山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 7.2 线性变换的运算
7.2 线性变换的运算
山求濯工大深 一、线性变换的乘积 1.定义 线性空间的线性变换作为映射的特殊情形可以定义乘法. 定义1 设几，B是线性空间V的两个线性变换，定义它 们的乘积AB为 (AB)(a)=A(B() (a∈V)
(𝒜ℬ) (𝛼) = 𝒜(ℬ(𝛼)) (𝛼 ∈ 𝑉 ). 一、线性变换的乘积 线性空间的线性变换作为映射的特殊情形可以定义乘法. 1. 定义 定义1 设 𝒜 , ℬ 是线性空间 𝑉 的两个线性变换，定义它 们的乘积 𝒜ℬ为
G 山东程子大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 性质1 线性变换的乘积还是线性变换. 2.运算规律 1)结合律 (AB)C=A(BC). 2)对于任意线性变换几都有 AE=EA=A
𝒜ℬ 𝒞 = 𝒜(ℬ𝒞) . 2. 运算规律 性质1 线性变换的乘积还是线性变换. 1) 结合律 2) 对于任意线性变换 𝒜 都有 𝒜ℰ = ℰ𝒜 = 𝒜
加求翟王大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 3) 线性变换的乘法一般不满足交换律. 例如，在实数域R上的线性空间R[x]中，线性变换 D(f(x)=f'(x), 3(f(x)=0f()dt, 乘积D门=￡，但一般JD≠￡
𝒟(𝑓(𝑥)) = 𝑓 ′ (𝑥) , 乘积 𝒟ℐ = ℰ ，但一般 ℐ𝒟 ≠ ℰ . ℐ 𝑓 𝑥 = 0 𝑥 𝑓 𝑡 d𝑡 , 3) 线性变换的乘法一般不满足交换律. 例如，在实数域 𝑅 上的线性空间 𝑅[ 𝑥 ] 中，线性变换
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、线性变换的加法 1.定义 定义2设几，B是线性空间V的两个线性变换，定义宅 们的和几十B为 (A+B)(a)=A(a)+B(a)(aEV)
二、线性变换的加法 1. 定义 定义2 设 𝒜 , ℬ 是线性空间 𝑉 的两个线性变换，定义它 们的和 𝒜 + ℬ 为 (𝒜 + ℬ) (𝛼) = 𝒜(𝛼) + ℬ(𝛼) (𝛼 ∈ 𝑉 )
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 性质2 线性变换的和是线性变换， 2.运算规律 )交换律 A+B=B+A 2)结合律 (A+B)+C=A+(B+C) 3)零变换 A+0=A
性质2 线性变换的和是线性变换. 2. 运算规律 1) 交换律 𝒜 + ℬ = ℬ + 𝒜 2) 结合律 𝒜 + ℬ + 𝒞 = 𝒜 + (ℬ + 𝒞) 3) 零变换 𝒜 + 𝒪 = 𝒜
山东理王大溪 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 4)负变换 线性变换凡的负变换定义为： (-A)(a)=-(a) (a EV). 负变换满足 A+(-A)=O 5)乘法对加法的左右分配律 A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA
4) 负变换 线性变换 𝒜 的负变换定义为： 5) 乘法对加法的左右分配律 𝒜(ℬ + 𝒞) = 𝒜ℬ + 𝒜𝒞, (ℬ + 𝒞)𝒜 = ℬ𝒜 + 𝒞𝒜. ( −𝒜) (𝛼) = −𝒜(𝛼) (𝛼 ∈ 𝑉 ). 负变换满足 𝒜 + −𝒜 = 𝒪
山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 三、线性变换的数量乘法 1.定义 在上一节中我们看到，数域P中每个数k都决定一个数乘 变换心.利用线性变换的乘法，可以定义数域P中的数 线性变换酮数量乘法： 定义3 数域P中的数与线性变换的数量乘法定义为 kA=KA, 即 (kA)(a)=(CA)(a)=C(A(a)
三、线性变换的数量乘法 1. 定义 在上一节中我们看到, 数域 𝑃 中每个数𝑘 都决定一个数乘 变换 𝒦. 利用线性变换的乘法 ,可以定义数域 𝑃 中的数 线性变换的数量乘法： 与 定义3 数域 𝑃 中的数与线性变换的数量乘法定义为 𝑘𝒜 = 𝒦𝒜 , 即 (𝑘𝒜)(𝛼) = (𝒦𝒜)(𝛼) = 𝒦(𝒜(𝛼))
山东理2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 性质3 k几还是线性变换. 2.运算规律 1) 1A=A. 3) (k+1)A=kA+IA, 2) (kl)A=k(lA), 4)k(A+B)=kA+kB, 线性空间V中全体线性变换，对于如上定义的加法与 数量乘法，也构成数域P上一个线性空间.记作L()
性质3 𝑘𝒜还是线性变换. 2. 运算规律 2) (𝑘𝑙)𝒜 = 𝑘(𝑙𝒜) , 3) (𝑘 + 𝑙 )𝒜 = 𝑘𝒜 + 𝑙𝒜, 4) 𝑘(𝒜 + ℬ) = 𝑘𝒜 + 𝑘ℬ, 1) 1𝒜 = 𝒜. • 线性空间 𝑉 中全体线性变换，对于如上定义的加法与 数量乘法，也构成数域 𝑃 上一个线性空间. 记作𝐿 𝑉
山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 四、线性变换的逆变换 1.定义 定义4线性空间V的线性变换几称为可逆的，如果 有V的变换B存在，使 AB=BA=E. 这时，变换B称为A的逆变换，记为A-1
四、线性变换的逆变换 1. 定义 定义4 线性空间 𝑉 的线性变换 𝒜 称为可逆的,如果 有 𝑉 的变换 ℬ 存在，使 这时，变换 ℬ称为 𝒜 的逆变换，记为 𝒜−1 . 𝒜ℬ = ℬ𝒜 = ℰ