§1.3n阶行列式的计算 本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的定理 和行列式的性质计算行列式的方法，主要涉及的方法 有如下几种。 1.化行列式为特殊类型的行列式 2.降阶法 3.拆行拆列法 4.升阶法（加边法) 5.递推法 6.利用数学归纳法 下面分别通过相应的例子来阐述上述几种方法
§1.3 n阶行列式的计算 本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的定理 和行列式的性质计算行列式的方法,主要涉及的方法 有如下几种。 2.降阶法 3.拆行拆列法 4.升阶法（加边法） 5.递推法 6.利用数学归纳法 下面分别通过相应的例子来阐述上述几种方法。 1.化行列式为特殊类型的行列式
1.化行列式为特殊类型的行列式 例1计算 4 3 -1 -2 -6 5 3 1 2 -1 0 3 5 2 4 解： 1 2 -1 0 1 2 -1 0 2+21 1 -2 -6 5 3 3-4r 0 -2 3 3 D 二 4 1 3 -1 4-3 0 -7 7 -1 3 5 2 4 0 -1 5 4
4 1 3 1 2 6 5 3 1 2 1 0 3 5 2 4 − − − − 1 3 1 2 1 0 2 6 5 3 4 1 3 1 3 5 2 4 r r D − − − = − − 2 1 3 1 4 1 2 4 3 1 2 1 0 0 2 3 3 0 7 7 1 0 1 5 4 r r r r r r + − − − − = − − − − 解： 1.化行列式为特殊类型的行列式 例1 计算
1 2 -1 0 1 2 -1 0 2分4 0 -1 5 4 3-720 -1 5 4 = 0 -7 7 -1 4-22 0 0 -28 -29 0 -2 3 3 0 0 -7 -5 1 2 -1 0 1 2 -1 0 54 0 -1 5 4 r4-45 0 -1 5 4 3 0 0 -7 -5 0 0 -7 -5 0 0 -28 -29 0 0 0 -9 =-1×(-1)×(-7)×(-9)=63
2 4 1 2 1 0 0 1 5 4 0 7 7 1 0 2 3 3 r r − − = − − − 3 2 4 2 7 2 1 2 1 0 0 1 5 4 0 0 28 29 0 0 7 5 r r r r − − − − = − − − − 3 4 1 2 1 0 0 1 5 4 0 0 7 5 0 0 28 29 r r − − = − − − − − 4 3 4 1 2 1 0 0 1 5 4 0 0 7 5 0 0 0 9 r r − − − = − − − − = − − − − = 1 ( 1) ( 7) ( 9) 63
注意：例1是利用行列式的性质2、5将行列式主对 角线下方的元素全化为零（即化为上三角行列式） 行列式的值为主对角线上元素的连乘积.由于化简过 程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序 计算高阶行列式的值. 例2设多项式 1 1 23 1 2-x2 2 3 f(x)= 2 3 1 5 2 3 1 9-x 试求fx)的根
注意：例1是利用行列式的性质2、5将行列式主对 角线下方的元素全化为零（即化为上三角行列式） 行列式的值为主对角线上元素的连乘积.由于化简过 程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序 计算高阶行列式的值. 例2 设多项式 2 2 1 1 2 3 1 2 2 3 ( ) 2 3 1 5 2 3 1 9 x f x x − = − 试求f(x)的根
解： 1 0 0 0 C2-C1 c3-2c1 1 1-x2 0 0 f(x) c4-3c 2 1 -3 -1 2 1 -3 3-x2 0 0 1 c4-33 1 0 0 =-31-x2)(4-x2) 2 -3 0 -3 4-x2 求得孔x)=0的根为x1=-1,x2=1,X3=-2,x4=2
解 : 2 1 3 1 4 1 2 2 3 2 1 0 0 0 1 1 0 0 ( ) 2 1 3 1 2 1 3 3 c c c c c c x f x x − − − − = − − − − 4 3 1 2 3 2 1 0 0 0 1 1 0 0 2 1 3 0 2 1 3 4 c c x x − − = − − − 2 2 = − − − 3(1 )(4 ) x x 求得f(x)=0的根为x1=-1，x2=1，x3=-2，x4=2
a b b b 例3计算行列式 b a b b D= b b a 。 b b b b a 解：将第2,3.，n列都加到第1列得 a+(n-1)b b b a+(n-1)b a b b D=a+(n-1)b b b a+(n-1)bbb
b b b a b b a b b a b b a b b b D = 解：将第2,3,.，n列都加到第1列得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 a n b b b b a n b a b b D a n b b a b a n b b b a + − + − = + − + − 例3计算行列式
b b b 1 a b b =[a+(n-1)b 1 b a . b bb . a 1 b b b 0 a-b 00 0 =[a+(n-1)b0 0 a-b 0 0 =[a+(n-10bla-b"时 0 0 0 .a-b
b b a b a b a b b b b b a n b 1 1 1 1 = + ( −1) a b a b a b b b b a n b − − − = + − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( 1) ( 1) ( ) . −1 = + − − n a n b a b
注意：行列式的每一行的各元素之和相等时常用 此法。 例如下面的行列式 x-m X, X D= X x2-m Xn 1 x-m . X 1 X2 xn-m 1 X .Xn-m 1 1 -m 0 -m (∑x-m-m) i=1 i=l 0 -m
x x x m x x m x x m x x D n n n − − − = 1 2 1 2 1 2 此法。 注意:行列式的每一行的各元素之和相等时常用 例如下面的行列式 m m x m n i i − − = − = 1 0 1 0 1 0 0 ( ) 1 1 1 ( )( ) − = = − − n n i xi m m x x m x m x x x x m n n n n i i − − = − = 2 2 2 1 1 1 1 ( )
例题4：计算行列式 a 1 1 1 a 0 0 D= 1 0 a, 0 0 an 解： a11 . 1 ao 0 0 41 0 . 0 I=1 1 a 0 0 D.= 1 0 a 0 1 az 0 1 0 0 . an 0 0 an
例题4：计算行列式 n n a a a a D 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 1 0 = n n a a a a D 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 1 0 = 解: n n i i a a a a a 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 = − = n n i i a a a a a 1 2 1 0 ) 1 ( = = −
2、降阶法 例5计算行列式 e b d a+b a+b+c a+b+c+d D= a 2a+b 3a+2b+c 4 4a+3b+2c+d a 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d 解： a b C d 4-3 3-2 0 L a+b a+b+c D = 2-1 0 a 2+b3a+2b+c 0 a 3a+b 6a+3b+c
例5 计算行列式 2 3 2 4 3 2 3 6 3 10 6 3 a b c d a a b a b c a b c d D a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d + + + + + + = + + + + + + + + + + + + 4 3 3 2 2 1 0 0 2 3 2 0 3 6 3 r r r r r r a b c d a a b a b c D a a b a b c a a b a b c − − − + + + = + + + + + + 解： 2、降阶法