《高等代数》课程教学课件（PPT讲稿）复习课 矩阵的运算

第三章矩阵的运算 复习课矩阵 矩阵的乘法 逆矩阵 初等矩阵 。分块矩阵

第三章 矩阵的运算 复习课 矩阵 矩阵的乘法 分块矩阵 逆矩阵 初等矩阵

矩阵的乘法 第三章矩阵的运算 12 bu L21 L22 b 。 .: .: : b,1 b 41b1+.+41,b1 .a1bn+.+41,bn 421b1+.+02,b1 . 421bin++.+42,bn am1b1+.+anmb,1.0 mDin+.+anbn 注意(1)在矩阵乘积定义中，只有当左边矩阵A的列 数等于右边矩阵B的行数时，乘积AB才有意义

第三章 矩阵的运算 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 11 11 1 1 11 1 1 21 11 2 1 21 1 2 1 11 1 1 1 s n s n m m ms s s sn s s n s sn s s n s sn m ms s m n ms sn a a a b b b a a a b b b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b +               + + + +   + + + + = + + + +   注意(1)在矩阵乘积定义中,只有当左边矩阵A的列 数等于右边矩阵B的行数时，乘积AB才有意义. 一、矩阵的乘法

第三章矩阵的运算 3 例如 3 2 不存在。 5 P 注意2)矩阵AB的行数等于矩阵A的行数，AB 的列数等于矩阵B的列数 注意(3)AB的第行第列的元素是A的第行与B 的第列的对应元素乘积之和

第三章 矩阵的运算 1 2 3 1 6 8 3 2 1 6 0 1 589                 例如 不存在. 注意(2)矩阵AB的行数等于矩阵A的行数，AB 的列数等于矩阵B的列数. 注意(3)AB的第i行第j列的元素是A的第i行与B 的第j列的对应元素乘积之和

第三章矩阵的运算 2 102-1 2 例1设A= 01 -13 B= 求AB. 0 3 -1201 解： 1 1×1+0×2+2×0-1×1 1×2+0×1+2×3-1×4 AB= 0x1+1×2-1x0+3×10x2+1×1-1×3+3×4 -1×1+2×2+0×0+1×1-1×2+2×1+0x3+1×4 0 5 10 4 4

第三章 矩阵的运算 1 2 1 0 2 1 2 1 1 0 1 1 3 , , . 0 3 1 2 0 1 1 4 A B AB     −     = − =           −     例 设 求 解: 1 1 0 2 2 0 1 1 1 2 0 1 2 3 1 4 0 1 1 2 1 0 3 1 0 2 1 1 1 3 3 4 1 1 2 2 0 0 1 1 1 2 2 1 0 3 1 4 AB    +  +  −   +  +  −    =  +  −  +   +  −  +        −  +  +  +  −  +  +  +  0 4 5 10 4 4     =      

第三章矩阵的运算 1 例2设A= B=[b1,b2,.,bn]则 a1b11b2.a1bn u2b12b2.u2b AB= 。 anb1anb2.anbn BA=ab+a2b2+.+anbn 说明：即使AB与BA都有意义，但却未必是同型 矩阵

第三章 矩阵的运算 1 2 1 2 2 , , , , n n a a A B b b b a       = =             例 设 ，则 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 , n n n n n n a b a b a b a b a b a b AB a b a b a b       =         BA a b a b a b = + + + 1 1 2 2 n n 说明：即使AB与BA都有意义，但却未必是同型 矩阵

第三章矩阵的运算 -2 例3设A= 求AB与BA -2 24 -32 解：AB= 1 6 BA= 注意 ()一般地，AB≠BA,即矩阵的乘法不满足交换律； (2)由AB=O,推不出A=0或B=0: (3)由AC=BC,且C≠O,一般也不能推出A=B,即矩阵 的乘法不满足消去律

第三章 矩阵的运算 2 4 2 4 3 1 2 3 6 A B AB BA     − = =         − − − 例 设 求 与 2 4 2 4 -16 - 32 1 2 3 6 8 16 AB       − = =             − − − 2 4 2 4 0 0 3 6 1 2 0 0 BA       − = =             − − − 解： (1) 一般地，AB≠BA,即矩阵的乘法不满足交换律； 注意 (2) 由AB=O，推不出A=O或B=O; (3)由AC=BC,且C≠O,一般也不能推出A=B,即矩阵 的乘法不满足消去律

第三章矩阵的运算 (4)若AB=BA,称A与B可交换。 2 3 例6E= 0 10 4 5 7 8 9 2 2 EA= 5 6 5 6 8 8 AE= 969-g 258 369 (5)EnAn AnEn An EmAmn =Amn En Amn (6)数量矩阵与所有的阶矩阵是可交换的：

第三章 矩阵的运算 （6）数量矩阵与所有的n阶矩阵是可交换的

第三章矩阵的运算 乘法性质 1.A(BC)=(AB)C 2.(B+C)=AB+AC (B+C)4=BA+CA 3. 2(AB)=(九A)B=A(九B)(孔是数)

第三章 矩阵的运算 乘法性质 1. A (BC ) = (AB ) C 2. ( ) ( ) A B C AB AC B C A BA CA + = + + = + 3. ( ) ( ) ( )( )     AB A B A B = = 是数

第三章矩阵的运算 借助矩阵的乘法，线性方程组可以表示为 11X1+412X2+.41nXn=b1 21x1+22X2+.2mn=b2 mx1+0m2X2+.AmnXn=bm 中令 12 「b 21 l22 b2 A= ，X= B= 。 (m2 mn Xn 则方程组可以表示为矩阵形式AX=B

第三章 矩阵的运算 借助矩阵的乘法 ，线性方程组可以表示为 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + =   + + =     + + = 中令 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 , , n n m m mn n m a a a x b a a a x b A X B a a a x b                   = = =                   则方程组可以表示为矩阵形式 AX=B

公之第三章矩阵的运算 方阵的幂 A为阶方阵A=AA.A 性质： 1.A=E 2.AkA!=Ak+ 3.（Ay=A4

第三章 矩阵的运算 0 1. A E = n k l k l A A A + 2 . = ( ) kl l k 3 . A = A 方阵的幂 A n 为 阶 方 阵 k k A AA A = 性质：