加东翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 8.2 几·矩阵在 初等变换下的标准形
8.2 - 矩阵在 初等变换下的标准形
G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 主要内容 ®子 初等变换的定义 。等价 。几矩阵的标准形
主要内容 初等变换的定义 等价 -矩阵的标准形
加求翟王大 一、初等变换的定义 定义1下面的三种变换叫做几·矩阵的初等变换： (1)矩阵的两行（列)互换位置； (2)矩阵的某一行（列）乘以非零常数C; (3)矩阵的某一行（列)加另一行（列)的p()倍， 0()是一个多项式
一、初等变换的定义 定义1 下面的三种变换叫做 - 矩阵的初等变换： (1) 矩阵的两行 (列) 互换位置； (2) 矩阵的某一行 (列) 乘以非零常数 𝑐 ； (3) 矩阵的某一行 (列) 加另一行 (列) 的 ()倍， () 是一个多项式
山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵， 三种初等变换对应三个初等矩阵 i列 j列 1 0 . 1 i行 P(i,) 1 j行
三种初等变换对应三个初等矩阵 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵. 𝑃 𝑖,𝑗 = 1 ⋱ 0 1 ⋯ ⋱ ⋯ 1 0 ⋱ 1 𝑖行 𝑗行 𝑖列 𝑗列
G 山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY i列 0- →i行
𝑃 𝑖 ( 𝑐 ) = 1 ⋱ 𝑐 ⋱ 1 𝑖 行 𝑖 列
山求理工大买 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY i列 j列 1 1 p(2) 一i行 P(i,j(p))= 1 j行
𝑃 𝑖 , 𝑗 ( 𝜑 ) = 1 ⋱ 1 ⋯⋱⋯ 𝜑 ( 𝜆 ) 1 ⋱ 1 𝑖 行 𝑗 行 𝑖 列 𝑗 列
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 。 初等矩阵都是可逆的，并且有 P(i,j)-1=P(i,j),P(i(c)-1=P(i(c-1), P(i,j(p(2))-1=P(i,j(-p(2)), 定理1对一个S×几的入-矩阵A(几)作一次初等行变换， 就相当于在A()的左边乘上相应的S×S初等矩阵； 对A()作一次初等列变换，就相当于在A()的右边乘 上相应的n×n初等矩阵
定理1 对一个 𝑠 × 𝑛 的 𝜆-矩阵 𝐴(𝜆) 作一次初等行变换， 就相当于在 𝐴(𝜆) 的左边乘上相应的 𝑠 × 𝑠初等矩阵； 对 𝐴(𝜆) 作一次初等列变换，就相当于在𝐴(𝜆)的右边乘 上相应的 𝑛 × 𝑛 初等矩阵. • 初等矩阵都是可逆的，并且有 𝑃 𝑖,𝑗(𝜑 𝜆 ) −1 = 𝑃(𝑖,𝑗(−𝜑 𝜆 )) , 𝑃 𝑖(𝑐) −1 = 𝑃(𝑖(𝑐 −1 𝑃 𝑖,𝑗 )) , −1 = 𝑃(𝑖,𝑗)
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 由此得出初等变换具有可逆性： 设λ-矩阵A()用初等变换变成B(),这相当于对A() 左乘或右乘一个初等矩阵。再用此初等矩阵的逆矩阵来 乘B()就变回A(),而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而 由B()可用初等变换变回A()·我们还可以看出在第 二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这也是 为了使P((c)可逆的缘故
由此得出初等变换具有可逆性： 设 𝜆-矩阵 𝐴(𝜆)用初等变换变成 𝐵(𝜆) ，这相当于对 𝐴(𝜆) 左乘或右乘一个初等矩阵. 再用此初等矩阵的逆矩阵来 乘 𝐵(𝜆) 就变回 𝐴(𝜆) ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而 由𝐵(𝜆)可用初等变换变回 𝐴(𝜆) . 我们还可以看出在第 二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这也是 为了使 𝑃(𝑖(𝑐)) 可逆的缘故
山求濯工大深 二、等价 1.定义 定义2几-矩阵A()称为与B()等价，如果可以经过一 系列初等变换将A()化为B(). 2.等价的性质 等价是入-矩阵之间的一种关系，这个关系具有下列三个性质： (1)反身性(2)对称性(3)传递性
二、等价 1. 定义 定义2 𝜆-矩阵 𝐴(𝜆)称为与 𝐵(𝜆) 等价， 系列初等变换将 𝐴(𝜆)化为 𝐵(𝜆) . 2. 等价的性质 等价是𝜆-矩阵之间的一种关系，这个关系具有下列三个性质： 如果可以经过一 (1) 反身性 (2) 对称性 (3) 传递性
山东理子大家 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3.几-矩阵等价的条件 矩阵A()与B()等价的充分必要条件是有一系列初等 矩阵P1,P2,.,Pl,Q1,Q2,.,QS使 A()=P1P2.PB()Q1Q2.Qs·
3. 𝜆-矩阵等价的条件 矩阵 𝐴(𝜆) 与 𝐵(𝜆) 等价的充分必要条件是有一系列初等 矩阵 𝑃1 , 𝑃2 , ⋯ , 𝑃𝑙 , 𝑄1 , 𝑄2 , ⋯ , 𝑄𝑠 使 𝐴(𝜆) = 𝑃1 𝑃2 ⋯ 𝑃𝑙 𝐵(𝜆) 𝑄1𝑄2 ⋯ 𝑄𝑠