“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材 线性代数 (第三版) 孟昭为孙锦萍 赵文玲徐峰张永凤编著 晋斜举女社
内容简介 本书是根据高等教育本科线性代数课程的教学基本要求编写而成的。 主要内容有：阶行列式、矩阵与向量、矩阵的运算、线性方程组、相似矩阵 与二次型、线性空间与线性变换、矩阵理论与方法的应用。书后附有部分习 题参考答案。书末的附录中选编了2010一2015年全国硕士研究生入学考 试线性代数的部分试题. 本书是为普通高等院校非数学专业本科生编写的，也可作为专科院校 和成人教育的教学参考书. 图书在版编目(CP)数据 线性代数/孟昭为等编著.一3版.一北京：科学出版社，2015,7 “十二五”普通高等教育本科国家级规划教材 ISBN978-7-03-045228-3 L①线.1.①孟.Ⅲ.①线性代数-高等学校-教材V.①O151.2 中国版本图书馆CP数据核字(2015)第166783号 责任编辑：胡华强李鹏奇王静/责任校对：张风琴 责任印制：霜兵/封面设计：陈敬 斜学出展社出版 北京东黄城根北街16号 邮数编码：100717 科学出版社发行各地新华书店经镜 2004年2月第一版开本，720×10001/1日 2015年7月第三版印张：14 2015年7月第十九次印刷字数：282000 定价：29.00元 (如有印装质量问题，我杜负责调换)
第三版前言 本书自2004年出版以来，被多所院校选作本科生教材.得到专家与同行的充 分肯定 本次再版，在满足教学基本要求的前提下，对部分章节的内容作了适当增加或 副减：补充和更换了部分例题：重视了习题的设计与选配，除了选取巩固课程内容 的基本题目外，还增补了部分技巧性高的题目，供学有余力的学生选用；选编了 2010~2015年全国硕士研究生入学考试线性代数的部分试题，以满足进一步学习 学生的要求 与此同时，也对配套出版的（线性代数学习指导》作了相应的修订再版.该书中 设有基本要求、内容提要、典型例题解析、习题选解等板块，每章后有自测题，对教 材中选编的全国硕士研究生人学考试线性代数试题作了详细的分析与解答.相信 会对教师教学和学生深人学习提供指导. 本书被列人“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材，并得到科学出版社、 山东理工大学的领导和教师们的大力支持与帮助，在此深表感谢。 参加本书编写的有孟昭为、孙锦萍、赵文玲、徐峰、张永凤等.朱训芝、张超也参 加了再版工作. 感谢多年来使用过本书的同仁们，本书的再版离不开他们的帮助. 编著者 2015年6月
第一版前言 线性代数是理工科院校学生的一门重要基础课，它的理论与方法已成为科学 研究及处理工程技术各领域问题的有力工具.由于线性代数理论性强，概念抽象， 教学时数又较少，所以如何科学地处理教材内容，一直是我们近年来研究和探索的 问题.我们于1996年编写了《线性代数》一书并一直在我校教学中使用.在广泛听 取了使用过此书的教师们意见的基础上，对教材内容作了完善和修订而形成了本 书。为保持教材内容的系统性，增加了线性空间与线性变换的内容，精选和增加了 例题与习题，为准备考研的同学选编了1988年至2003年硕士研究生入学考试题 中线性代数的全部题目. 本书内容包括：n阶行列式、矩阵与向量、矩阵的运算、线性方程组、相似矩阵 与二次型、线性空间与线性变换、矩阵理论与方法的应用.最后的附录摘编了1988 ~2003年全国硕士研究生入学考试题中线性代数的全部题目. 在内容编排上，本书力求做到科学性与通俗性相结合，由浅入深、逐步提高， 全书以解线性方程组为主线，以矩阵的初等变换为工具对各章内容展开讨论。对 于理论的应用本书给予了足够重视，增加了矩阵方法在微积分中的应用与投入产 出数学模型等内容 参加本书编写的有张永凤、孙锦萍、赵文玲、徐峰、孟昭为.在编写过程中得到 山东理工大学教材科、数学与信息科学学院的领导、老师的支持与帮助.许多老师 提出了很好的建议，对本书的修订给予了热情帮助与极大关怀，在此深表谢意. 由于编者水平有限，书中不妥之处难免，恳请读者不吝指正， 编者 2003年12月
目 录 第三版前言 第一版前言 第1章n阶行列式.1 1.1n阶行列式的概念 1.2n阶行列式的性质.10 1.3n阶行列式的计算.16 1.4克拉默法则.23 习题1. .28 第2章矩阵与向量.34 2.1消元法与矩阵的初等变换.34 2.2向量及其线性运算.40 2.3向量组的线性相关性.43 2.4矩阵的秩.53 习题2 .60 第3章矩阵的运算. .64 3.1矩阵的运算.64 32逆矩阵.74 3.3初等矩阵4.77 34分块矩阵.82 习题3.89 第4章线性方程组.94 4.1线性方程组解的判别.94 4.2齐次线性方程组.101 4.3非齐次线性方程组.105 习题4.110 第5章相似矩阵与二次型. .115 5.1向量的内积与正交向量组.115 5.2方阵的特征值与特征向量.119 5.3相似矩阵.125 5.4实对称矩阵的相似对角形.130
·i 目 录 5.5二次型及其标准形.137 5.6正定二次型.148 习题5.151 第6章线性空间与线性变换.156 6.1线性空间的概念.156 6.2基、坐标及其变换.158 6.3线性变换及其矩阵.162 习题6.168 第7章矩阵理论与方法的应用.17门 7.1矩阵方法在微积分中的应用.171 7.2投入产出数学模型.180 习题7.193 部分习题参考答案.195 附录全国硕士研究生入学考试线性代数试题选.208
第1章n阶行列式 行列式是线性代数中的重要概念之一，在数学的许多分支和工程技术中有着 广泛的应用.本章主要介绍阶行列式的概念、性质、计算方法以及利用行列式来 求解一类特殊线性方程组的克拉默法则. 1.1n阶行列式的概念 行列式的概念起源于用消元法解线性方程组.设有二元一次方程组 |a1十a12x2=b, (1.10 a21十a2x2=b2. 用加减消元法得 (a1ia22-a12a21）x1=ba22-a1zb, (auan-anan)x:=aubz-ban, 当a1iaa一aa1≠0时，方程组(1.1)有唯一解 -二8脸，=的 为了进一步讨论方程组的解与未知量的系数和常数项之间的关系，引人下面 记号： an anz 并称之为二阶行列式，它表示数值a1a2一a2a2:,即 an an=andn-andn. aa 行列式中横排的叫做行，纵排的叫做列，数a。(i,j=1,2)称为行列式的元 素，i为行标，j为列标 由上述定义得 bi au=biaz-aiba,nanb-bnam. 若记 D=anan n=a=
2 第1章n阶行列式 则方程组(1.1)的解可用二阶行列式表示为 =，=号D≠0. 对于三元一次方程组 〔a1十a12x2十a13x3=b1, a21x1十a2x2十a2ax3=b, (1.2) a31x1十a2x2十aa3x=b. 如果满足一定条件，则其解也可通过加减消元法求出，但解的表达式较为复杂，难 于看出解与系数、常数项之间的规律性联系.为寻求这种联系，下面引人三阶行列 式的概念. 我们称记号 a11a12a13 anan az 为三阶行列式，它由三行三列共9个元素组成，表示数值 a1a22a33十a13a21a32十a12a23a31一a13a22a31-a1a23a2-a12a21a3, (1.3) ananan anan an an as ass =a11a2ag十a13a21a32+a12a23as1-a13a2a1一a11a23a2-a12a21a33. (1.4) 这种方法称为计算行列式的对角线法则。 例1求下列行列式的值： 1-12 a b c (1) 03-1： (2)b c a -22-4 c a b 1-12 解(1) 03-1=1×3×(-4)+0×2×2 -22 -4 +(-1)×(-1)×(-2)-(-2)×3×2 -2×(-1)X1-0×(-1)×(-4) =-12+0-2+12+2-0=0. a b c (2)b c a =acb +bac +bac-c-b-=3abc-c-b-a. c a b
1.1n阶行列式的概念 ·3· 若记 D=anan D=br anan an an an bs an as an b as an an b D2=an b:an laa as2 b3 则容易验证，方程组(1.2)的解可表示为 == (D≠0). 引入了二阶、三阶行列式的概念之后，二元、三元线性方程组的解可以很方便 地由二阶、三阶行列式表示出来，那么对于n元线性方程组 an1+a12x2十.十a1mxn=b, a2x十a2x十.十a2mxm=b2, (1.5) ax十a2十.十amxn=bn 在一定条件下它的解能否有类似的结论？这里首先要解决的问题是定义n阶行列 式.为此，我们观察方程组(1.1)、(1.2)的系数与对应的二阶、三阶行列式的元素 的位置关系，暂且把记号 an an2.ai a2a2.a2n (1.6) anla2am 称为n阶行列式（简记为△(g),它是由n行n列共个元素组成.在明确(1.6） 式的意义之前，我们先来定义n阶行列式中元素a,(i,j=1,2,.,n)的余子式、 代数余子式 定义1.1.1把n阶行列式(1.6)中元素a。所在的第i行和第j列删去后留 下的n一1阶行列式称为元素a,的余子式，记作M,即 Mi= a-11.a-11a-1l.a-1m a4+n.am;-a41jH1.a+Hn 并称
4 第1章n阶行列式 A。=(-1)+wMg (1.7) 为元素a。的代数余子式. 例如，对于三阶行列式 a11a12a13 an az an, a31a32a33 第一行元素a1,a2,a1的代数余子式分别为 An=(-1)aa an Au=(-1)aa an /a1 an An =(-1)an an a31a32 利用以上结果可将(1.4)式化简为 aa an azs=anAn +anAn+anAis. (1.8) a31a32433 此式表明，三阶行列式的值等于它的第一行元素a11,a2,a13与所对应的代数余子 式A1,A2,Aa乘积的和.这与(1.4)式的定义是一致的，这种用低阶行列式定义 高一阶行列式的方法具有一般意义.按照这一思想我们给出阶行列式(1.6)的归 纳法定义。 定义1.1.2n阶行列式(1.6)是由n2个元素a,(i,j=1,2,.,n)所决定的 一个数 当n=2时，定义 a1a12 a21a2 =a11a2-a12a21. 假设n一1阶行列式已经定义，则定义n阶行列式 a11a12.a1n aua22.a2 =a1A+a12A2+.+a1nAn, (1.9) alaam 其中A,(j=1,2,.,n)是n阶行列式中元素a,(j=1,2,.,n)的代数余子式. 显然，对任意自然数n,由此归纳定义可求n阶行列式的值.特别地，当n=1 时，行列式am|=a1,不能与数的绝对值相混滑