中原来运算的封闭性，以及规则 3) 与 4) 成立.即
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 1.W对数量乘法运算封闭，即若a∈W,k∈P,则ka∈W. 2.W对如法运算封闭，即若a∈W,B∈W,则十B∈W, 3.0∈W. 4.若∈W,则-a∈W. 不难看出3,4两个条件是多余的，它们已经包含在条件 1中，作为k=0与一1这两个特殊情形.因此，我们得到
1. 𝑊 对数量乘法运算封闭，即若 𝑊, 𝑘 𝑃，则𝑘 𝑊. 2. 𝑊 对加法运算封闭，即若 𝑊, 𝑊，则 + 𝑊. 3. 0 𝑊. 4. 若 𝑊, 则 − 𝑊. 不难看出 3, 4 两个条件是多余的，它们已经包含在条件 1 中，作为 𝑘 = 0 与 −1 这两个特殊情形.因此，我们得到
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理1 如果线性空间V的非空子集合W对于V的数量 乘法和加法两种运算是封闭的，那么W就是一个子空间， ·dimw≤dimV 倒2{0}是V的一个子空间，称为零子空间. 例3V本身也是V的一个子空间. ·零子空间和V本身叫做V的平凡子空间，而其它的线性子 空间叫做非平凡子空间
定理1 如果线性空间 𝑉 的非空子集合 𝑊 对于 𝑉 的数量 乘法和加法两种运算是封闭的，那么𝑊就是一个子空间. • dim 𝑊 ≤ dim 𝑉 例2 {0}是𝑉的一个子空间，称为零子空间. 例3 𝑉本身也是𝑉的一个子空间. • 零子空间和V本身叫做𝑉的平凡子空间，而其它的线性子 空间叫做非平凡子空间
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例4 P[x]n是线性空间P[x]的子空间. 例5在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式 组成一个子空间 例6数域P上全体阶对称（反对称、上三角)矩阵构成 Pnxn的一个子空间
例 5 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式 组成一个子空间. 例 4 𝑃[ 𝑥 ]𝑛 是线性空间 𝑃[ 𝑥 ] 的子空间. 例6 数域𝑃上全体𝑛阶对称（反对称、上三角）矩阵构成 𝑃 𝑛×𝑛的一个子空间
G 山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例7在线性空问Pn中，齐次线性方程组 a11x1+a12X2+.+a1n2Xn=0, a21X1+a22X2+.+a2nXn=0, am1x1+am2x2++amnxn =0 的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性 方程组的解空间
例 7 在线性空间 𝑃 𝑛 中，齐次线性方程组 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0, 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0, ⋯ ⋯ 𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0 的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性 方程组的解空间
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 设方程组的系数矩阵为A ①如果R(A)=n,方程组只有零解，此时解空间为{0} ② 如果R(A)=0,任一n维向量都是方程组的解， 此时解空间为P”. ③ 如果R(A)=T,解空间的基就是方程组的基础解系， 它的维数等于n一r
解空间的基就是方程组的基础解系， 它的维数等于 𝑛 − 𝑟 . ① 如果𝑅(𝐴) = 𝑛， 设方程组的系数矩阵为𝐴 ② 如果𝑅(𝐴) = 0， ③ 如果𝑅(𝐴) = 𝑟， 方程组只有零解，此时解空间为 0 . 任一𝑛维向量都是方程组的解， 此时解空间为 𝑃 𝑛
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例8在三维几何空间V3中，坐标轴，例如X轴上的全体向量 记作V,它是V3的一个子空间.事实上，过原点的任何一条 直线上的全体向量均构成V3的一个子空间.1维的 而坐标平面，例如x0y平面上过原点的所有向量，记作V2, V2是V3的一个子空间.事实上，过原点的任何一个平面均 构成V3的一个2维子空间
例8 在三维几何空间𝑉3中，坐标轴，例如𝑥轴上的全体向量 记作𝑉1，它是𝑉3的一个子空间. 事实上，过原点的任何一条 直线上的全体向量均构成𝑉3的一个子空间. 1维的 而坐标平面，例如 𝑥𝑜𝑦平面上过原点的所有向量，记作𝑉2， 𝑉2 是 𝑉3的一个子空间. 事实上，过原点的任何一个平面均 构成𝑉3的一个2维子空间