山东理工大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第六章_6.6子空间的交与和

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6.6 子空间的交与和

G 加求理工大 主要内容 ●子空间的交 。子空间的和 ®子空间的交与和的性质 ®子空间的交与和的维数

主要内容 子空间的交 子空间的和 子空间的交与和的性质 子空间的交与和的维数

山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 一、子空间的交 定义1设V1,V2是线性空间V的两个子空间，称 V1nV2={a|a∈V1且a∈V2} 为V1,V2的交 定理6如果V1,V2是线性空问V的两个子空问，那么，它 的交V1nV2也是V的子空间

一、子空间的交

山东濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 子空间的交的运算规律 1)交换律 VinV2 =V20V1i 2)结合律 (VI0V2)nV3=Vi0(V20V3). 由结合律，我们可以定义多个子空间的交： Vn2n.n= 它也是V的子空间

子空间的交的运算规律 由结合律，我们可以定义多个子空间的交：

山东理工大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例1设V=p2 2={i8g)yeP,i=12 =()ab.cep.Va=f(o 6)la.b.cep 则n={《6g)a,beP

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 例2V={A∈Pnxm|AT=A,V2={A∈Pnxm|AT=-A} 是Pnxn的子空间，证明VnV2={0}

山求程2大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 思考：若V,V2是V的子空 不一定！ 间，V1UV2是V的子空间吗2 例如： V表示3维的几何空间，V1={x轴上所有向量}， V2=y轴上所有向量}， U={轴或轴上所有向量} 取u∈V1,a≠0，B∈V2,B≠0，则sNUN38 V8+回卧，V由&+为VUN9分+k

不一定！ 例如： ᵯ1 ∪ ᵯ2 = {ᵯ轴或ᵯ轴上所有向量}

山求濯工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 二、子空间的和 定义2设V1,V2是线性空间V的两个子空间，所谓V1 与V2的和，是指由所有能表示成心1+2，而1∈V1, a2∈V2的向量组成的子集合，记作V1+V2,即 卫+={E脏P+中中2} 定理7如果V1,V2是线性空间V的两个子空间，那么 它们的和V1+V2也是V的子空间

二、子空间的和 ᵯ1 + ᵯ2 =  {ᵯ∈ ᵯ|ᵯ= ᵯ1 + ᵯ2,ᵯ1ᵯ ᵯ1 ,ᵯ2ᵯ ᵯ2 }

山东理子大 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 子空间的和的运算规律 1)交换律 Vi+V2 =V2+V1i 2)结合律(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3): 由结合律，我们可以定义多个子空间的和： V1+V2+.+V=∑=1V. 它是由所有表示成 a1+2+.+s,;∈V(i=1,2,.,S) 的向量组的子空间

子空间的和的运算规律 由结合律，我们可以定义多个子空间的和： 的向量组的子空间. 它是由所有表示成

山东理工大深 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 三、子空间的交与和的性质 性质1设V1,V2,W都是子空间，那么 1)若WcV1与WcV2,则WcV1nV2; 2)若WV1与WpV2,则WpV1+V2· 即V1+V2是包含V1,V2的最小的子空间. 性质2对于子空间V1,V2,以下三个论断是等价的： 1)V1cV2i2)V1nV2=V1;3)V1+V2=V2

三、子空间的交与和的性质