山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 9.2 标准正交基
9.2 标准正交基
G 加东翟2大深 主要内容 ®定义 。标准正交基的求法 。正交矩阵
主要内容 定义 标准正交基的求法 正交矩阵
g 山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、定义 1.正交向量组的定义 定义1欧氏空间V中一组非零的向量1，(2，.，m,如果 它们两两正交，即 (c,j)=0,i≠j;i,j=1,2,.,m 就称为一个正交向量组 ·由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组
一、定义 1. 正交向量组的定义 它们两两正交，即 • 由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 就称为一个正交向量组
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 2. 正交向量组的性质 性质正交向量组是线性无关的
2. 正交向量组的性质 性质 正交向量组是线性无关的
山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 这个结果说明，在维欧氏空间中，两两正交的非零 向量不能超过个.这个事实的几何意义是请楚的. 例如，在平面上找不到三个两两垂直的非零向量； 在空问中，找不到四个两两垂直的非零向量. ·从解析几何中看到，直角坐标系在图形度量性质的讨论 中有特殊的地位。在欧氏空问中，情况是相仿的
这个事实的几何意义是清楚的. 例如，在平面上找不到三个两两垂直的非零向量； 在空间中，找不到四个两两垂直的非零向量. • 从解析几何中看到，直角坐标系在图形度量性质的讨论 中有特殊的地位. 在欧氏空间中，情况是相仿的
山求翟王大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3. 标准正交基的定义 定义2在n维欧氏空问中，由n个向量组成的正交向量 组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基 。对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基
3. 标准正交基的定义 组称为正交基； 由单位向量组成的正交基称为标准正交基. • 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 4. 正交基的性质 性质1设E1,E2,.,en是一组标准正交基，则 6动-6 (1) ·一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵 为单位矩阵. ·在维欧氏空间中，标准正交基是存在的
4. 正交基的性质 • 一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵 为单位矩阵
山求程2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 性质2 设e1,E2,.,en是一组标准正交基，向量在该基 下的坐标为(x1,x2,.,xn),即 C=X1e1+X2e2+.+Xnen 则 年（奥 (0=1,2,.,寸
则 ᵰᵰ= ( ᵰᵰ,) ( ᵰ = 1, 2, ⋯ , ᵰ )
山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 性质3设e1,E2,.,en是一组标准正交基，且 a=X1e1+X2E2+.+xnen B=y1e1+y2E2+.+ynen 那么 (=T+2+.+母(2) 这里X,Y分别是，阝在基E1,2,.,en下的坐标
那么 ( ᵰ,) = ᵰ1 ᵰ1 + ᵰ2 ᵰ2 + . + ᵰᵰᵰᵰ= ᵰᵰ . (2)
山东理工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、标准正交基的求法 定理1维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一 组正交基 定理2 对于n维欧氏空间中任意一组基1，E2,.,n都可 以找到一组标准正交基门1，门2，.，门n,使 L(e1,E2,.,i)=L(71,门2，.，1i),i=1,2,.,n
二、标准正交基的求法 组正交基