山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 7.6 线性变换的值域与核
7.6 线性变换的值域与核
山求濯工大深 定义1 设几是线性空间V的一个线性变换，凡的全体像 组成的集合称为A的值域，用AV表示. AV={Aξ|ξ∈V}, 所有被凡变成零向量的向量组成的集合称为几的核， 用A-1(0)表示. A-1(0)={ξ∈V|Aξ=0}
定义 1 设 𝒜是线性空间 𝑉 的一个线性变换, 𝒜的全体像 组成的集合称为𝒜 的值域，用𝒜𝑉表示. 所有被 𝒜 变成零向量的向量组成的集合称为𝒜 的核， 用𝒜−1 (0) 表示. 𝒜𝑉 = 𝒜𝜉 𝜉 ∈ 𝑉 } ， 𝒜−1 0 = 𝜉 ∈ 𝑉 𝒜𝜉 = 0}
山求程2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 性质 线性变换的值域与核都是V的子空间. )AV的维数称为A的秩，A-1(0)的维数称为A的零度， 倒1在线性空间P[x]n中，令 D(f(x)=f'(x). 则D的值域为P[x]n-1，D的核为子空间P. 例2零变换0的值域是{0}，核是V 例3可逆变换A,值域AV=V,核A-1(0)={0}
性质 线性变换的值域与核都是 𝑉 的子空间. • 𝒜𝑉的维数称为 𝒜 的秩， 𝒜−1 (0) 的维数称为𝒜 的零度. 例1 在线性空间 𝑃 𝑥 𝑛 中，令 𝒟(𝑓(𝑥)) = 𝑓 ′ (𝑥) . 则 𝒟的值域为 𝑃 𝑥 𝑛−1 ， 例2 零变换𝒪的 例3 可逆变换𝒜， 值域是{0}，核是𝑉. 值域𝒜𝑉 = 𝑉，核𝒜−1 0 = 0 . 𝒟 的核为子空间 𝑃
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理1设A是n维线性空间V的线性变换.则AV的一组 基的原像及几一1(0)的一组基合起来就是V的一组基.由此 cA的秩+A的零度=n, 推论 对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充分必 要条件为它是满射. 。 虽然子空间凡V与A-1(0)的维数之和为n,但是 AV十A-1(0)并不是整个空间
定理 1 设 𝒜 是 𝑛 维线性空间 𝑉 的线性变换. 则 𝒜𝑉的一组 由此 𝒜 的秩 + 𝒜 的零度 = 𝑛 . 基的原像及 𝒜−1 0 的一组基合起来就是 𝑉 的一组基. 推论 对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充分必 要条件为它是满射. • 虽然子空间 𝒜𝑉与 𝒜−1 0 的维数之和为 𝑛 ，但是 𝒜𝑉 + 𝒜−1 0 并不是整个空间
山求理工大买 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 定理2设几是n维线性空间V的线性变换，1，E2,.,n 是V的一组基，几在这组基下的矩阵是A,则 1)凡的值域凡V是由基像组生成的子空间，即 AV =L (AE1,AE2,AEn). 2)A的秩=A的秩
定理 2 设 𝒜 是 𝑛 维线性空间 𝑉 的线性变换，𝜀1 , 𝜀2 , ⋯ , 𝜀𝑛 是 𝑉 的一组基，𝒜 在这组基下的矩阵是 𝐴，则 1) 𝒜的值域 𝒜𝑉是由基像组生成的子空间，即 𝒜𝑉 = 𝐿 (𝒜𝜀1 , 𝒜𝜀2 , ⋯ , 𝒜𝜀𝑛) . 2) 𝒜的秩 = 𝐴 的秩
加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例4 设E1,e2,E3,e4是4维线性空间V的一组基，己知线性变 换凡在这组基下的矩阵是 1 0 2 A= 22 13 1 5 2 52 求几的值域与核
例4 设𝜀1 , 𝜀2 , 𝜀3 , 𝜀4是4维线性空间𝑉的一组基，已知线性变 换𝒜在这组基下的矩阵是 𝐴 = 1 −1 1 2 0 2 2 −2 2 1 5 1 1 3 5 −2 求𝒜的值域与核
G 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例5令 A(x1,X2,x3)=(0,X3,0) 则A是P3的一个线性变换，求AP3与A-1(0)的维数和基
例5 令 𝒜 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 = (0, 𝑥3 , 0) 则𝒜是𝑃 3的一个线性变换，求𝒜𝑃 3与 𝒜−1 0 的维数和基
山求濯工大深 回 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例6 设A是一个nn矩阵，A2=A.证明 A相似于一个对角矩阵 B=
例 6 设 𝐴 是一个 𝑛 𝑛 矩阵，𝐴2 = 𝐴 . 证明 𝐴 相似于一个对角矩阵 𝐵 = 1 ⋱ 1 0 ⋱ 0
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 倒7设线性变换A在三维线性空间V的一组基E1,2,3 下的矩阵是 的 A (1)求A在基门1=2e1+E2+3E3,η2=e1+2+2e3, 门3=-1+2+E3下的矩阵. (2)求几的值域AV和核A-1(0);
例 7 设线性变换 𝒜 在三维线性空间 𝑉 的一组基 𝜀1 , 𝜀2 , 𝜀3 下的矩阵是 (1) 求 𝒜 在基 𝜂1 = 2𝜀1 + 𝜀2 + 3𝜀3 , 𝜂2 = 𝜀1 + 𝜀2 + 2𝜀3 , 𝜂3 = −𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3下的矩阵. 𝐴 = 1 2 −1 2 1 0 3 0 1 (2) 求 𝒜 的值域 𝒜𝑉和核 𝒜−1 0 ；
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY (3)把几V的基扩充为V的基，并求几在这组基下的矩阵， (4)把几-1(0)的基扩充为V的基，并求几在组基下的矩阵；
(3) 把 𝒜𝑉的基扩充为 𝑉 的基，并求 𝒜在这组基下的矩阵； (4) 把 𝒜−1 0 的基扩充为 𝑉 的基，并求 𝒜在组基下的矩阵；