第二章矩阵与向量 复习课 向量组的线性相关性 线性组合 三、 向量组的等价 三、 向量组的线性相关性 四、重要结论 五、向量组的极大线性无关组
第二章 矩阵与向量 二、向量组的等价 一、线性组合 复习课 向量组的线性相关性 三、向量组的线性相关性 四、重要结论 五、向量组的极大线性无关组
第二章矩阵与向量 一、线性组合 1.定义 对于向量41,2，Qm和，若存在m 个数元1,22.，2m,使得： a=21a1+22a2+.+九m0cm 则称a是01，%2，Cm的线性组合，21,22，.，2m称为 组合系数，。 或称向量a可由向量组%，2，Cm 线性表示
第二章 矩阵与向量 一、线性组合 1.定义 对于向量1 ,2 ,., m和，若存在m 个数1 ,2 ,. ,m ，使得： 则称是1 ,2 ,.,m 的线性组合，1 ,2 ,. ,m 称为 组合系数，或称向量可由向量组1 ,2 ,.,m 线性表示 . = 11 + 22 + .+ mm
第二章矩阵与向量 2.结论 (1)n维零向量能由任意的n维向量组线性表示. 0=0a1+02+.+0as (2)向量能由包含a的向量组线性表示. 0=10+0a2+.+0as (3)E1=(1,0,0),e2=(0,1,0),ε3=(0,0,1)称为三维单 位向量组 0=(2,4,5)=2ε1+4e2+5E3
第二章 矩阵与向量 2.结论 （1）n维零向量能由任意的n维向量组线性表示 . 0 0 0 1 0 0
第二章矩阵与向量 般地，称81=(1,0，.，0)，62=(0,1，0)，.，6n=(0,0,.,1) 为n维单位向量组. 0=(41,2,4n)=4161+42E2+.+4n8n 任意的n维向量a都能由c1,62,6n线性表示。 3.判定方法 例1判断向量α=(0,4,2)是否能由向量%1=(1,2,3) 02=(2,3,1),a3=(3,1,2)线性表示，若能，将 a用a,a2,c,线性表示
第二章 矩阵与向量 1 2 , , , . 任意的n维向量 都能由 n 线性表示 1 2 (1, 0, , 0) (0,1, , 0) (0, 0, ,1) n 一般地，称 = = = ， ， ， 为n维单位向量组. 1 1 2 2 n n = + ++ a a a =( , , , ) 1 2 n a a a 3.判定方法 1 2 3 1 2 3 (0, 4, 2) (1, 2, 3) (2, 3,1) (3,1, 2) , , . = = = = 例1 判断向量 是否能由向量 ， ， 线性表示，若能，将 用 线性表示
第二章矩阵与向量 解：先假定ax=2a1+22+a3?即 0,4,2)=2(1,2,3)+元2(2,3,1)+2(3,1,2) =(21+222+323,22+322+几3,32+22+223) 因此 「九1+222+3九=0， 2元+32+23=4， 3九+2+22=2. 2 3 01 [1 2 3 01 2 3 1 -1 -5 3 1 2 Lo -5 -7 2」 1 2 3 0 1 2 3 -5 4 0 1 -5 4 18 18]
第二章 矩阵与向量 1 2 3 (0,4,2) (1,2,3) (2,3,1) (3,1,2) = + + 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = + + + + + + ( 2 3 ,2 3 ,3 2 ) 因此 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 2 3 4, 3 2 2. + + = + + = + + = 解：先假定 = + + 1 1 2 2 3 3， 即
第二章矩阵与向量 21=1,22=1,入3=-1 于是a可表示为0=0x1+C2一 例2判断向量=(1,2,3)是否能由向量%1=(1,3,2)， 02=(-2,-1,1),3=(3,5,2),a4=(-1,-3,-2)线性表示. 解： 3 -1 1] 「1 -2 3 -1 3 1 -3 5 -4 0 -1 12 1 2 -2 3 Lo 5 -4 0 1 「1 -2 3 -1 1 0 5 0 -1 Lo 0 0 0 2 所以， Q=101+22c2+43+元，a,无解， a不能由a,2,3,a,线性表示
第二章 矩阵与向量 1 2 3 = = = − 1, 1, 1 于是可表示为 = + − 1 2 3 1 2 3 4 (1, 2, 3) (1, 3, 2) (-2, -1,1) (3, 5, 2) ( 1, 3, 2) = = = = = − − − 例2 判断向量 是否能由向量 ， ， ， 线性表示. 解： 所以， = + + 1 1 2 2 3 3 4 4 + 无解. 不能由 1 2 3 4 ， ， ， 线性表示
第二章矩阵与向量 般地，向量能否由向量组线性表出可转化 为线性方程组有没有解的问题. Azj j=1,2,.,n B= b, 飞a1+x2a2+.+x an=B对应的线性方程组为 011x1+412X2+.+41nxn=b 21X1+022X2+.+02mXn=b2 amix1+am2x2++am xn=bm
第二章 矩阵与向量 为线性方程组有没有解的问题. 一般地，向量能否由向量组线性表出可转化 1 2 1, 2, , j j j mj a a j n a = = 1 2 m b b b = 1 1 2 2 n n x x x + ++ = 对应的线性方程组为 + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1
第二章矩阵与向量 二、向量组的等价 1.定义 设有两个n维向量组 ():01,0x2,.,C, (I):B,B2,.,B 若向量组①中每个向量都可由向量组（⑩线性 表示，则称向量组①可由向量组山线性表示； 若向量组①与向量组四能相互线性表示，向量 组（①与向量组⑩等价
第二章 矩阵与向量 二、向量组的等价 1.定义 设有两个 n 维向量组 1 2 1 2 (I) : , , , (II) : , , , r s 若向量组(I) 中每个向量都可由向量组(II)线性 表示,则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示； 若向量组(I)与向量组(II) 能相互线性表示，向量 组(I)与向量组(II)等价
第二章矩阵与向量 例3向量组（①）：1=(0,1,1)，2=(0,1,0) 向量组(I):B1=(0,2,1),B2=(0,0,1),B3=(0,-1,0) 一方面：1=B1-B32=-3 另一方面：B1=1+2β2=1-2B3=-2 故两向量等价
第二章 矩阵与向量 例3 一方面： 另一方面： 故两向量等价
第二章矩阵与向量 2.等价向量组的性质 (1)反身性： 向量组与向量组等价； (2)对称性：若向量组与向量组等价，则向量组 与向量组等价； (3)传递性：若与等价，与等价，则与Ⅲ 等价
第二章 矩阵与向量 (1) 反身性: 向量组I与向量组I等价； (2) 对称性：若向量组I与向量组II等价，则向量组 II与向量组I等价； (3) 传递性：若I与II等价，II与III等价，则I与III 等价. 2.等价向量组的性质