线性代数 山东理工大学
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第2章矩阵与向量 §2.4矩阵的秩 ·行秩、列秩、矩阵的秩 ·用初等变换求矩阵的秩 ·向量组的秩、最大无关组的求法
§2.4 矩阵的秩 第2章 矩阵与向量 ● 行秩、列秩、矩阵的秩 ● 用初等变换求矩阵的秩 ● 向量组的秩、最大无关组的求法
1.行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向 量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由 这些列向量组成。 定义矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩； 2.4.1: 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 1 3 01=(1,1,3,1) 0 2 -1 x2=(0,2,-1,4) 例如：矩阵A= 的行向量组是 0 0 0 ax3=(0,0,0,5) 0 0 0 a4=(0,0,0,0)
1. 行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向 量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由 这些列向量组成。 矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 例如：矩阵 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 0 0 0 0 A − = 的行向量组是 1 2 3 4 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) (0,0,0,0) = = − = = 定义 2.4.1 ：
可以证明，0x1,C2,03是A的行向量组的 a1=(1,1,3,1) 一个最大无关组。 a2=(0,2,-1,4) a3=(0,0,0,5) 因为，由k1C1+k2a2+k3a3=O a4=(0,0,0,0) 即k(1,1,3,1)+k2(0,2,-1,4)+k3(0,0,0,5) =(k1,k1+2k2,3k1-k2,k1+4k2+5k3) =(0,0,0,0) 可知k1=k2=k3=0,即c1,2,C3线性无关； 而4为零向量，包含零向量的向量组一定线性相关， ∴.Q1,02,C3,04线性相关。 所以向量组C1,02,C3,C4的秩为3，即矩阵A的行秩为3
可以证明， 1 2 3 , , 是A的行向量组的 因为，由 1 1 2 2 3 3 k k k O + + = 即 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) ( , 2 ,3 , 4 5 ) (0,0,0,0) k k k k k k k k k k k + − + = + − + + = 可知 1 2 3 k k k === 0, 即 1 2 3 , , 线性无关； 而 4 为零向量，包含零向量的向量组一定线性相关， 1 2 3 4 , 线性相关。 所以向量组 1 2 3 4 , 的秩为3，即矩阵A的行秩为3。 1 2 3 4 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) (0,0,0,0) = = − = = 一个最大无关组
矩阵A的列向量组是 3 1 B1= 0 ,2= 0 3= 0 ,B4= 45 0 0 0 0 可以验证B,B2,B4线性无关， 丽月R品+0a, 所以向量组B,B2,B3,B4的一个最大无关组是B,B2,B4 即向量组乃1，B2,B3,B4的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3
矩阵A的列向量组是 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 , , , 0 0 0 5 0 0 0 0 − = = = = 可以验证 1 2 4 , , 线性无关， 而 3 1 2 4 7 1 0 2 2 = − + 所以向量组 1 2 3 4 , 的一个最大无关组是 1 2 4 , , 即向量组 1 2 3 4 , 的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3
问题：矩阵的行秩乡 矩阵的列秩 定理 矩阵的初等行（列）变换不改变矩阵的行（列）秩。 2.4.1: a 证：把A,mn按行分块，设Axn= &2 M (1)对换矩阵A的两行 A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 即：交换两行不改变矩阵的行秩。 (2)用非零常数乘以A的第行
问题：矩阵的行秩 ? ＝ 矩阵的列秩 矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩。 证：把 A m n 按行分块，设 1 2 m n m A = M （1）对换矩阵A的两行 A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 （2）用非零常数k乘以A的第i行 定理 2.4.1： 即:交换两行不改变矩阵的行秩
1 a M M 显然，向量组c1,L,kQ,L,am A= 01 kai =A, 可以由向量组a1L,c,L,Cm M M 线性表示； m 而向量组必1，L,C,L,0m也可以由向量组01，L,kC,L,Cm 线性表示。 所以矩阵A的行向量组与A,的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩， .A的行秩=A,的行秩， 即A的某一行乘以非零的数k不改变矩阵的行秩
1 1 2 i kr i i m m A A k = = M M M M : 显然，向量组 1 , , , , i m L L k 可以由向量组 1 , , , , L Li m 线性表示； 而向量组 1 , , , , L Li m 也可以由向量组 1 , , , , i m L L k 线性表示。 所以矩阵 A 的行向量组与 A2 的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩， A 的行秩＝ A2 的行秩， 即A的某一行乘以非零的数k不改变矩阵的行秩
(3)非零常数k乘以第行后加到第行上 a M M 显然，A中的行向量组 C 可以由A的行向量组线性表示 A= M 。 M =A而A的行向量组可以由 aj +ka; A中的行向量组线性表示。 M M Cm m 所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变。 即A的某一行乘以数k加到另一行上不改变矩阵的行秩
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上 1 1 3 j i i i r kr j j i m m A A k + = = + M M M M M M : 显然， A3 中的行向量组 可以由 A 的行向量组线性表示 而 A 的行向量组可以由 A3 中的行向量组线性表示。 所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变。 即A的某一行乘以数k加到另一行上不改变矩阵的行秩
定理 矩阵的初等行（列变换不改变矩阵的列（行）向量 2.4.2: 间的线性关系。 -2 3 0 1 例1设矩阵A= 1 3 0 -3 7 3 a, 3 其列向量a,a2,a3,a4间有线性关系a4=0a%1-1ax2-2c,对其 作有限次初等行变换，得 1 -2 3 -4 1-2 3 0 1 -1 1 0 1 A- 1 3 0 -3 0 5 -3 -7 3 1 0 -7 3
1 2 3 4 0 1 1 1 1 3 0 3 0 7 3 1 A − − − = − − 矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)向量 间的线性关系。 定理 2.4.2： 例1 设矩阵 其列向量 间有线性关系 ，对其 作有限次初等行变换，得 1 2 3 4 , 4 1 2 3 = − − 0 1 2 1 2 3 4 0 1 1 1 1 3 0 3 0 7 3 1 A − − − = − − 3 1 r r − 1 2 3 4 0 1 1 1 0 5 -3 1 0 7 3 1 − − − − 1 2 3 4
1-2 3 -4 1 -2 3 -4 3-5 0 1 -1 1 4+25 0 1 -1 1 0 0 2 -4 1 0 +72 0 1 -2 0 0 -4 8 0 0 0 0 1-20 2 1000Y +3 0 1 0 1 1+2 010-1 0 01 -2 001 -2 =(B,B2,B,B4)=B 1-3 0 00 0 000 0) 行最简形 B B2 B:B 矩阵B作为矩阵A的行最简形，其B列向量之间的线性关系为 B,=0B-B2-2p3, 由此可见，矩阵A和矩阵B列向量有相同的线性关系。 即：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量间的线性关系。 所以矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩
4 2 r r + 7 3 2 r r − 5 1 2 3 4 0 1 1 1 0 0 2 -4 0 0 -4 8 − − − 1 2 2 r 4 3 r r + 2 1 2 3 4 0 1 1 1 0 0 1 -2 0 0 0 0 − − − 1 3 r r −3 2 3 r r + 1 -2 0 2 0 1 0 -1 0 0 1 -2 0000 1 2 r r + 2 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 1 -2 0 0 0 0 = , , , ( 1 2 3 4 ) = B 矩阵B作为矩阵A的行最简形，其B列向量之间的线性关系为 4 1 2 3 =0 2 , − − 由此可见，矩阵A和矩阵B列向量有相同的线性关系。 行最简形 1 2 3 4 即：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量间的线性关系。 所以矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩